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(共81张PPT)
第1课时
二次函数与一元二次方程、不等式
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
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1.从函数观点看一元二次方程.了解二次函数的零点与方程根的关系.(重点)
2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(重难点)
3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重点)
学习目标
初中的时候，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，那么这种联系能否推广到二次函数、一元二次方程和一元二次不等式呢？下面，我们先看看一元二次不等式的形式.
导 语
一、一元二次不等式的概念
二、一元二次不等式的解法
课时对点练
三、含参的一元二次不等式的解法
随堂演练
内容索引
一元二次不等式的概念
一
提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m.
由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？
问题1
定义 一般地，我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
未知数
2
　下列不等式中是一元二次不等式的为
A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0
C.-x2-3x<0 D.>0
例 1
由一元二次不等式定义可知，C正确.
解析
√
一元二次不等式是只含一个未知数 且未知数的最高次数是2的不等式，但需要注意二次项的系数不为0.如果不等式含多个字母，且已经指定了未知数，可将其余字母看成相应的系数，若该未知数的最高次数是2，且二次项的系数不为0，这样的不等式也是一元二次不等式.
反
思
感
悟
　若ab≠0，把a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为　　.
跟踪训练 1
由ab≠0知，b≠0且a≠0，
a2b+2ab2+9>0可化为ba2+2b2a+9>0，
故a的二次项系数为b.
解析
b
二
一元二次不等式的解法
提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根.
如课本51页图2.3-1，二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？
问题2
提示　从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2-12x+20<0的解集为{x|2你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找到x2-12x+20<0的解集吗？
问题3
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使 的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的 .
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
ax2+bx+c=0
零点
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ________________ ______________ ____
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ____________ ____ ____
{x|xx2}
R
{x|x1

(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
注 意 点
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　(课本例1、例2、例3)解下列不等式：
(1)x2-5x+6>0；
例 2
对于方程x2-5x+6=0，因为Δ>0，所以它有两个实数根.
解得x1=2，x2=3.
画出二次函数y=x2-5x+6的图象(如图)，
结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3}.
解
(2)9x2-6x+1>0；
对于方程9x2-6x+1=0，因为Δ=0，所以它有两个
相等的实数根，解得x1=x2=.
画出二次函数y=9x2-6x+1的图象(如图)，
结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为.
解
(3)-x2+2x-3>0.
不等式可化为x2-2x+3<0.
因为Δ=-8<0，所以方程x2-2x+3=0无实数根.
画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图).
结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为 .
因此，原不等式的解集为 .
解
　求下列不等式的解集：
(1)x2-2x-3>0；
例 2
方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1，x2=3.
函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，
与x轴有两个交点(-1，0)和(3，0)，如图所示.
结合图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.
解
(2)-x2+6x-9≥0；
原不等式可化为x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0，
函数y=(x-3)2的图象如图所示，
结合图象可得，原不等式的解集为{x|x=3}.
解
(3)-2x2+x-6<0.
原不等式可化为2x2-x+6>0.
因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0，
所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示).
结合图象可得，原不等式的解集为R.
解
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
反
思
感
悟
求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2-5x>6；
跟踪训练 2
由x2-5x>6得x2-5x-6>0，
∵x2-5x-6=0的两根是x=-1或x=6，
∴不等式x2-5x>6的解集为{x|x<-1或x>6}.
解
(2)4x2-4x+1≤0；
4x2-4x+1≤0，即(2x-1)2≤0，
方程(2x-1)2=0的根为x=.
∴不等式4x2-4x+1≤0的解集为.
解
(3)-x2+7x>6.
由-x2+7x>6得x2-7x+6<0.
而x2-7x+6=0的两根是x=1或x=6，
∴不等式-x2+7x>6的解集为{x|1解
含参的一元二次不等式的解法
三
求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集.
例 3
易知方程[x-(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=a-1，x2=a+3，且x1故不等式的解集为{x|xa+3}.
解
若将例3中的不等式改成[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)， 该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？
延伸探究 1
易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a，x2=a+3，
(1)当1-a>a+3，即a<-1时，
不等式的解集为{x|x>1-a或x(2)当1-a=a+3，即a=-1时，
不等式的解集为{x|x≠2}.
(3)当1-a-1时，
不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}.
显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了.
解
若将延伸探究1中的不等式改成(ax-2)(x+1)>0(a>0)， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？
延伸探究 2
易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，
因为a>0，所以>-1，
故不等式的解集为.
