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第2课时
一元二次不等式的应用
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
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1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.(重难点)
2.熟练掌握分式不等式的解法.(重点)
3.构建二次函数模型，解决实际问题.(难点)
学习目标
一、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
二、解简单的分式不等式
课时对点练
三、一元二次不等式的实际应用
随堂演练
内容索引
二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
一
　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2例 1
由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知=-5=6.
故=-
又由a<0知c<0，故不等式cx2+bx+a<0，
即x2+x+>0，即x2-x+>0，
解得x<或x>
所以不等式cx2+bx+a<0的解集为.
解
　若本例条件不变，求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
延伸探究 1
由例1知=-5=6，且a<0，
∴b=-5a，c=6a且a<0.
不等式cx2-bx+a>0可化为6ax2+5ax+a>0，
即6x2+5x+1<0，解得-故原不等式的解集为.
解
　若将本例中条件“{x|23}”，其他条件不变，如何求解？
延伸探究 2
依题意，2与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，
∴=-5=6，且a>0，则b=-5a，c=6a(a>0).
不等式cx2+bx+a<0可化为6ax2-5ax+a<0，
即6x2-5x+1<0，解得故原不等式的解集为.
解
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号.
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式.
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
反
思
感
悟
　已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.
跟踪训练 1
∵x2+ax+b<0的解集为{x|1∴方程x2+ax+b=0的两根为1，2.
由根与系数的关系得解得
代入所求不等式，得2x2-3x+1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2+ax+1>0的解集为.
解
二
解简单的分式不等式
提示　>0与(x-3)(x+2)>0同解；
≥0与(x-3)(x+2)≥0不同解，前者的解集中不包含-2，后者的解集中包含-2.
>0与(x-3)(x+2)>0同解吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0同解吗？
问题
　解下列不等式：
(1)<0；
例 2
原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0，
∴-1故原不等式的解集为.
解
(2)≥0；
原不等式可化为≤0，
∴
即-故原不等式的解集为.
解
(3)>1.
原不等式可化为-1>0，
∴>0，即>0，
则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}.
解
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
反
思
感
悟
解下列不等式：
(1)≤0；
跟踪训练 2
不等式≤0可转化成不等式组
解得-1≤x<3.
即原不等式的解集为{x|-1≤x<3}.
解
(2)<3.
不等式<3可转化为-3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1解
一元二次不等式的实际应用
三
(课本例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-20x2+2 200x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
例 3
设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得-20x2+2 200x>60 000.
移项整理，得x2-110x+3 000<0.
对于方程x2-110x+3 000=0，Δ=100>0，
方程有两个实数根x1=50，x2=60.
画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象(如图)，
结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50从而原不等式的解集为{x|50因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~
59辆时，这家工厂能够获得60 000元以上的收益.
解
为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500.
(1)设他每月获得的利润为W(元)，写出W与x之间的函数关系式.
例 3
依题意可知每台节能灯的销售利润为(x-10)元，
每月的销售量为(-10x+500)台，
所以每月获得的利润W与销售单价x之间的函数关系式为
W=(x-10)(-10x+500).
解
(2)根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3 000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
由每月获得不少于3 000元的利润，
得(x-10)(-10x+500)≥3 000，
化简得x2-60x+800≤0，解得20≤x≤40.
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，
所以20≤x≤25.
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1 000.
由20≤x≤25，得500≤-20x+1 000≤600.
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}.
解
解不等式应用题的步骤
反
思
感
悟
(课本例5)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽
车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s=v2.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1 km/h)？
跟踪训练 3
根据题意，得v2>39.5.
移项整理，得v2+9v-7 110>0.
对于方程v2+9v-7 110=0，Δ>0，方程有两个实数根
v1=.
画出二次函数s=v2+9v-7 110的图象(如图)，结合图象得不等式的解集为{v|vv2}，从而原不等式的解集为{v|vv2}.
因为车速v>0，所以v>v2.而79.9解
若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式h=v0t-gt2，其中g≈10 m/s2，v0为初速度.某同学以v0=11 m/s的速度竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留的时间为
A.1.8 s B.2.8 s C.3.8 s D.4.8 s
跟踪训练 3
√
由题意得h=11t-5t2，
令h=11t-5t2≥2，
即5t2-11t+2≤0，解得0.2所以排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为2-0.2=1.8 (s).
解析
1.知识清单：
(1)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用.
(2)简单的分式不等式的解法.
(3)一元二次不等式的实际应用.
2.方法归纳：转化法、恒等变形法.
3.常见误区：
(1)解分式不等式要同解变形.
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.不等式<0的解集为
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-21}
√
原不等式可化为(x-1)(x+2)<0，
故原不等式的解集为{x|-2解析
1
2
3
4
2.已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式≤0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0，
解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}.
