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第一章　安培力与洛伦兹力
3　带电粒子在匀强磁场中的运动
基础过关练
题组一　带电粒子在磁场中运动的轨迹、半径、周期与时间的定性分析
1.如图所示,在通电直导线下方,有一电子沿平行导线方向以速度v开始运动,则 (　　)
A.将沿轨迹Ⅰ运动,轨迹半径越来越小
B.将沿轨迹Ⅰ运动,轨迹半径越来越大
C.将沿轨迹Ⅱ运动,轨迹半径越来越小
D.将沿轨迹Ⅱ运动,轨迹半径越来越大
2.电子以一定的速度沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场中,在运动中穿过薄板P,部分轨迹如图所示,a和b是轨迹上的两点,则电子 (　　)
A.在区域Ⅰ做匀速圆周运动的周期大于在区域Ⅱ做匀速圆周运动的周期
B.在区域Ⅰ做匀速圆周运动的周期小于在区域Ⅱ做匀速圆周运动的周期
C.由b点运动到a点
D.由a点运动到b点
3.极光是由太阳发射的高速带电粒子受地磁场的影响,进入两极附近时,撞击并激发高空中的空气分子和原子引起的。假如我们在北极地区仰视,发现正上方有如图所示的沿顺时针方向运动的弧状极光,则关于这一现象中的高速粒子的说法正确的是 (　　)
A.该粒子带负电
B.该粒子轨迹半径逐渐增大
C.若该粒子在赤道正上方垂直射向地面,会向东偏转
D.地磁场对垂直射向地球表面的该粒子的阻挡作用在南、北两极附近最强
4.(经典题)两个质量、电荷量均相等的带电粒子a、b,以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域,其运动轨迹如图所示。粒子重力不计,则下列说法正确的是 (　　)
A.a粒子带正电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子在磁场中运动的速率较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
题组二　带电粒子在匀强磁场中运动的半径、周期与时间的定量计算
5.在探究射线性质的过程中,让质量为m1、电荷量为+2e的α粒子和质量为m2、电荷量为-e的β粒子,分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中,发现两种粒子做圆周运动的轨迹半径相同,则α粒子与β粒子的动能之比是 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.处于磁感应强度为B的匀强磁场中的一个带电粒子质量为m、电荷量为q,仅在磁场力作用下做匀速圆周运动的速度大小为v。将该粒子的运动等效为环形电流,那么此电流值为 (　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
7.(经典题)如图所示,两个匀强磁场的方向相同,磁感应强度分别为B1、B2,虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中,其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线,以下说法正确的是 (　　)
A.电子的运动轨迹为P→E→N→C→M→D→P
B.电子运动一周回到P点所用的时间t=
C.B1=4B2
D.电子在磁感应强度为B2的区域受到的磁场力始终不变
8.云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b,如图所示,a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧,半径之比ra∶rb=6∶1,相同时间内的径迹长度之比la∶lb=3∶1,不计重力及粒子间的相互作用力,则 (　　)
A.粒子a电性为正
B.粒子a、b的质量之比ma∶mb=6∶1
C.粒子a、b在磁场中做圆周运动的周期之比Ta∶Tb=1∶2
D.粒子b的动量大小pb=mv
9.一带电粒子经加速电压U加速后垂直于磁场方向进入匀强磁场区域,现仅将加速电压增大到原来的2倍后,粒子再次进入匀强磁场,则 (　　)
A.运动的轨迹半径变为原来的2倍
B.运动的动能变为原来的2倍
C.运动周期变为原来的倍
D.运动的角速度变为原来的倍
10.(2023江苏连云港阶段测试)如图所示,半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,一不计重力的带电粒子从图中A点以速度v0垂直磁场射入,速度方向与半径方向成45°角,当该粒子离开磁场时,速度方向恰好改变了180°,下列说法正确的是 (　　)
A.该粒子带正电
B.该粒子的比荷为
C.该粒子出磁场时速度方向的反向延长线通过O点
D.该粒子在磁场中的运动时间为
能力提升练
