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专题强化练1　磁场中的临界、极值问题
一、选择题
1.如图所示,空间正四棱锥P-ABCD的底边长和侧棱长均为a,此区域存在平行于CB边由C指向B的匀强磁场,现一质量为m、电荷量为+q的粒子,以竖直向上的初速度v0从底面ABCD的中心O垂直于磁场方向进入磁场区域,最后恰好没有从侧面PBC飞出磁场区域,忽略粒子受到的重力。则磁感应强度大小为 (　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
2.如图,空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,磁场下边界OM和荧光屏ON之间的夹角为30°。OM上的P点处有一粒子源沿与OM垂直的方向以不同的速率持续向磁场发射质量为m、电荷量为+q的粒子。已知P点到O点的距离为d,荧光屏上被打亮区域的长度为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.d　　　　D.2d
3.一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为+q。则在磁场中运动时间最长的粒子,其运动速率为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(经典题)如图所示,在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域,若该三角形的两直角边长均为2l,则下列关于粒子运动的说法中正确的是 (　　)
A.若该粒子的入射速度为v=,则粒子一定从AD边射出磁场
B.若要使粒子从CD边射出,则该粒子从O点入射的最大速度应为v=
C.若要使粒子从CD边射出,则该粒子从O点入射的最大速度应为v=
D.当该粒子以不同的速度入射时,在磁场中运动的最长时间为
5.如图所示,在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中,有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源(图中未画出),在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子,粒子的速率分布连续,忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场,则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子速度的最大值为
B.粒子速度的最大值为
C.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场,其在磁场中运动的时间为(不考虑粒子再次进入磁场的情况)
D.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场,其在磁场中运动的时间为(不考虑粒子再次进入磁场的情况)
6.如图所示,水平直线边界PQ的上方空间内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,长为2d、与PQ平行的挡板MN到PQ的距离为d,边界PQ上的S点处有一电子源,可在纸面内向PQ上方各方向均匀地发射电子。已知电子质量为m、电荷量为e、速度大小均为,N、S的连线与PQ垂直,不计电子所受重力及电子之间的作用力,则挡板MN的上表面没有被电子击中部分的长度为 (　　)
A.d　　　　　　B.(-1)d
C.(2-)d　　　　　　D.(3-)d
7.(经典题)如图所示,半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度大小为B,一比荷为的带正电粒子,从圆形磁场边界上的A点以v0=的速度垂直直径MN射入磁场,恰好从N点射出,且∠AON=120°,下列选项正确的是 (　　)
A.粒子在磁场中运动的时间为t=
B.粒子从N点射出方向竖直向下
C.若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射,一定从N点射出
D.若要实现带电粒子从A点入射,从N点出射,则所加圆形磁场的最小面积为S=
二、非选择题
8.如图所示,圆形区域有一匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源,沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。
(1)求带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径;
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　磁场中的临界、极值问题
1.C　粒子从空间正四棱锥P-ABCD的底面ABCD中心O向上垂直进入磁场区域,最后恰好没有从侧面PBC飞出磁场区域,可知粒子轨迹刚好与侧面PBC相切,作出粒子的运动轨迹如图所示:
设侧面PBC与底面的夹角为θ,由几何关系可算出sin θ=,由几何关系有r+=,由洛伦兹力提供向心力得qv0B=m,联立解得B=,故选C。
2.A　若粒子的速率足够大,粒子无限接近沿直线打到荧光屏的A点(解题技法),如图所示
由几何关系有AO==d;
若粒子的速率较小,打到荧光屏上B点为临界点,如图所示
设粒子做圆周运动的半径为r,由几何关系有=sin 30°,OB=(d-r) cos 30°,解得OB=d,则荧光屏上被打亮区域的长度为L=OA-OB=d,选A。
3.B　
方法点拨　应用“放缩圆”法作出各类运动轨迹如图所示,可知,当粒子过c点时,圆心角α最大,运动时间最长(周期相同,t=T)。
粒子在磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律有qvB=m;设运动时间最长的粒子轨迹半径为R,根据几何关系有L2+(2L-R)2=R2,解得R=L,联立可得v=,故选B。
4.B　
解题关键　
若该粒子的入射速度为v=,则由qvB=m可得r==l,由几何关系可知,粒子将从CD边的中点射出磁场,故A错误;由qvB=m可得v=,即粒子在磁场中的运动半径越大,速度就越大,由几何关系可得,当粒子的轨迹与AD边相切时,从CD边射出的轨迹半径最大,此时粒子的轨迹半径为r=(+1)l,所以粒子的最大速度为v==,故B正确,C错误;粒子在磁场中的运动时间取决于运动轨迹所对应的圆心角,所以粒子从AC边射出时运动时间最长,因为此时运动轨迹对应的圆心角为180°,其在磁场中的运动时间为t=T=,故D错误。
5.C　根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子的运动半径为r=,可知粒子速度最大时,运动半径最大,作出粒子的运动轨迹如图所示
根据几何关系有(2R-r)2=R2+r2,联立解得r=R,v=,故A、B错误;某粒子恰好不从大圆边界射出磁场,即粒子速度最大时,根据几何关系有tan ==,解得其在磁场中运动的时间为t=×T=,故C正确,D错误。故选C。
6.D　
方法点拨　应用“旋转圆”法作粒子从不同方向射出的轨迹,找出两个临界情况,如图所示
电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力有evB=m,可得r==d,根据“方法点拨”,挡板MN的上表面被电子击中部分为CD,根据几何关系有DN==d,CN=d,故没有被电子击中部分的长度为s=2d-(d-d)=(3-)d,故选D。
7.C　粒子恰好从N点射出,轨迹如图所示,运动周期为T=,轨迹对应的圆心角为α=∠APN=∠AON,粒子在磁场中运动的时间为t=T=,故A错误;粒子在磁场中速度偏转120°,从N点射出方向与竖直方向成30°角,故B错误;若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射,轨迹如图所示,r=R,由几何知识可知粒子一定从N点射出,故C正确;若要实现带电粒子从A点入射,从N点出射,则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小,最小面积为S=π=,故D错误。故选C。
归纳总结　 磁发散、磁聚焦模型
磁发散 磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,该点切线与粒子入射方向平行
8.答案　(1)　(2)60°
思路点拨　粒子的速率均相同,因此粒子轨迹圆的半径均相同,但粒子射入磁场的速度方向不确定,故可以保持圆的大小不变,只改变圆的位置,画出“动态圆”。
(1)带电粒子进入磁场后,受洛伦兹力作用,由牛顿第二定律得Bqv=m,解得r=。
(2)如图甲所示,通过“动态圆”可以观察到粒子在磁场中运动的轨迹均为劣弧,对于劣弧而言,弧越长,弧所对应的圆心角越大,偏转角越大,则运动时间越长。当粒子运动的轨迹圆的弦长等于磁场区域的直径时,粒子在磁场空间的偏转角最大,如图乙所示,则sin φ==,即φ=30°,则最大偏转角为60°。
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