由(x-2)(x-1)≤0，解得1≤x≤2，
因为x-1≠0，所以x≠1，
所以B={x|1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
解析
1
2
3
4
3.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20的解集为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2所以a<0，且-2和1是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，
所以-2+1=--2×1=
即c=-2a，b=a，
所以不等式cx2-ax+b>0可化为
-2ax2-ax+a>0，
因为a<0，所以2x2+x-1>0，
即(2x-1)(x+1)>0，解得x>或x<-1.
解析
1
2
3
4
4.某公司的笔记本电脑的生产成本y(万元)与产量x(台)之间的关系为y=
-0.1x2+10.5x+750(x∈N*)，每台电脑的售价为5 000元，要使公司盈利，则售出笔记本电脑的台数最少为
A.141 B.151 C.161 D.171
由题意，每台电脑的售价为0.5万元，
则0.5x-(-0.1x2+10.5x+750)>0，化简得(x+50)(x-150)>0，又x∈N*，
解得x>150，
故最少售出151台才能盈利.
解析
√
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 ACD B A C D B ABD 4
题号 9 11 12 13 15
答案 -4 B D AD
对一对
答案
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10.
答案
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(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000×(1+0.6x)(0整理得y=-6 000x2+2 000x+20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即
解得014.
答案
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(1)由不等式ax2+bx+c≤1的解集为得a>0，且方程ax2+bx+c-1=0的两实根分别为-1和3，
则
不等式ax2+(2b-1)x+4<0等价于ax2-(4a+1)x+4<0，即(x-4)<0，
当0<<4，即a>时，解得14.
答案
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当=4，即a=时，原不等式无解；
当>4，即0综上，当a>时，原不等式的解集为；
当a=时，原不等式的解集为 ；
当0(2)由(1)知，不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0等价于ax2-(2a+1)x-(3a+1)≤0，
14.
答案
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即(x+1)≤0，又a>0，则3+>-1，解得-1≤x≤3+
因为关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解，
因此4≤3+<5，即1≤<2，解得所以实数a的取值范围为.
16.
答案
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如图，以A市为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系.
∵AB=400，∠BAx=30°，
∴台风中心B的坐标为(200-200)，x h后台风中心B到达点P(20040x-200)处.
由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，
即(200)2+(40x-200)2≤3502，
整理得16x2-160x+375≤0，
16.
答案
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解这个不等式得3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25-3.75=2.5(h).
故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.
基础巩固
1.(多选)下列不等式中，与不等式≥0不同解的不等式是
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0C.≥0 D.(x-3)(2-x)>0
√
答案
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√
√
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由≥0，得
解得2A项，由(x-3)(2-x)≥0，得2≤x≤3，不同解；
B项，由0C项，由≥0，得(x-2)(x-3)≤0且x-3≠0，解得2≤x<3，不同解；
D项，由(x-3)(2-x)>0，得2解析
2.不等式≥1的解集是
A. B.
C. D.
√
答案
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不等式≥1，移项得-1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，则原不等式的解集为.
解析
3.“x2-x-2>0”是“<2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
√
答案
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由x2-x-2>0，解得x>2或x<-1，
由<2，解得x>或x<0，
由于{x|x>2或x<-1}是的真子集，
故“x2-x-2>0”是“<2”的充分不必要条件.
解析
4.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(单位：件)与售价p(单位：元/件)的关系为p=300-2x；与总成本r(单位：元)的关系为r=500+30x，为使月获利不少于8 600元，则月销售量x需满足
A.55≤x≤60 B.60≤x≤65
C.65≤x≤70 D.70≤x≤75
√
由题意可得(300-2x)x-(500+30x)≥8 600，
即x2-135x+4 550≤0，
则(x-65)(x-70)≤0，故65≤x≤70.
解析
答案
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5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|30的解集为
A. B.
C. D.
√
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因为关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3所以a>0且方程ax2+bx-c=0的解为x=3或x=5，
所以-=8，-=15，所以b=-8a，c=-15a，
则不等式cx2+bx-a>0，
即为不等式-15ax2-8ax-a>0，
即15x2+8x+1<0，解得-所以不等式cx2+bx-a>0的解集为.
解析
6.为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.某小区计划建设一块长为10 m、宽为6 m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪(如图所示).如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为
A.1 m B.2 m
C.3 m D.4 m
√
答案
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设花卉带的宽度为x m，则
所以(5-x)(3-x)≤5，即(x-4)2≤6，可得4-≤x≤4+
又 x<3，故4-≤x<3，而1<4-<2，
结合选项得x的可能取值为2，即花卉带的宽度可能为2 m.
