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(共75张PPT)
第2课时
基本不等式的应用
第二章　§2.2　基本不等式
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1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(重点)
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点)
3.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.(难点)
学习目标
一、利用基本不等式求复杂式子的最值问题
二、利用基本不等式证明不等式
课时对点练
三、基本不等式在实际问题中的应用
随堂演练
内容索引
利用基本不等式求复杂式子的最值问题
一
　若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值为　　　.
例 1
16
方法一　(巧用“1”的代换求最值)
∵=1，x>0，y>0，
∴x+y=(x+y)=10+≥10+2=16，
当且仅当即x=4，y=12时，等号成立.
即x+y的最小值为16.
方法二　(分离消元法求最值)
∵=1，
解析
∴y==9+
∵x>0，y>0，∴x>1，
∴x+y=x+9+=(x-1)++10
≥2+10=16，
当且仅当x-1=即x=4时，等号成立，
此时，y=12，x+y的最小值为16.
解析
　若x>0，y>0，x+y=1，则的最小值为　　　.
延伸探究 1
16
∵x+y=1，x>0，y>0，
∴(x+y)=10+≥10+2=16，
当且仅当即x=y=时，等号成立，
即的最小值为16.
解析
　若x>0，y>0，xy=9x+y，则x+y的最小值为　　　.
延伸探究 2
16
x>0，y>0，xy=9x+y，∴=1，
由例1可知，x+y的最小值为16.
解析
　若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则x+y的最小值为　　　.
延伸探究 3
12
由xy=9x+y-8得(x-1)(y-9)=1，
又x>1，y>9，
∴x+y=(x-1)+(y-9)+10
≥2+10=12，
当且仅当x-1=y-9=1，即x=2，y=10时，等号成立，即x+y的最小值为12.
解析
　若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则xy的最小值为　　　.
延伸探究 4
16
由xy=9x+y-8得y=
∴xy=x·
令t=x-1，则x=t+1且t>0，
∴xy=(t+1)·
==9t++10≥2+10=16，
当且仅当9t=即t=即x=y=12时，等号成立，即xy的最小值为16.
解析
(1)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
(2)对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
(3)当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式.
反
思
感
悟
二
利用基本不等式证明不等式
　已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1.
求证：≥8.
例 2
因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1，
所以-1=
同理-1≥-1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得=8，
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
证明
　本例的条件不变，求证：≥9.
延伸探究 5
=
=3+≥3+2+2+2=9，
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
证明
利用基本不等式证明不等式的策略
(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，
如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤ (a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基
本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用.
反
思
感
悟
(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件.
(3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.
反
思
感
悟
已知a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
跟踪训练 1
由基本不等式可得
a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2，
同理，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2c2a2，
则(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)
≥2a2b2+2b2c2+2c2a2，
从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2，
当且仅当a2=b2=c2时，等号成立.
证明
基本不等式在实际问题中的应用
三
(课本例3)(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
例 3
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m.
由已知得xy=100.由，
可得x+y≥2=20，所以2(x+y)≥40，
当且仅当x=y=10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m.
解
(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy m2.
由=9，可得xy≤81，
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.
解
小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
例 3
设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m.
方法一　由已知得xy=16，
由可知x+y≥2=8，
所以2(x+y)≥16，
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
解
方法二　由已知xy=16，得y=
所以2(x+y)=2≥2×2=16.
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
解
　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
延伸探究 6
由已知得2(x+y)=12，
故x+y=6，面积为xy，
由=3，
可得xy≤9，
当且仅当x=y=3时，等号成立.
因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
解
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用基本不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论.
反
思
感
悟
(课本例4)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
跟踪训练 2
设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，
水池的总造价为z元.根据题意，有
z=150×+120(2×3x+2×3y)=240 000+720(x+y).
由容积为4 800 m3，可得3xy=4 800，
因此xy=1 600.
所以z≥240 000+720×2，
当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297 600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.
解
某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=
.
跟踪训练 2
设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.
设每平方米的平均综合费用为y元，
则y=560+48x+=560+48.