题组一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.(经典题)如图所示,直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场,电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场,经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,不计电子所受重力,则为 (　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
2.如图所示,正方形区域abcd内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M以速度v垂直于ad边射入磁场,并恰好从ab边的中点N射出磁场。不计粒子的重力。下列说法正确的是　 (　　)
A.粒子带负电
B.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从a点射出
C.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从b点射出
D.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子在磁场中的运动时间将变短
3.如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,在磁场中运动时间为t1,离开磁场时速度方向偏转90°;若粒子射入磁场时的速度大小为v2,在磁场中运动时间为t2,离开磁场时速度方向偏转60°,不计带电粒子所受重力,则t1∶t2、v1∶v2分别为 (　　)
A.2∶3、1∶2　　　　　　B.3∶2、1∶
C.1∶2、∶2　　　　　　D.∶1、1∶
4.(经典题)如图,在真空中一等腰直角三角形ADC区域内,存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。图中D、O、C三点在同一直线上,AO与CD垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率v0不同的带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。关于粒子在匀强磁场中运动的情况,下列说法正确的是 (　　)
A.从AD边出射的粒子,入射速度越大,其运动轨迹越短
B.从CD边出射的粒子,入射速度越大,其运动轨迹越短
C.从AD边出射的粒子的运动时间不相等,从CD边出射的粒子的运动时间不相等
D.从AD边出射的粒子的运动时间都相等,从CD边出射的粒子的运动时间都相等
5.如图所示,真空区域内有宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向垂直纸面向里,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力),沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中,粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是 (　　)
A.可求出粒子在磁场中运动的半径
B.可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
C.若仅减小射入速度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
D.若仅增大磁感应强度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
题组二　带电粒子在组合场中的运动
6.圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场(未画出),磁场边缘上的A点有一带正电粒子源,半径OA竖直,MN与OA平行,且与圆形边界相切于B点,在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场,电场强度大小为E。当粒子的速度大小为v0且沿AO方向时,粒子刚好从B点离开磁场,不计粒子重力和粒子间的相互作用,下列说法不正确的是 (　　)
A.圆形区域内磁场方向垂直纸面向外
B.粒子的比荷为
C.粒子在磁场中运动的总时间为
D.粒子在电场中运动的总时间为
7.如图所示,在平面直角坐标系xOy的第Ⅰ象限有沿y轴负方向的匀强电场,第Ⅳ象限有垂直于纸面向外的匀强磁场。现有一质量为m、电荷量为q的正粒子从坐标为(2L+L,L)的P点以初速度v0沿x轴负方向开始运动,接着进入磁场后由坐标原点O射出,射出时速度方向与x轴负方向夹角为60°,不计重力,求:
(1)粒子从O点射出时的速度大小v;
(2)电场强度E的大小;