由于x1与x2的大小关系能确定，过程变简单了.
解
若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？
延伸探究 3
易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，
当a<0时，x1=x2=-1的大小关系不确定，需要讨论比较其大小，
分3种情况：
(1)当-1<<0，即a<-2时，
解得-1(2)当=-1，即a=-2时，无解；
(3)当<-1，即-2综上所述，当-2解
当a=-2时，不等式的解集为 ；
当a<-2时，不等式的解集为.
显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了.
解
若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”，该如何求解呢？
延伸探究 4
易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，
下面讨论x1与 x2的大小关系：
(1)若a>0，则>-1，
故不等式的解集为.
(2)若a<0，
①当-1<<0，即a<-2时，解得-1②当=-1，即a=-2时，无解；
③当<-1，即-2解
综上所述， 当a>0时，不等式的解集为；
当-2当a=-2时，不等式的解集为 ；
当a<-2时，不等式的解集为.
解
若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”，与延伸探究4相比，有什么变化？
延伸探究 5
不等式中，二次项系数为a，因为a∈R，所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a=0的情况.
当a=0时，原不等式化为-2(x+1)>0，则不等式的解集为{x|x<-1}.
解
在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)一元二次不等式的概念及解法.
(2)含参的一元二次不等式的解法.
2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准.
随堂演练
四
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1.下列不等式中是一元二次不等式的是
A.ax2+bx+c>0 B.x3+5x-6>0
C.-x2-x≤5 D.mx2-5y<0
√
由一元二次不等式的定义可知，C正确.
解析
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2.函数y=x2-4x+4的零点是
A.(2，0) B.(0，4)
C.±2 D.2
√
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3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为
A. B.
C. D.R
√
3+5x-2x2≤0可化为2x2-5x-3≥0，
即(x-3)(2x+1)≥0，解得x≥3或x≤-.
解析
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4.若0∵01>m，
故原不等式的解集为.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 BD D B B D B A {x|x<-2或x>3}
题号 9 11 12 13 15
答案 {a|a>-1} B D 1对一对
答案
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(1)原不等式等价于(x+3)(x-2)≤0，
解得-3≤x≤2，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于2x2+x-6>0，
即(2x-3)(x+2)>0，
解得x<-2或x>
所以原不等式的解集为.
10.
答案
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(3)对于方程3x2-4x+2=0，
因为Δ=(-4)2-4×3×2=-8<0，
所以原不等式的解集为 .
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不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2等价于ax2+(1-a)x-2(a+1)<0，
即[ax+(a+1)](x-2)<0，
当a=0时，不等式可化为x-2<0，解集为{x|x<2}；
当a≠0时，与不等式对应的一元二次方程的两根为x1=-=-1-x2=2.
当a>0时，x1当-x2，此时不等式的解集为；
14.
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当a=-时，x1=x2，此时不等式的解集为{x|x≠2}；
当a<-时，x1综上所述，当a=0时，解集为{x|x<2}；
当a>0时，解集为；
当-当a=-时，解集为{x|x≠2}；
当a<-时，解集为.
16.
答案
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因为Δ=4a2-8，所以当Δ<0，即-所以原不等式的解集为 ；
当Δ=0，即a=±时，原不等式对应的方程有两个相等实根，
当a=时，原不等式的解集为{x|x=}，
当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-}；
当Δ>0，即a>或a<-时，原不等式对应的方程有两个不等实根，
16.
答案
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分别为x1=a-x2=a+且x1综上所述，当-当a=时，原不等式的解集为{x|x=}；
当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-}；
当a>或a<-时，原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
基础巩固
1.(多选)函数y=x2-4x+3的零点为
A.(1，0) B.1
C.(3，0) D.3
√
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√
2.不等式>0的解集是
A. B.
C. D.
√
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3.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}，B={x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于
A.{1，2，3} B.{1，2}
C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}
√
由(2x+1)(x-3)<0，得-又x∈N*且x≤5，则x=1，2，3，4，5，所以B={1，2，3，4，5}，故A∩B={1，2}.
解析
答案
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4.已知p：x2+2x-3<0，q：x2+x-2<0，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由p：x2+2x-3<0，得-3由q：x2+x-2<0，得-2则p是q的必要不充分条件.
解析
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5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是
A. B.
C. D.
√
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方法一　取x=1检验，满足，排除A；
取x=4检验，不满足，排除B，C.