当x+取最小值时，y有最小值.
∵x>0，∴x+≥2=30，
当且仅当x=即x=15时，等号成立.
∴当x=15时，y有最小值2 000.
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.
解
1.知识清单：
(1)巧用“1”的代换求最值问题.
(2)分离消元法求最值.
(3)利用基本不等式证明不等式.
(4)基本不等式在实际问题中的应用.
2.方法归纳：消元法、换元法、常数代换法.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知a>0，b>0，a+b=2，则的最小值是
A. B.4 C. D.5
√
∵a>0，b>0，a+b=2，
∴=1，
∴+2
当且仅当b=2a，即a=b=时取等号.
解析
2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为
A.7 B.8 C.9 D.10
√
∵x>0，y>0，xy=3-3x>0，
∴0∴12x+y=12x+=12x+-3≥2-3=9，
当且仅当即x=时取等号，
∴12x+y的最小值为9.
解析
1
2
3
4
1
2
3
4
3.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为
A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
√
设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，
由题意可得2(x+y)=8，
所以x+y=4，
所以矩形模型的面积S=xy≤=4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
解析
1
2
3
4
4.已知x，y是正数且x+y=1，则的最小值为
A. B. C.2 D.3
√
1
2
3
4
由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4，即[(x+2)+(y+1)]=1，
∴
=[(x+2)+(y+1)]
=
≥×(5+4)=
当且仅当即x=y=时等号成立.
∴的最小值为.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A B B AB
题号 9 11 12 13 15 答案 A AB 400 2
对一对
答案
1
2
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5
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16
10.
答案
1
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14
15
由a>0，b>0，
则a+b=
由于a+b>0，则ab=1，即a+b≥2=2，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
所以a+b≥2.
16
14.
答案
1
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15
(1)∵a，b均为正数，且a+b=1，
∴a2+b2-4ab=(a+b)2-6ab=1-6ab，
∵a+b=1≥2∴01-6ab≥1-=-当且仅当a=b=时等号成立，
∴a2+b2-4ab的最小值为-.
(2)a+2b+=a+2b+
16
14.
答案
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15
==(a+b)=5+≥5+2=9，
当且仅当且a+b=1，即a=b=时，等号成立，
故不等式a+2b+-9≥0.
16
16.
答案
1
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15
因为正实数a，b满足
a+2b+5=ab
所以m≥
=-
=-(2a+b)，
而(2a+b)=+10
16
16.
答案
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15
≥2+10=18，
当且仅当即a=b=时取等号，
所以-(2a+b)≤-18，
所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}.
16
基础巩固
1.若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值是
A.3 B.6 C.9 D.12
√
x+y=(x+y)=5+≥5+2=9，
当且仅当即x=3，y=6时取等号，
故x+y的最小值是9.
解析
答案
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2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
√
答案
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16
由题意得，A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，
则(1+a)(1+b)=(1+x)2，
因为(1+a)(1+b)≤
所以1+x≤=1+
所以x≤当且仅当a=b时取等号.
解析
答案
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16
3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+n=a+则m+n的最小值是
A.3 B.4 C.5 D.6
√
∵a>0，b>0，ab=1，
∴m+n=b++a+=(a+b)+=2a+2b≥2=4，
当且仅当a=b=1时，等号成立.
即m+n的最小值为4.
解析
答案
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4.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y+的最小值为
A.10 B.6 C.4 D.9
√
由xy=x+4y，得=1，
所以x+y+=(x+y)+1=4+1++1≥6+2=6+4=10，
当且仅当x=6，y=3时，等号成立，
所以x+y+的最小值为10.
解析
答案
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5.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的
A.最小长度为8
B.最小长度为4
C.最大长度为8
D.最大长度为4
√
答案
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答案
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15
设BC=a，CD=b，
因为矩形的面积为4，所以ab=4，
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
2a+b=2a+≥2=4
当且仅当2a=即a=时，等号成立，
即所需要篱笆的最小长度为4.