(3)粒子从P点运动到O点所用的时间。
题组三　带电粒子(物体)在叠加场中的运动
8.如图所示,空间存在竖直向上、场强大小为E的匀强电场和沿水平方向、垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。用长为L的绝缘细线系着质量为m的带电小球悬于O点,给小球一个水平方向的初速度,小球在竖直面内做匀速圆周运动,细线张力不为零。某时刻细线断开,小球仍做半径为L的匀速圆周运动。不计小球的大小,重力加速度为g。则以下说法错误的是　 (　　)
A.细线未断时,小球沿顺时针方向运动
B.小球运动的速度大小为
C.小球带的电荷量为
D.细线未断时,细线的拉力大小为
9.(经典题)如图所示,空间中存在着正交的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E、方向竖直向上,磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为+q的带正电粒子由O点以初速度v0=水平向右飞入复合场中,不计带电粒子的重力,求:
(1)粒子的最大速度与最小速度;
(2)粒子在竖直方向上的最大位移;
(3)粒子在一个周期内水平向右的位移。
答案与分层梯度式解析
第一章　安培力与洛伦兹力
3　带电粒子在匀强磁场中的运动
基础过关练
1.A　由安培定则可知,通电直导线在其下方的磁场垂直纸面向里,根据左手定则可知,电子所受洛伦兹力的方向向上,所以沿轨迹Ⅰ运动,故C、D错误;因离导线越近,磁感应强度越大,根据Bqv=m可知,轨迹半径越来越小,所以A正确,B错误。
2.D　电子做匀速圆周运动的周期为T=,电子穿过薄板P后质量与电荷量都不变,则电子做圆周运动的周期不变,故A、B错误;电子穿过薄板P后,速度变小(破题关键),由洛伦兹力提供向心力有evB=m,可得r=,所以电子做圆周运动的半径也变小,是由a点运动到b点,故C错误,D正确。
3.C　北极上空磁场方向向下,北极正上方有沿顺时针方向运动的弧状极光,根据左手定则可知,该粒子带正电,选项A错误;根据带电粒子在磁场中做圆周运动的半径公式r=,粒子运动过程中因空气阻力做负功,动能变小,速度减小,则半径减小,选项B错误;赤道正上方磁场水平向北,根据左手定则,若该粒子在赤道正上方垂直射向地面,会向东偏转,选项C正确;在南、北两极附近地磁场垂直地面,则地磁场对垂直射向地球表面的该粒子的阻挡作用在南、北两极附近最弱,在赤道处最强,选项D错误。故选C。
4.C　a粒子进入磁场后向下偏转,根据左手定则,a粒子带负电,同理,b粒子带正电,A错误;a粒子运动轨迹半径较小,根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=m,解得R=,说明半径越小,其速度也越小,由F洛=Bqv得,速度小的洛伦兹力小,因此a粒子在磁场中所受洛伦兹力较小,B错误,C正确;带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=,两粒子的质量m、电荷量q都相等,故周期相等,粒子在磁场中的运动时间为t=T,由于b粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角θ比较小,所以b粒子在磁场中运动时间较短,D错误。
5.D　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律有qvB=m,动能为Ek=mv2,联立可得Ek=,则α粒子和β粒子的动能之比为=·=,选D。
6.A　粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=,则等效电流为I==,选A。
7.B　由左手定则可知,电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上,轨迹为P→D→M→C→N→E→P,故A错误;电子在磁场中做匀速圆周运动,有evB=m,T=,解得r=,T=,由题图知2r1=r2,则B1=2B2,2T1=T2,电子运动一周回到P点所用的时间为t=T1+T2=+·=,故B正确,C错误;电子在磁场中所受洛伦兹力始终与速度垂直,方向时刻改变,故D错误。
8.D　根据左手定则可知,粒子a电性为负,A错误;粒子a、b相同时间内的径迹长度之比la∶lb=3∶1,则速率之比为va∶vb=la∶lb=3∶1,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得r=,由于粒子a、b的电荷量大小相等,运动半径之比ra∶rb=6∶1,则有mava∶mbvb=ra∶rb=6∶1,联立可得两粒子质量之比ma∶mb=2∶1,B错误;由于粒子在磁场中做圆周运动的周期T=,得粒子a、b在磁场中做圆周运动的周期之比Ta∶Tb=ma∶mb=2∶1,C错误;根据动量守恒得mv=mava+mbvb,又mava∶mbvb=6∶1,联立可得粒子b的动量大小为pb=mbvb=mv,D正确。故选D。
