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16.3.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
1.掌握完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义.（重点）
2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.（难点）
计算下列多项式的积 ，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=__________=_________；
p2+2p+1
(2) (m+2)2=___________=_________；
m2+4m+4
(3) (p-1)2=__________=_________；
p2-2p+1
(4) (m-2)2=__________=_________；
m2-4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
(p-1)(p-1)
(m-2)(m-2)
m2+2×2m+22
m2-2×2m+22
p2+2p+12
p2-2p+12
上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘.
(a+b)2＝(a+b)(a+b)
＝a2+ab+ab+b2
＝a2+2ab+b2
(a-b)2＝(a-b)(a-b)
＝a2-ab-ab+b2
＝a2-2ab+b2
对于与前面相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.
公式特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
例1 运用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2 ； (2) (y- )2 .
解：(1) (4m+n)2
=(4m)2+2·4m·n+n2
=16m2+8mn+n2 ；
(2) (y- )2
=y2-2·y· +( )2
=y2-y+ .
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 (2) 992 .
解： (1) 1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10 404
(2) 992
=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=9 801.
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
例3 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
(a+b)2与(-a-b)2相等吗 (a-b)2与(b-a)2相等吗 (a-b)2与a2-b2相等吗 为什么
①(a+b)2与(-a-b)2相等.
理由:(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.
②(a-b)2与(b-a)2相等.
理由:(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2.
③(a-b)2与a2-b2不一定相等.
只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
1．若x2＋6x＋k是两数和(差)的平方公式，则k等于(　　)
A．9 B．－9 C．±9 D．±3
A
2．下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
A
3.下列计算正确的是(　　)
A．(a＋2)(a－2)＝a2－2
B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D
4.若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于(　　)
A．2 B．1 C．－2 D．－1
B
5.利用两数和(差)的平方公式计算：
(1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；
＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)
＝x2－6xy＋9y2.
＝20182－2×2018×2017＋20172
＝(2018－2017)2
＝1.
(2)20182－4036×2017＋20172;
(3)(60)2.
＝(60＋)2
＝602＋2×60×＋()2
＝3 600＋2＋
＝3 602.
6．若x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.求：
(1)xy的值；(2)x2＋3xy＋y2的值．
解:（1）(x＋2)(y＋2)＝xy＋2(x＋y)＋4＝12.
因为x＋y＝3，
所以xy＋2×3＋4＝12.
所以xy＝2.
（2）因为x＋y＝3，xy＝2，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9－4＝5.
所以x2＋3xy＋y2＝5＋3×2＝11.
内容
完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式的应用
常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
16.3.2 完全平方公式
第2课时 添括号法则
1.了解并掌握添括号法则.（重点）
2.熟练应用添括号法则进行计算.（难点）
已经学过的去括号法则是什么？
去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.
根据去括号法则填空：
a+(b+c)=_______； a- (b+c)=_______；
a+b+c=a+(b+c)；
a-b-c=a- (b+c) .
a+b+c
a-b-c
运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号，将上面两个算式反过来是不是就可以得到添括号的法则？
归纳 添括号法则:
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
a+b+c=a+(b+c);
a-b-c=a- (b+c).
例1 运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)； (2) (a+b+c)2 .
解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9；
注意 有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.
(2) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
注意 (1)在使用添括号法则时，要明确括到括号里的是哪些项，括号前面的符号是正号还是负号；
(2)添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的，在学习添括号法则时，可与去括号法则相比较，注意不要只改变括号内部分项的符号；
(3)添括号比去括号容易出错，特别是当括号前添“-”号时，添括号后是否正确，可利用去括号法则检验.
在横线上填上适当的式子．
(1)9－2a＋5b2＝9－(______________)；
(2)x2－y2－x－y＝x2－x－(______________)；
(3)3(a－b)2－a＋b＝3(a－b)2－(______________)；
(4)a－(b－c＋d)＝a－d＋(______________)．
2a－5b2
y2＋y
a－b
－b＋c
1.下列选项中正确的是(　　)
A．　　 B．
C． D．
C
2.已知，则＝________.
5
3.计算：
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
解：(1) (3a＋b－2)(3a－b＋2)
＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)2－(b－2)2
＝9a2－b2＋4b－4.　
(2) (x－y－m＋n)(x－y＋m－n)
＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
4.当时，求的值.
解：
.
因为，
所以
添括号法则
添括号法则
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
添括号法则在乘法公式中的应用
注意：有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.

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