解析
16
6.已知正实数x，y满足=1，则4xy-3x的最小值为
A.8 B.9 C.10 D.11
√
答案
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15
由x>0，y>0，且=1，
可得xy=x+y.
所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y.
又因为x+4y=(x+4y)
=5+≥9，
当且仅当即x=3，y=时取等号，
所以4xy-3x的最小值为9.
解析
16
7.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是
A.的最小值是2 B.xy的最大值是1
C.x2+y2的最小值是4 D.x(y+1)的最大值是2
答案
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√
√
因为正数x，y满足x+y=2，
所以(x+y)
==2，
当且仅当即x=y=1时，等号成立，
所以的最小值是2，故A正确；
因为正数x，y满足x+y=2，
解析
答案
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所以xy≤=1，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以xy的最大值是1，故B正确；
由得x2+y2≥2，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以x2+y2的最小值是2，故C错误；
x(y+1)≤
解析
答案
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当且仅当即x=y=时，等号成立，
所以x(y+1)的最大值是故D错误.
解析
答案
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8.若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　.
由a2+2ab=1可得b=
所以a2+b2=a2+
≥2
当且仅当a2=时，等号成立.
解析
答案
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9.设0由00，由基本不等式可得=[(1-x)+x]·
=+5
≥2+5=9，
当且仅当即x=时，等号成立.
解析
答案
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10.已知a>0，b>0，且a+b=求证：a+b≥2.
答案
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由a>0，b>0，
则a+b=
由于a+b>0，则ab=1，即a+b≥2=2，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
所以a+b≥2.
证明
11.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S= 求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为
A.3 B.8 C.4 D.9
√
综合运用
答案
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答案
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由题意p=7，则S==3
当且仅当7-b=7-c，即b=c=4时，等号成立，
所以此三角形面积的最大值为3.
解析
16
12.(多选)若x>0，y>0，x+2y=1，则下列说法正确的是
A.xy的最大值是 B.的最小值是8
C.4x2+y2的最小值为 D.的最小值是4
√
答案
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∵x+2y=1≥2
∴xy≤当且仅当
即时等号成立，故A正确；
(x+2y)=4+≥4+2=8，
当且仅当时等号成立，故B正确；
解析
答案
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答案
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15
4x2+y2=4(1-2y)2+y2=17y2-16y+4
=17
当且仅当y=时等号成立，故C错误；
=2≥4，
当且仅当xy=1时等号成立，而0解析
16
13.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为　　　.
答案
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400
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由题意设矩形花园的长为x，宽为y(x>0，y>0)，
则矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以
又因为AG=BC=40，
所以AF=DE=x，FG=y，所以x+y=40，
由基本不等式x+y≥2得xy≤400，
当且仅当x=y=20时，等号成立，矩形花园面积最大，最大值为400.
解析
14.设a，b均为正数，且a+b=1.
(1)求a2+b2-4ab的最小值；
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∵a，b均为正数，且a+b=1，
∴a2+b2-4ab=(a+b)2-6ab=1-6ab，
∵a+b=1≥2∴01-6ab≥1-=-当且仅当a=b=时等号成立，
∴a2+b2-4ab的最小值为-.
解
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(2)证明：a+2b+-9≥0.
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a+2b+=a+2b+
==(a+b)=5+≥5+2=9，
当且仅当且a+b=1，即a=b=时，等号成立，
故不等式a+2b+-9≥0.
证明
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15.若x，y是正实数，(x-y)2=(xy)3，则的最小值为　　　.
拓广探究
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因为(x-y)2=(xy)3且x，y是正实数，所以两边同时除以(xy)2，得
=xy，又因为=xy+≥2=4，
当且仅当xy=即时等号成立，
所以=2.
解析
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16.已知正实数a，b满足a+2b+5=ab，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.
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因为正实数a，b满足
a+2b+5=ab
所以m≥
=-
=-(2a+b)，
而(2a+b)=+10
解
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≥2+10=18，
当且仅当即a=b=时取等号，
所以-(2a+b)≤-18，
所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}.
解
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第二章　§2.2　基本不等式
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