9.B　带电粒子经过加速电场加速,由动能定理有qU=Ek=mv2,可知,当加速电压增大到原来的2倍后,运动的动能变为原来的2倍,故B正确;带电粒子进入磁场时的速度大小为v=,进入磁场后做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=,带电粒子运动的轨迹半径r==,可知,当加速电压增大到原来的2倍后,运动的轨迹半径变为原来的倍,故A错误;带电粒子运动的周期T==,可知,当加速电压增大到原来的2倍后,运动的周期不变,故C错误;带电粒子运动的角速度ω==,可知,当加速电压增大到原来的2倍后,运动的角速度不变,故D错误。
10.D　该粒子离开磁场时,速度方向恰好改变了180°,粒子一定向下偏转,如图所示:
由左手定则可知粒子带负电,A错误;由几何关系可知,粒子的轨迹半径为r=R,结合qv0B=m,解得=,B错误;由运动轨迹可知,该粒子出磁场时速度方向的反向延长线不通过O点,C错误;该粒子在磁场中的运动时间为t=T=×=,D正确。
归纳总结　对于圆形边界的磁场:
(1)粒子沿径向射入,必沿径向射出,如图甲所示。　　(2)射入磁场的速度方向与入射点所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与出射点所在半径间的夹角,如图乙所示。
　
能力提升练
1.A　由qvB=得轨迹半径r=,可知电子1和2的轨迹半径相等,两电子在磁场中的运动周期T==,根据题意画出两电子在磁场中的运动轨迹,如图所示:
电子1垂直于MN射入磁场,从b点离开,在磁场中运动了半个圆周,运动的时间t1==,电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,由几何关系,△aOc为等边三角形,电子2转过的圆心角为60°,在磁场中运动的时间t2==,所以=3,故选A。
2.D　根据左手定则可知粒子带正电,故A错误;根据qvB=m,解得r=,设正方形边长为L,粒子以速度v和速度2v进入磁场,分别有=,L=,轨迹如图,
可知若粒子射入磁场的速度增大为2v,射出的位置在N、b之间,故B、C错误;若粒子射入磁场的速度增大为2v,在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角将变小,因为t=T,又T=,粒子在磁场中的运动时间将变短,故D正确。故选D。
方法技巧　求运动半径、运动时间的方法
半径 (1)由公式qvB=m,得半径r=; (2)由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r。一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)来计算
运动 时间 (1)由轨迹对应的圆心角α求得t=T(或t=T); (2)由弧长s求得t=
3.B　粒子在磁场中运动的周期均为T=,由t=T可以计算出粒子在磁场中运动的时间,由于两次在磁场中转过的角度分别为90°和60°,则==;设磁场的半径为R,则粒子第一次在磁场中运动的半径r1=R,第二次在磁场中运动的半径r2=R tan 60°=R,根据qvB=m,可得==,选B。
方法技巧　带电粒子在匀强磁场中做
匀速圆周运动问题的解题方法
4.B　
方法点拨　应用“放缩圆”法作出粒子的各类运动轨迹如图所示。
粒子在匀强磁场中运动,由洛伦兹力提供粒子做匀速圆周运动的向心力,有qv0B=m,得出r=,粒子源持续将比荷一定但速率v0不同的带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中,由图可知,从AD边出射的粒子,v0越大,半径r越大,轨迹越长,故A错误;同理,由图可知,从CD边出射的粒子,入射速度越大,半径r越大,轨迹越短,故B正确;带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中,由图可知,从AD边出射的粒子,圆心角都相同,从CD边出射的粒子圆心角不同(破题关键),结合周期公式T=可知,从AD边出射的粒子的运动时间相同,从CD边出射的粒子的运动时间不同,故C、D错误。
5.C　粒子到达PQ边界时速度方向与边界线平行,粒子运动轨迹与PQ边界线相切,如图所示:
则根据几何关系可知d=r+r cos 30°,可得r=,粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得v=,则加速度大小为a==,故A、B说法正确。根据t=×=,若仅减小射入速度,则粒子在磁场中运动的半径减小,粒子运动轨迹的圆心角不变,在磁场中运动的时间不变;若仅增大磁感应强度,粒子在磁场中运动的半径减小,但轨迹的圆心角不变,粒子在磁场中运动的时间变短,故C说法错误,D说法正确。故选C。
