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3.1.1
函数的概念(二)
第三章　§3.1函数的概念及其表示
<<<
1.会判断两个函数是否为同一个函数.(重点)
2.会求抽象函数的定义域.(难点)
3.会求简单函数的值域.(重点)
学习目标
一、同一个函数
二、求抽象函数的定义域
课时对点练
三、求简单函数的值域
随堂演练
内容索引
同一个函数
一
提示　有确定的定义域和对应关系即能确定一个函数.
结合函数的概念，如何才能确定一个函数？
问题
　(课本例3)下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
(1)y=(
例 1
y=()2=x(x∈{x|x≥0})，它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
解
；
u==v(v∈R)它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数.
解
(3)y=
y=它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R，
但是当x<0时，它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
解
.
m==n(n∈{n|n≠0})，它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不
相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
解
　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是
A.f(x)=g(x)=
B.f(x)=g(x)=
C.f(x)=g(x)=x+3
D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数
g(x)=80x(0≤x≤5)
例 1
√
√
A项，f(x)=g(x)=不是同一个函数，对应关系不同；
B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同；
C项，f(x)=|x+3|，g(x)=x+3，不是同一个函数，对应关系不同；
D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
解析
判断两个函数为同一个函数的注意点：
(1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数.
(2)若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数.
(3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(4)在化简解析式时，必须是等价变形.
反
思
感
悟
　下列各组函数中是同一个函数的是
A.y=x+1与y= B.y=x2+1与s=t2+1
C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2
跟踪训练 1
A，C选项中两函数的定义域不同，
D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数；
B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数.
解析
√
二
求抽象函数的定义域
　(1)函数y=f(x)的定义域是[-1，3]，则f(2x+1)的定义域为　　　　.
例 2
令-1≤2x+1≤3，解得-1≤x≤1，
所以f(2x+1)的定义域为[-1，1].
解析
[-1，1]
(2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)的定义域是
A.[-1，1] B.[-5，13]
C.[-5，1] D.[-1，13]
由题意知，-2≤x≤4，所以-5≤3x+1≤13，
所以y=f(x)的定义域是[-5，13].
解析
√
　若函数f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则f(2x+1)的定义域为
　　　　.
延伸探究
由例2(2)知，f(x)的定义域为[-5，13]，
令-5≤2x+1≤13，解得-3≤x≤6，
所以f(2x+1)的定义域为[-3，6].
解析
[-3，6]
抽象函数的定义域
(1)若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集.
(2)若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域.
反
思
感
悟
求简单函数的值域
三
求下列函数的值域：
(1)y=-1；
例 3
∵≥0，∴-1≥-1，
∴y=-1的值域为[-1，+∞).
解
(2)y=x2-4x+6，x∈[1，5]；
配方得y=(x-2)2+2.
∵x∈[1，5]，
∴2≤y≤11，即函数的值域为[2，11].
解
(3) y=x+；
令t=(t≥0)，则x=.
y=+t=-t2+t+=-(t-1)2+1.
∵t≥0，∴当t=1，即x=0时，函数取得最大值，ymax=1，
∴函数y=x+的值域为(-∞，1].
解
(4) y=.
y==2+
∵≠0，故y≠2，
∴函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞).
解
求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
(4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
反
思
感
悟
　求下列函数的值域：
(1)y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；
跟踪训练 2
∵y=2x+1，且x∈{1，2，3，4，5}，
∴y∈{3，5，7，9，11}.
∴函数的值域为{3，5，7，9，11}.
解
(2)y=；
设t=-2x2+x+3，t≥0，
则t=-2
∴0≤t≤
∴0≤y≤
∴函数的值域为.
解
(3)y=x4+2x2+3；
令x2=t，则t≥0，y=t2+2t+3=(t+1)2+2，
∵t≥0，∴(t+1)2≥1，
∴y≥3，∴函数的值域为[3，+∞).
解
(4) y=.
∵y==3+≠3，
∴函数的值域为(-∞，3)∪(3，+∞).
解
1.知识清单：
(1)同一个函数.
(2)抽象函数的定义域.
(3)简单函数的值域.
2.方法归纳：换元法、配方法、分离常数法，整体代换.
3.常见误区：
(1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域.
(2)求函数值域时忽略函数的定义域.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)已知四组函数，其中是同一个函数的是
A.f(x)=x，g(x)=()2
B.f(x)=x，g(x)=
C.f(n)=2n-1，g(n)=2n+1(n∈N)
D.f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1
√
√
对于A，定义域不同；
对于C，对应关系不同；
对于BD，定义域与对应关系都相同.
解析
1
2
3
4
2.函数y=x2-2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为
A.{-1，0，3} B.{0，1，2，3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
√
由对应关系y=x2-2x得，
0→0，1→-1，2→0，3→3，
所以值域为{-1，0，3}.
