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4.2 正切
一、单选题
1．（2018·淮南模拟）已知 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值为（　　）
A． B． C． D．1
2．（2022九上·潜山月考）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C．2 D．
3．如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（　　）
A．15° B．20° C．30° D．45°
4．（2024九上·长春月考）小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·红桥模拟）2sin60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题
6．（2025·东莞模拟）如图是一个直角三角尺，其中，，则　 　．
7．如图，若点A的坐标为 ，则sin∠1=　 　．
8．（2020·淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则tanB=　 　.
9．（2019·龙湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝　 　．
10．（2018九上·江阴期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝ ，则∠2的度数为　 　．
11．（2021九上·开福月考）在中，，，则等于　 　.
三、计算题
12．（2023·香洲模拟）计算：．
13．（2024九下·鼓楼期中）计算：．
四、解答题
14．（2023·昆明模拟） 计算：
15．用计算器求下列各式中的锐角(精确到)：
（1）.
（2）.
（3）.
五、综合题
16．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°=　 　；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
17．（2020九上·长沙月考）计算： ．
18．（2018·吉林模拟）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1）以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1，与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1，（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）直接写出点A1、B1的坐标　 　；
（3）直接写出tan∠OA1B1．
六、实践探究题
（2023九上·太谷期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，轴于点A，轴于点C，O是线段的中点，．
19．求反比例函数的表达式．
20．连接，求的值
21．P是线段上的一个动点，Q是线段上的一个动点，试探究是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
3．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
4．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
5．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
6．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
7．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
8．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
10．【答案】135°
【知识点】平行线的性质；求特殊角的三角函数值
11．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
12．【答案】11
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
13．【答案】
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
14．【答案】解：原式=﹣3﹣2+﹣1+﹣1=﹣5.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
15．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵ ，
∴.
【知识点】计算器—三角函数
16．【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
17．【答案】解：原式 ，
，
．
【知识点】立方根及开立方；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
18．【答案】（1）解：如图2，△OA1B1即为所求；
（2）（4，0）和（2，﹣4）
（3）解：2
【知识点】位似变换；锐角三角函数的定义
【答案】19．
20．
21．或或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值

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