6.C　带正电粒子从A点沿AO方向进入磁场,从B点离开磁场,粒子在磁场中运动时受到洛伦兹力的作用,根据左手定则可知,圆形区域内磁场方向垂直纸面向外,故A正确,不符合题意;根据题意可知,粒子在磁场中由A到B的运动轨迹如图甲所示,
甲
根据几何关系可知,粒子做圆周运动的半径为R,粒子在磁场中由A到B运动轨迹所对的圆心角为,根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,所以=,故B正确,不符合题意;根据题意可知,粒子从B点进入电场后,先向右做减速运动,再向左做加速运动,再次到达B点时,速度的大小仍为v0(破题关键),再次进入磁场,运动轨迹如图乙所示
粒子在磁场中运动的总时间为t磁==,故C错误,符合题意;粒子在电场中,根据牛顿第二定律有Eq=ma,解得a==,结合对称性可得,粒子在电场中运动的总时间为t电==,故D正确,不符合题意。故选C。
7.答案　(1)2v0　(2)　(3)
解析　(1)带电粒子在电场中做类平抛运动,由Q点进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动,最终由O点射出,轨迹如图所示
粒子在Q点时的速度大小与粒子在O点的速度大小相等,方向与x轴负方向成60°角,则有v cos 60°=v0
解得v=2v0
(2)粒子由P到Q过程,由动能定理得qE·L=mv2-m,解得E=
(3)设粒子在电场中运动的时间为t1,则有L=·,解得t1=
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由几何关系可得OQ=(2+)L-v0t1,2r sin 60°=OQ
粒子在磁场中的运动时间为t2=,解得t2=
粒子从P点运动到O点所用的时间t=t1+t2
解得t=
8.D　由于细线断了以后,小球还能做匀速圆周运动,小球所受电场力与重力平衡,则小球带正电;细线未断时,细线张力不为零,假设小球沿逆时针方向运动(解题技法),则有qvB+FT=m,细线断开后,拉力FT消失,则小球不满足仍做半径为L的匀速圆周运动的条件,故细线未断时,小球沿顺时针方向运动,A项正确。由qE=mg得q=,C项正确。细线断了以后,小球仍做半径为L的匀速圆周运动,因此细线未断时,FT-qvB=m,细线断了以后qvB=m,得到v==,细线的拉力大小FT=,B正确,D错误。
9.答案　(1)　　(2)　(3)
解析　(1)粒子所受的电场力竖直向上,根据左手定则可知,开始时粒子受到的洛伦兹力方向向下,因qv0B>Eq
故可把初速度分解为水平向右的两个分速度v1和v2,则v0=v1+v2
其中分速度v1满足qv1B=Eq
解得v1=和v2=
故粒子的运动可分解为水平向右、速度大小为v1的匀速直线运动和线速度大小为v2的匀速圆周运动(解题技法),其运动轨迹如图所示。
由速度的合成与分解,可知粒子的最大速度为,最小速度为。
(2)粒子做匀速圆周运动的半径为
R==
故粒子在竖直方向上的最大位移为
d=2R=
(3)粒子运动的周期等于圆周运动的周期,即
T==
粒子在一个周期内水平向右的位移为
x=v1T=
方法技巧　解决带电粒子在电磁复合场中的一般曲线运动问题,常常需要将初速度进行分解,有时还需要非正交分解,来得到一个与电场力平衡的洛伦兹力的分力,进而将粒子的运动分解成一个匀速直线运动与一个匀速圆周运动,使研究的问题大大简化。
7(共40张PPT)
1.运动轨迹
　　带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中:
(1)当v∥B时,带电粒子将做匀速直线运动。
(2)当v⊥B时,带电粒子将做匀速圆周运动。
2.洛伦兹力的作用效果
洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向,不改变带电粒子速度的大小,或者说洛伦兹力不对带
电粒子做功,不改变粒子的动能。
必备知识 清单破
3 带电粒子在匀强磁场中的运动
知识点 1 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.运动条件:不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场。
2.洛伦兹力的作用:提供带电粒子做匀速圆周运动的向心力,即qvB= 。
3.基本公式
(1)半径:r= ;
(2)周期:T= ,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子的运动速率和半径无
关。
知识点 2 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
知识辨析
1.比荷相同的带电粒子,在同样的匀强磁场中做匀速圆周运动的周期一定相同吗
2.带电粒子进入匀强磁场时,若v与B夹角为锐角,带电粒子的运动轨迹是怎样的
一语破的
1.一定相同。带电粒子垂直射入匀强磁场后做匀速圆周运动,周期为T= ,比荷( )相同、