解析
1
2
3
4
3.已知函数f(x)=则对任意实数x，函数f(x)的值域是
A.(0，2) B.(0，2] C.[0，2) D.[0，2]
√
依题意，f(x)==2-
显然2x2+1≥1，
则0<≤2，于是0≤2-<2，
所以函数f(x)的值域是[0，2).
解析
1
2
3
4
4.已知函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为
A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(-1，1)
由题意知
解得1解析
√
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A CD A B A B AB [0，1)
题号 9 11 12 13 15 答案 [0，+∞) CD ABD C
对一对
答案
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10.
答案
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16
(1)f(x)=
得解得-3≤x≤1，
∴函数f(x)=的定义域为[-3，1]，
由-3≤x+1≤1，得-4≤x≤0，即函数f(x+1)的定义域为[-4，0].
(2)∵函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]，
∴-1由-2<2x-5≤19，得14.
答案
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16
存在.理由如下：
f(x)=x2-x+(x-1)2+1图象的对称轴为x=1，顶点为(1，1)且开口向上.∵m>1，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2-m+=m，
即m2-4m+3=0，∴m=3或m=1(舍)，
∴存在实数m=3满足条件.
16.
答案
1
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∵f(x)=的定义域为R，
∴关于x的不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R，
∴当m=1时，不等式为 1≥0，解集为R，符合题意；
当m=-1时， 不等式为2x+1>0，解集不为R，不符合题意；
当 m≠±1 时，要使不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R，
则
16.
答案
1
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16
解得m≤-或m>1，
综上所述，实数m的取值范围是∪[1，+∞)，
∴A=.
∵f(x)=的值域为[0，+∞)，
设 f(x)=(u≥0)，值域为[0，+∞)，
则u=(m2-1)x2+(1-m)x+1 的值域能取到[0，+∞)，即umin≤0.
16.
答案
1
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当m2-1>0时，m>1或m<-1且Δ=(1-m)2-4(m2-1)≥0，解得-≤m<-1；
当 m=-1 时，u=(m2-1)x2+(1-m)x+1=2x+1，其值域能取到[0，+∞)，故 m=-1成立；
当m=1或m2-1<0时，不符合题意，
综上，-≤m≤-1，
即B=.
基础巩固
1.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是
A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2]
√
答案
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16
由f(x)=2x+1的图象(图略)知，图象整体是上升的，
当x∈[0，1]时，f(0)=1，f(1)=3，
所以值域为[1，3].
解析
2.(多选)下列各组函数为同一个函数的是
A.f(x)=x，g(x)= B.f(x)=1，g(x)=(x-1)0
C.f(x)=g(x)= D.f(t)=g(t)=t+4(t≠4)
√
答案
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答案
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对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；
对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数.
解析
3.已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则f(3-2x)的定义域为
A. B.[-1，2] C.[-1，5] D.
√
由于函数f(x)的定义域为[-1，2]，
故-1≤3-2x≤2，解得≤x≤2，
即函数f(3-2x)的定义域为.
解析
答案
1
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4.若集合A={y|y=x2-1}，B={y|y=-x2-2x}，则A∩B等于
A.(-1，1) B.[-1，1]
C.(-1，1] D.[-1，1)
√
集合A={y|y=x2-1}={y|y≥-1}，
B={y|y=-x2-2x}={y|y=-(x+1)2+1}={y|y≤1}，
则A∩B=[-1，1].
解析
答案
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5.函数y=(x≥0)的值域为
A.[-1，1) B.[-1，1]
C.[-1，+∞) D.[0，+∞)
√
答案
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答案
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y==1+.
∵x≥0，∴x+1≥1，∴0<≤1，
∴-2≤<0，
∴-1≤1+<1.
∴函数y=(x≥0)的值域为[-1，1).
解析
6.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1，2]，则y=f(x)的定义域是
A. B.[-3，3]
C.[-1，5] D.
答案
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∵y=f(-2x+1)的定义域为[-1，2]，即-1≤x≤2，
∴-3≤-2x+1≤3，
∴y=f(x)的定义域为[-3，3].
解析
√
7.(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是
A.y= B.y=2-x
C.y= D.y=-|x|
答案
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√
√
由“[a，b]交汇函数”的定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1].
对于选项A，y=的定义域A=(-∞，1]，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，1]，A正确；
对于选项B，y=2-x的定义域A=[0，+∞)，令t=≥0，则x=t2，y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1，即函数的值域B=(-∞，1]，则A∩B=[0，1]，B正确；
对于选项C，y=
∵(x-1)2≥0，∴(x-1)2+1≥1，
解析
答案
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∴0<≤1，∴函数的定义域A=R，值域B=(0，1]，则A∩B=(0，1]，C错误；
对于选项D，y=-|x|的定义域A=[-1，1]，y2=1-x2+x2-2|x|=1-2
∵-1≤x≤1，∴0≤x2(1-x2)≤则0≤y2≤1，∴-1≤y≤1，
即值域B=[-1，1]，则A∩B=[-1，1]，D错误.
