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黑龙江省牡丹江市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动，下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②一定没有平方根：③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两个无理数的和还是无理数；⑤存在最大的负实数；⑥是的立方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．牡丹江文化底蕴深厚，人文历史久远，素有“中国雪城”的美誉．近年来，旅游人数逐渐增多，为统计2024年冬季到牡丹江体验冰雪项目的游客中，参与滑雪、雪地摩托、冰雕观赏、雪乡民宿体验的人数分别占参与冰雪项目总人数的百分比，选用（ ）更合适．
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．趋势图
6．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（ ）种购买方案．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．某市的出租车收费标准是：起步价为6元（即行驶距离不超过3千米应付车费6元），超过3千米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米收费）．某人从甲地到乙地经过的路程是千米，出租车费为17.2元，则为（ ）千米．
A．11 B． C．10 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现的频数为 ．
12．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是 ．
13．已知与是正实数b的平方根，那么 ．
14．已知直线与相交于点，若，则的度数为 ．
15．已知点，现在将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度，得到点，则的立方根为 ．
16．如图，将长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则的度数为
17．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是 ．
18．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．
三、解答题
19．计算：+ ．
20．解方程组：
21．解不等式组，并将解集表示在数轴上．
22．如图，在三角形中，点D，F在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求的度数．
23．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”；
(2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解．
24．近年来“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)所抽取的学生人数是_______；扇形统计图中“高度近视”应的扇形的圆心角的大小是______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生2000人，请估计该校学生中视力不正常的人数；
(4)根据上述调查情况，写出你对“青少年视力健康”的想法（字数不超过30字）．
25．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线上，连接．
(1)如图1，若点E在直线之间，求证：．
(2)如图2，若点E在直线之间，平分，平分，当时．求的度数．
(3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
26．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元．
(1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？
(2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？
(3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？
27．如图，平面直角坐标系中，且、满足，且．
(1)求点A、B坐标；
(2)有一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，运动时间为秒，设的面积为，请用含的式子表示；
(3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线交直线于点，当与的面积比为时，请直接写出值和点的坐标．
《黑龙江省牡丹江市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题》参考答案
1．C
解：A：图形的形状发生了改变，不合题意；
B：图形的大小发生了改变，不合题意；
C：图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意；
D：不能通过平移得到，不合题意．
故选：C ．
2．D
解：A．，故该选项错误，不符合题题意；
B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意；
C．，故，故该选项错误，不符合题题意；
D．，则，正确，符合题意．
故选D．
3．A
解：①在同一平面内，如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行，故该命题是假命题；
②当时，，存在平方根（如，则有平方根），故该命题为假命题；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该命题是真命题；
④反例：和是无理数，但是有理数，故该命题为假命题；
⑤负实数无最大值，则存在更接近0的负实数，故该命题为假命题；
⑥是的立方根，故该命题为假命题．
综上，真命题的个数有1个．
故选：A．
4．D
解：A、由，可得，原不等式变形错误，不符合题意；
B、当时，此时，满足，但不满足，原不等式变形错误，不符合题意；
C、若，则，原不等式变形错误，不符合题意；