磁场相同,则T一定相同。
2.轨迹为螺旋线。v与B夹角为锐角,带电粒子的运动为匀速圆周运动与匀速直线运动的合运
动,故轨迹为螺旋线。
1.分析方法:“三定”,即一定圆心,二定半径,三定圆心角。
(1)圆心的确定
①确定依据
a.速度的垂线:过切点的速度的垂线通过圆心。
b.弦的中垂线:轨迹上任意两点连线的中垂线过圆心。
c.两速度所在直线夹角的角平分线:两不同位置的速度所在直线夹角的角平分线过圆心。
d.半径:圆心到轨迹上任一点的距离等于半径。
关键能力 定点破
定点 1 带电粒子在匀强磁场中的运动的分析
②常见情境与方法
a.已知轨迹上两点的位置及相应速度方向,利用两速度的垂线确定轨迹圆心位置,如图(a)。
b.已知轨迹上两点的位置及其中一点的速度方向,利用速度的垂线及弦的中垂线确定轨迹圆
心位置,如图(b)。
c.已知轨迹上任意三点的位置,利用两条弦的中垂线确定轨迹圆心位置,如图(c)。
d.已知轨迹上任意两点的位置及轨迹半径R,利用弦的中垂线及圆心到轨迹上任一点的距离
等于半径确定轨迹圆心位置,如图(d),圆心位置有2种可能,具体位置根据题意分析。
e.如图(e),已知粒子的入射方向、出射方向及轨迹半径R,利用α角的角平分线上圆心到入射
方向或出射方向所在直线的距离等于R确定轨迹圆心位置,其中入射点、出射点在已知的入
射方向、出射方向所在的直线上。
(2)半径的确定和计算:半径一般是利用几何知识(三角函数关系、三角形知识等)求解。
(3)圆心角的确定
①利用好三个角的关系,即圆心角=速度偏转角=2倍弦切角。
②利用好三角形尤其是直角三角形的相关知识,计算出圆心角θ。
时间的 两种求法 利用旋转角度计算 t= = T
利用运动弧长计算 t=
2.带电粒子在磁场中运动时间的求解方法
1.常见的几种边界情况
(1)直线边界:从某一直线边界射入的粒子,再从这一边界射出时,速度与边界的夹角相等,如图
所示。
定点 2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动轨迹
(2)平行边界:带电粒子在有平行边界的匀强磁场中运动,经常出现带电粒子恰好从磁场另一
侧飞出(或恰好飞不出)的临界问题。要寻找相关物理量的临界条件,总是先从临界轨迹入
手。如图所示。
(3)圆形边界
①沿半径方向射入磁场,必沿半径方向射出磁场,如图甲所示。
②射入磁场的速度方向与入射点所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与出射点所在半
径间的夹角,如图乙所示。
2.求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题,关键是画出轨迹、找准圆心,运用数学知识求对应半径。
典例 水平直线MN上方有垂直纸面向里的范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度为B,
正、负电子同时从MN边界O点以与MN成45°角的相同速度v【1】射入该磁场区域(电子的质量
为m,电荷量为e),正、负电子间的相互作用忽略不计,经一段时间后从边界MN射出【2】。求:

(1)它们从磁场中射出时,出射点间的距离x;(画出正、负电子运动的轨迹图)
(2)它们从磁场中射出的时间差Δt。
典例
信息提取 【1】周期相同,轨迹半径相同。
【2】射出时速度与MN的夹角等于射入时速度与MN的夹角。
思路点拨 (1)根据左手定则,得出正、负电子所受洛伦兹力的方向,画出运动轨迹;根据洛伦
兹力提供向心力【3】列式,求出运动半径;根据几何关系,求出正、负电子出射点之间的距离。
(2)根据T= 【4】得出电子做匀速圆周运动的周期,根据几何关系,得出正、负电子在磁场中
转过的圆心角,从而得出它们从磁场中射出的时间差。
解析 (1)根据左手定则,电子向右偏转,正电子向左偏转,运动轨迹如图所示(由【1】、【2】
得到)

电子在磁场中受到的洛伦兹力为F=evB
有evB=m (由【3】得到)
所以电子运动的半径为r=
正、负电子出射点之间的距离
x=2 r= 。
(2)电子运动的周期为T= (由【3】、【4】得到)
正、负电子在磁场中转过的圆心角分别是90°和270°,所以它们从磁场中射出的时间差Δt=
T- T= T= 。
答案 (1) 　轨迹图见解析 (2)
1.组合场
　　组合场指电场与磁场各位于一定的区域内的情况。带电粒子在组合场中的运动,实际上
是几个典型运动过程的组合,解决此类问题要分段处理,找出各段之间的衔接点和相关物理
量。
定点 3 带电粒子在组合场中的运动
电偏转 磁偏转
偏转条件 垂直电场方向进入匀强电场
(不计重力) 垂直磁场方向进入匀强磁场
(不计重力)
受力情况 电场力F电=qE,大小和方向都
不变 洛伦兹力F洛=qvB,大小不变,
方向始终和v垂直
运动类型 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆或圆弧