解析
答案
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8.若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=的定义域是　　　　.
因为函数f(x)的定义域是[0，2]，
所以0≤2x≤2且x≠1，故g(x)的定义域是[0，1).
解析
答案
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[0，1)
9.函数y=x-2的值域为　　　　　.
令t=(t≥0)，则x=t2+1，
y=t2+1-2t=(t-1)2，
∵t≥0，∴y=(t-1)2≥0，
∴函数的值域为[0，+∞).
解析
答案
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[0，+∞)
10.(1)已知函数f(x)=求函数f(x+1)的定义域；
答案
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f(x)=
得解得-3≤x≤1，
∴函数f(x)=的定义域为[-3，1]，
由-3≤x+1≤1，得-4≤x≤0，即函数f(x+1)的定义域为[-4，0].
解
(2)已知函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]，求f(2x-5)的定义域.
答案
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∵函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]，
∴-1由-2<2x-5≤19，得解
11.(多选)下列各组函数是同一个函数的是
A.f(x)=与g(x)=x
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=x0与g(x)=
D.f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2
√
综合运用
答案
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对于A，两个函数的定义域均为{x|x≤0}，但f(x)==|x|=
-x与g(x)=x的对应关系不同，故不是同一个函数；
对于B，g(x)==|x|与f(x)=x的定义域均为R，但对应关系不同，故不是同一个函数；
对于C，两个函数的定义域都是{x|x≠0}，且f(x)=x0=1，g(x)==1，两
个函数的对应关系也相同，故是同一个函数；
对于D，f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数.
解析
12.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当-≤x≤时，
下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为
A.y=x，x∈{-1，0，1，2，3}
B.y=2x，x∈
C.y=x∈
D.y=x2-1，x∈{0，12}
√
答案
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答案
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当x∈时，f(x)=-1，
当x∈[0，1)时，f(x)=0，
当x∈[1，2)时，f(x)=1，
当x∈[2，3)时，f(x)=2，
当x∈时，f(x)=3，
所以当x∈时，f(x)的值域为{-1，0，1，2，3}，
y=x，x∈{-1，0，1，2，3}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故A正确；
解析
答案
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y=2x，x∈该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故B正确；
y=x∈该函数的值域为{-1，1，2，3，4}，故C错误；
y=x2-1，x∈{0，12}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故D正确.
解析
13.若A={y|y=x2-2x+2}，且a∈A，则的取值范围是　　　　.
答案
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因为A={y|y=x2-2x+2}={y|y=(x-1)2+1}={y|y≥1}，
又a∈A，则a≥1，
所以a+2≥3，所以0<.
解析
14.已知函数f(x)=x2-x+是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案
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存在.理由如下：
f(x)=x2-x+(x-1)2+1图象的对称轴为x=1，顶点为(1，1)且开口向上.
∵m>1，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2-m+=m，
即m2-4m+3=0，∴m=3或m=1(舍)，∴存在实数m=3满足条件.
解
15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y=2x2+1，x∈{-2}；②y=2x2+1，x∈{2}；③y=2x2+1，x∈{-2，2}.那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
拓广探究
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由2x2+1=1解得x=0；
由2x2+1=5解得x=±
所以值域为{1，5}的自变量集合有{0，-}，{0}，{0，-}，
所以值域为{1，5}的“孪生函数”共有3个：y=2x2+1，x∈{0，-}；y=2x2+1，x∈{0}；y=2x2+1，x∈{0，-}.
解析
16.已知使函数f(x)=的定义域为R的实数m的取值集合为A，使得函数f(x)的值域为[0，+∞)的实数m的取值集合为B.求集合A，B.
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∵f(x)=的定义域为R，
∴关于x的不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R，
∴当m=1时，不等式为 1≥0，解集为R，符合题意；
当m=-1时， 不等式为2x+1>0，解集不为R，不符合题意；
当 m≠±1 时，要使不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R，
则
解得m≤-或m>1，
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综上所述，实数m的取值范围是∪[1，+∞)，
∴A=.
∵f(x)=的值域为[0，+∞)，
设 f(x)=(u≥0)，值域为[0，+∞)，
则u=(m2-1)x2+(1-m)x+1 的值域能取到[0，+∞)，即umin≤0.
当m2-1>0时，m>1或m<-1且Δ=(1-m)2-4(m2-1)≥0，解得-≤m<-1；
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当 m=-1 时，u=(m2-1)x2+(1-m)x+1=2x+1，其值域能取到[0，+∞)，故 m=-1成立；
当m=1或m2-1<0时，不符合题意，
综上，-≤m≤-1，
即B=.
解
第三章　§3.1函数的概念及其表示
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