方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0，
即(x-1)(2x+9)≤0，解得-≤x≤1.
解析
6.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m√
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方程(m-x)(n+x)=0的两根为m，-n，
因为m+n>0，所以m>-n，
结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略)，
得不等式的解集是{x|-n解析
7.若关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}，则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是
A.{x|x<-3或x>2} B.{x|-3C.{x|x<-2或x>3} D.{x|-2答案
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√
∵关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}，
∴a<0且b=2a，
则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0，
可化为ax2+ax-6a<0，即x2+x-6>0，
∴(x-2)(x+3)>0，∴x>2或x<-3，
∴不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
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8.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　.
{x|x<-2或x>3}
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根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图，如图.
由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
解析
9.已知不等式x(x-a+1)>a的解集是{x|x<-1或x>a}，其中a≠-1，则实数a的取值范围为　　　　　.
x(x-a+1)>a (x+1)(x-a)>0.
∵解集是{x|x<-1或x>a}，a≠-1，∴a>-1.
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{a|a>-1}
10.求下列不等式的解集：
(1)x2+x-6≤0；
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原不等式等价于(x+3)(x-2)≤0，
解得-3≤x≤2，
所以原不等式的解集为.
解
(2)6-2x2-x<0；
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原不等式等价于2x2+x-6>0，
即(2x-3)(x+2)>0，
解得x<-2或x>
所以原不等式的解集为.
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(3)3x2-4x+2<0.
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对于方程3x2-4x+2=0，
因为Δ=(-4)2-4×3×2=-8<0，
所以原不等式的解集为 .
解
11.在R上定义运算“☉”：a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为
A.{x|0C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1√
综合运用
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根据给出的定义得，
x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)
=x2+x-2=(x+2)(x-1)，
又x☉(x-2)<0，即(x+2)(x-1)<0，
故实数x的取值范围为{x|-2解析
12.设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4，[-1.1]=-2，则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是
A.{x|-3≤x≤4} B.{x|-3≤x<4}
C.{x|-2≤x≤4} D.{x|-2≤x<4}
√
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解关于[x]的不等式[x]2-[x]-6≤0，得-2≤[x]≤3，
由于[x]表示不超过x的最大整数，
可得-2≤x<4.
解析
13.若关于x的不等式x2-mx<0恰有一个整数解1，则实数m的取值范围为
　　　　.
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由x2-mx<0可知x(x-m)<0，
∵x2-mx<0恰有一个整数解1，
∴0∴1解析
114.已知a∈R，解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2.
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不等式ax2+(1-a)x+a<3a+2等价于ax2+(1-a)x-2(a+1)<0，即[ax+(a+1)](x-2)<0，
当a=0时，不等式可化为x-2<0，解集为{x|x<2}；
当a≠0时，与不等式对应的一元二次方程的两根为x1=-=-1-x2=2.
当a>0时，x1当-x2，此时不等式的解集为；
当a=-时，x1=x2，此时不等式的解集为{x|x≠2}；
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当a<-时，x1综上所述，当a=0时，解集为{x|x<2}；
当a>0时，解集为；
当-当a=-时，解集为{x|x≠2}；
当a<-时，解集为.
解
15.已知p：(x-m)2>3(x-m)是q：x2-3x-4≤0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为
A.{m|m≤-4或m≥4} B.{m|m<-4或m>4}
C.{m|-4拓广探究
√
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对于p，不等式(x-m)2>3(x-m)即(x-m)[x-(m+3)]>0，
则不等式的解集为P={x|xm+3}；
对于q，x2-3x-4≤0的解集为Q={x|-1≤x≤4}，
又已知p是q的必要不充分条件，
则Q是P的真子集，
所以m>4或m+3<-1，即m>4或m<-4，
故实数m的取值范围为{m|m<-4或m>4}.
解析
16.已知a∈R，解关于x的不等式x2-2ax+2≤0.
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因为Δ=4a2-8，所以当Δ<0，即-所以原不等式的解集为 ；
当Δ=0，即a=±时，原不等式对应的方程有两个相等实根，
当a=时，原不等式的解集为{x|x=}，
当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-}；
当Δ>0，即a>或a<-时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1=a-x2=a+且x1解
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所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
综上所述，当-当a=时，原不等式的解集为{x|x=}；
当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-}；
当a>或a<-时，原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
解
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
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