2.电偏转与磁偏转
运动图示
3.解决带电粒子在组合场中运动问题的思路、方法
典例 如图所示,在平面直角坐标系xOy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场,电场强度大
小为E,方向沿y轴负方向。在第一、四象限内有一个半径为R的圆,圆心坐标为(R,0),圆内有
方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子(不计重力),以速度v0从第二象限内的
P点沿平行于x轴的方向向右射入电场【1】,通过坐标原点O进入第四象限,速度方向与x轴正方
向成30°角,最后从Q点平行于y轴离开磁场【2】,已知P点的横坐标为-2h。求:
(1)带电粒子的比荷 ;
(2)圆内磁场的磁感应强度B的大小;
(3)带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场经历的总时间。
典例
信息提取 【1】粒子在电场中做类平抛运动。
【2】粒子在磁场中做匀速圆周运动,运动轨迹如图所示。
思路点拨 解答本题的思路如下:
(1)在电场中,根据牛顿第二定律【3】得出加速度,根据类平抛运动规律【4】,得出带电粒子的比
荷;
(2)在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力,得出磁场的磁感应强度B,根据周期定义式,得出粒子
在磁场中运动的周期,再得出粒子在磁场中的运动时间,从而得出粒子在电场和磁场中运动
的总时间。
解析 (1)在匀强电场中,带电粒子的加速度a= (由【3】得到),粒子在平行于x轴方向做匀
速直线运动,得2h=v0t1,在平行于y轴方向做匀加速直线运动,粒子到达原点O时,沿y轴负方向
的分速度vy=v0 tan 30°,且vy=at1(由【1】、【4】得到),
联立解得 = 。
(2)设粒子进入磁场时的速度为v,有
cos 30°= ,
由几何关系得,粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r=R(由【2】得到),
洛伦兹力提供向心力,可知qvB= ,
联立解得B= 。
(3)粒子在磁场中运动的周期为
T= = ,
粒子在磁场中运动的时间为
t2= T,
粒子在电场中运动的时间为
t1= ,
粒子运动的总时间t=t1+t2,
联立解得
t= 。
答案 (1) (2) (3)
1.洛伦兹力、重力并存
(1)若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动。
(2)若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守
恒。
2.电场力、洛伦兹力并存(不计重力)
(1)若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动。
(2)若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解。
3.电场力、洛伦兹力、重力并存
(1)若三力平衡,带电体做匀速直线运动。
(2)若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动。
定点 4 带电粒子(物体)在叠加场中的运动
(3)若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解。
4.带电粒子在叠加场中运动的处理方法
(1)确定叠加场的种类
电场、磁场、重力场两两叠加,或三者叠加。
(2)进行受力分析
一般涉及三种场力(电场力、磁场力、重力)、弹力、摩擦力。
(3)运动分析
根据带电粒子的受力情况,判断其运动状态,是做匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直
线运动还是非匀变速直线运动、非匀变速曲线运动。
(4)利用运动学公式、牛顿第二定律、功能关系分析
①力和运动的角度:根据带电粒子所受的力,运用牛顿第二定律并结合运动学规律求解,必要
时进行运动的合成与分解,如类平抛运动。
②功能的角度:根据场力及其他外力对带电粒子做功引起的能量变化或全过程中的功能关系
解决问题,这条线索不仅适用于均匀场,也适用于非均匀场,因此要熟悉各种力做功的特点。
典例 如图,两个定值电阻的阻值分别为R1和R2,直流电源的内阻不计,平行板电容器两极板
水平放置,板间距离为d,板长为 d,极板间存在方向水平向里的匀强磁场【1】。质量为m、带
电荷量为+q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下极板左侧边缘A点进入电容器,做匀速
圆周运动【2】,恰从电容器上极板右侧边缘离开电容器。此过程中,小球未与极板发生碰撞,重
力加速度大小为g,忽略空气阻力。