解析
7.(多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1A.b<0且c>0
B.a-b+c>0
C.a+b+c>0
D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2答案
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√
√
√
对于A，由题意知a<0，且-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=
1=-1×2=-2=所以b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确；
对于B，由题意知当x=1时不等式成立，
所以a-b+c>0，所以B正确；
对于C，当x=-1时，ax2-bx+c=0，即a+b+c=0，所以C错误；
对于D，由题意得ax2+bx+c>0可转化为ax2+ax-2a>0，因为a<0，所以x2+x-2<0，所以-2所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2解析
答案
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8.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数a=　　.
4
由题意知，不等式的解集为{x|x<-1或x>4}，
则(x-a)(x+1)>0 (x+1)(x-4)>0，
故a=4.
解析
9.已知函数y=ax2-(a2+2)x+2a，若不等式y+6x≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}，则实数a的值为　　.
y+6x≤0，即不等式ax2-(a2-4)x+2a≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}，
所以a<0，且-2，-1是方程ax2-(a2-4)x+2a=0的两个实数根，
则
解得a=-4(a=1不符合题意，舍去).
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答案
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-4
10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；
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由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000×(1+0.6x)(0整理得y=-6 000x2+2 000x+20 000(0解
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
答案
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要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即
解得0所以投入成本增加的比例x应在0解
11.若关于x的不等式>0的解集是{x|-1A. B.
C. D.
√
综合运用
答案
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因为>0等价于(ax-1)(x+b)>0，
所以(ax-1)(x+b)=0的两根为-b，
因为不等式解集为{x|-1故可得a<0，且=-1，-b=3，则a=-1，b=-3；
则<0即<0，等价于(2x+3)(2x-1)>0，解得.
解析
12.某电商新售A产品，售价为每件50元，年销售量为11.8万件.为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%的营业税(即每销
售100元征税x元).第二年，电商决定将A产品的售价提高元，预计年
销售量减少x万件.要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则x的最大值是
A.2 B.5 C.8 D.10
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由题意，第二年A产品的年销售量为(11.8-x)万件，A产品的售价为元，所以第二年A产品的年销售额为(11.8-x)万元，则第二年A产品上交的营业税为(11.8-x)·x%万元.由题意可得(11.8-x)·x%≥10，化简得x2-12x+20≤0，即(x-2)(x-10)
≤0，解得2≤x≤10，所以x的最大值是10.
解析
13.已知关于x的不等式x2-bx+2b-3<0的解集为{x|x1则实数b的取值范围是　　 　　　　.
答案
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因为x1+x2=b，x1x2=2b-3，所以<2，
所以-2=<0，即-3(b-2)(2b-3)<0，解得b<或b>2.
因为x2-bx+2b-3=0有两个不相等的实数根x1，x2，
所以Δ=b2-4(2b-3)>0，
解得b<2或b>6，则b的取值范围是.
解析
14.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤1的解集为.
(1)求关于x的不等式ax2+(2b-1)x+4<0的解集；
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由不等式ax2+bx+c≤1的解集为得a>0，且方程ax2+bx+c-1=0的两实根分别为-1和3，
则
不等式ax2+(2b-1)x+4<0等价于ax2-(4a+1)x+4<0，即(x-4)<0，
当0<<4，即a>时，解得当=4，即a=时，原不等式无解；
解
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当>4，即0综上，当a>时，原不等式的解集为；
当a=时，原不等式的解集为 ；
当0解
(2)若关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解，求实数a的取值范围.
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由(1)知，不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0等价于ax2-(2a+1)x-(3a+1)≤0，
即(x+1)≤0，又a>0，则3+>-1，解得-1≤x≤3+
因为关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解，
因此4≤3+<5，即1≤<2，解得所以实数a的取值范围为.
解
15.(多选)若存在实数m，n(mA.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}
B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n}
C.c=-n
D.a2+2a>4b-4c
拓广探究
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因为mx2+(a+1)x+b-c=0的两个根为m，n，
x2+ax+b=0的两个根为m+1，n，
故m+n=-a-1，mn=b-c，m+1+n=-a，(m+1)n=b，
由于mn=b-c，(m+1)n=b，故b-c+n=b，所以n=c，故C错误；
因为n-m>1，所以n-m=>1，
两边平方得a2+2a>4b-4c，故D正确.
解析
16.某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
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如图，以A市为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系.
∵AB=400，∠BAx=30°，
∴台风中心B的坐标为(200-200)，x h后台风中心B到达点P(20040x-200)处.
由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，
即(200)2+(40x-200)2≤3502，
整理得16x2-160x+375≤0，
解这个不等式得3.75≤x≤6.25，
解
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A市受台风影响的时间为6.25-3.75=2.5(h).
故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，
时间长达2.5 h.
解
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
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