D、若，两边同时乘以正数，则，原不等式变形正确，符合题意；
故选：D．
5．C
解：∵扇形统计图适用于表示各部分在总体中所占的比例．题目中需要比较滑雪、雪地摩托、冰雕观赏、雪乡民宿体验四个项目的人数百分比，
∴扇形图通过扇形面积占比可直接体现各部分与整体的关系．
故选C．
6．D
解：，
得，
解得，
把代入，得，
故方程组的解为，
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得，
解得，结论正确；
②当时，方程组的解为，
方程，
而，
故方程组的解也是方程的解，
故结论正确；
③由，得，是定值，
故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确．
故选：D．
7．D
解：如图，
∵经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，
∴当时，线段的长度最短，
∵点，，
∴此时点横坐标为，纵坐标为．
∴．
故选：D．
8．B
解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件，
由题意得：
将方程变形为：
要求y为正整数，即必须能被3整除且结果大于等于1．
依次代入x的正整数值验证：
当时，，符合条件；
当时，，符合条件；
当时，，符合条件．
其他x值代入后y均不为整数或小于1．
因此共有3种购买方案．
故选B．
9．B
解：根据题意，得，
∴，
∴，
故选：B
10．D
解：，，，，
，，，，
绕四边形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕四边形第203圈的第5个单位长度的位置，
即点的坐标为．
故选：D．
11．4
解：在“坚持不懈”的英语翻译是Persevere in doing，短语中“e”出现了4次，
∴短语中“e”出现的频数为4，
故答案为：4．
12．
解：点在第二象限，
，
解得．
故答案为：．
13．1
解：∵a 1 与3 2a是正实数b的平方根，
∴a 1 +3 2a=0，
∴a=2，
则b=1；
故答案为：1．
14．或
解：如图，
∵，
∴，
当在左侧时，；
当在右侧时，；
综上，的度数为或．
故答案为：或．
15．2
解：平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
相当于将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
即可得到，
∴有，
整理得：，
解得：，
∴，
∴的立方根为．
故答案为： ．
16．
解：延长到点M，根据折叠的性质，得，，
∵长方形纸片，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴
根据折叠的性质，得，
∴，
故答案为：15．
17．
解：解不等式，得，
所以不等式组的解集为，
又因为不等式组的整数解共有4个，
则4个整数解为3，4，5，6，
故m的范围是：，
故答案为．
18．①③④
解；∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明，故②错误；
故答案为：①③④．
19．
解：原式=7-3+
=．
20．
解：，
由①得：，
，
，
由②得：，
，
即原方程组可化为：，
，得，∴，
代入③得：，
，
∴方程组的解为：．
21．，图见解析
解：
由①得，
由②得，
数轴表示如下：
∴原不等式组的解集为．
22．(1)，理由见解析
(2)
（1）解：，理由如下：
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．(1)③
(2)
（1）解：解方程得：，
解①得：，故方程解不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程解不是②“梦想解”；
解③得：，故方程解是③的“梦想解”；
即方程的解是不等式③的“梦想解”．
故答案为：③．
（2）解：解方程组得：，
∴，
∵方程组的解是不等式组的梦想解，
∴，
∴，
∴m的整数解为．
24．(1)人，
(2)见解析
(3)
(4)见解析（答案不唯一）
（1）解：所抽取的学生人数为（人），
中度近视的学生人数为（人），
高度近视的学生人数为（人），
则扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是，
故答案为：200人，；
（2）解：由（1）知中度近视的学生人数为人，高度近视的学生人数为人，
补全条形图如下：
（3）解：估计该校学生中视力不正常的人数为（人）；
（4）解：保持良好的用眼习惯，坐姿端正，距离适中；少看电视、少用电脑；睡眠充足，注意用眼卫生等（答案不唯一，合理即可）．
25．(1)见解析
(2)
(3)
（1）证明：如图，过点E作；
∵，
∴，
∴，；
∵，
∴；
（2）解：点E在直线之间，由（1）知：，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
∵点E在直线之间，
∴由（1）知，；
（3）解：如图，过E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵平分，平分，
∴,
；
∵
．
26．(1)甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元
(2)共3种采购方案
(3)实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．
（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得
，
解得．
答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元．
（2）设购买甲型a块，依题意，得
，
解得，
∵a，为整数
∴a的取值为，共3种采购方案．
（3）当时，（万元）；
当时，（万元）；
当时，（万元）．
∴当时，，则（万元）．
答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．
27．(1)，
(2)
(3)；
（1）解：∵，
，，
∴，，
∴，，
即，
，得：，
，
解得：，
代入①得：，
∴，；
（2）解：如图：
由题意知，，，，，
∴，∴，
∴，
又∵，
化简得：，
即；
（3）解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
解得：；
∵，
∴，
，
解得：，
∴；
综上所述，，．

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