(1)求直流电源的电动势E0;
(2)求两极板间磁场的磁感应强度B的大小;
(3)在图中虚线的右侧设计一匀强电场,使小球离开电容器后沿直线运动【3】,求电场强度的最
小值E'。
典例
信息提取 【1】叠加场问题。
【2】相当于小球只受洛伦兹力,即电场力与重力的合力为零。
【3】重力与电场力的合力方向与速度方向共线,或合力为零。

思路点拨 (1)利用电场力与重力的合力为零,得出两极板间的电场强度,再由E= 得出两板
间的电压,即R2两端电压【4】,再由串联电路分压关系【5】,得出直流电源的电动势E0。
(2)根据几何关系求出小球做圆周运动的半径,再根据洛伦兹力提供向心力,得出两极板间磁
场的磁感应强度B的大小。
(3)根据合力与速度共线或合力为零,结合三角形定则讨论电场力的可能值,得出最小值,即得
出电场强度的最小值。
解析 (1)小球在两极板间做匀速圆周运动,则重力与电场力平衡,mg=qE
设两极板间的电压为U,
有U= E0(由【4】、【5】得到)
电场强度与电压的关系为E=
联立解得E0=
(2)小球做圆周运动的轨迹如图所示,

设轨迹半径为r,由几何关系得
(r-d)2+( d)2=r2
根据洛伦兹力提供向心力得
qvB=
联立解得
B=
(3)设小球离开电容器时,速度方向与水平方向间的夹角为θ,则 sin θ= =
要使小球沿直线运动,则合力方向与v在一条直线上或合力为零,
当合力与v方向相反、qE'与v所在直线垂直时,qE'最小,则E'最小,有qE'=mg cos θ
联立解得E'=
答案 (1) (2) (3)
1.分析临界极值问题常用的四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时,弧长越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角大的运动时间长,解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动
轨迹的草图,找出圆心,根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形边界匀强磁场中,若运动轨迹圆半径大于区域圆半径,则当入射点和出射点分别为
圆形边界的同一直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)。
2.处理临界问题常用的两种方法
　　解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题,关键在于运用动态思维,寻找临界状态(一
般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大),常用方法如下:
定点 5 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
(1)动态放缩法:定点粒子源发射速度大小不同、方向相同、比荷和电性都相同的粒子,粒子
速度越大,粒子运动轨迹的半径就越大,运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线上。

(2)旋转平移法:定点粒子源发射速度大小相等、方向不同、比荷和电性都相同的粒子,运动
轨迹的圆心在以入射点为圆心,半径为R= 的圆周上。
典例 边长为a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,
一束质量为m、电荷量为q的带负电粒子【1】(不计重力),从AB边的中点沿平行BC边的方向以
不同的速率射入磁场区域,则 (　 )
A.能从BC边射出的粒子的最大速率【2】为
B.能从BC边射出的粒子的最大速率为
典例
C.能从BC边射出的粒子在磁场中最长运动时间【3】为
D.能从BC边射出的粒子在磁场中最长运动时间为
A
信息提取 【1】用左手定则判断洛伦兹力方向时,四指指向粒子运动的相反方向。
【2】根据R= 可知,速率最大,运动半径最大。
【3】轨迹对应的圆心角最大,运动时间最长。
思路点拨 首先根据题意可知粒子从BC边射出且半径最大时,粒子从C点射出,根据几何关
系可求出半径,根据洛伦兹力提供向心力求最大速度;其次粒子从BC边射出、运动的时间最
长时,轨迹对应的圆心角最大,为180°,结合周期公式求最长时间。
解析 如图所示,当粒子恰好从C点射出时,轨迹半径最大,速率最大(由【2】得到),设轨迹圆
心为O1、半径为r1,由几何关系可知r1=a sin 60°= a,由牛顿第二定律可得qv1B=m ,解得v1=
,选项A正确,B错误。能从BC边射出的粒子中,当粒子的轨迹恰好与BC边相切时,轨迹
所对应的圆心角最大,为π,圆心为O2,粒子在磁场中运动时间最长(由【3】得到),有t= ,由T=
,解得t= ,选项C、D错误。

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