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(共68张PPT)
3.1.1
函数的概念(一)
第三章　§3.1函数的概念及其表示
<<<
1.理解函数的概念，了解构成函数的要素.(重点)
2.能正确使用区间表示数集.
3.会求函数的定义域与函数值.(难点)
学习目标
在初中，我们已经知道函数是用来刻画在某个变化过程中，自变量和因变量之间的变化规律的，给定自变量的某个取值，我们可以求得对应因变量的取值.这节课我们将在初中函数概念的基础上，应用集合语言和对应关系进一步刻画函数，从而建立更加准确的函数概念.
导 语
一、函数的概念
二、区间的概念
课时对点练
三、求函数的定义域与值
随堂演练
内容索引
函数的概念
一
提示　问题1和问题2都使用同一个解析式来表示了相应的实际问题，但是两个问题有不同的实际背景，这说明这两个函数有相同的对应关系，但是自变量的取值范围会有区别.
课本提出的问题1和问题2有什么异同点？这说明什么？
问题1
请同学们阅读课本P60-P62的问题-问题4，回答以下问题.
提示　也提到了函数.但是与问题1和问题2中的函数给出的方式不相同，问题1和问题2是用解析式给出的函数，问题3和问题4是用图象和表格呈现出来的，变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
课本问题3和问题4中是否提到了函数？请指出它们与问题1和问题2中的函数表示方式上的区别.
问题2
提示　①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示；
②都有一个对应关系；
③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么共同点吗？
问题3
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种 的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A
定义域 的取值范围A
值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
确定
唯一确定
x
y
2.已学函数的定义域和值域
(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为 ，值域为 .
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为 ，当a>0时，值域是
；当a<0时， 值域是.
(3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为 ，值域为 .
R
R
R
{x|x≠0}
{y|y≠0}
(1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.
(3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式.
(4)函数三要素：定义域、对应关系与值域.
注 意 点
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　(1)(多选)下列能表示从集合A到集合B的函数的是
A.A={-1，0，1}，B={0，1}，f：A中的数平方
B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数开方
C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数
D.A=R，B={x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
例 1
√
√
按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；
选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；
选项A和D符合函数的定义.
解析
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(2)下列图象能够作为函数y=f(x)的图象的有
由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象，(2)(3)(4)对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象.
解析
√
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
反
思
感
悟
(2)判断图形是否为函数关系的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
　设P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是
跟踪训练 1
由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意；
B符合函数的定义，符合题意；
C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值，不符合函数定义；
D中，当x=2时，有两个值与之对应，不符合函数定义.
解析
√
二
区间的概念
定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ________
{x|a{x|a≤x{x|a设a，b∈R，且a[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
定义 名称 区间 数轴表示
{x|x≥a} [a，+∞)
{x|x>a} (a，+∞)
{x|x≤b} (-∞，b]
{x|x特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.
(1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集.
(2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)“∞”是一个符号，而不是一个数.
注 意 点
<<<
　把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥-1}；
例 2
{x|x≥-1}=[-1，+∞).
解
(2){x|x<0}；
{x|x<0}=(-∞，0).
解
(3){x|-1{x|-1解
(4){x|0{x|0解
用区间表示数集的注意点
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“，”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
反
思
感
悟
　(1)集合{x|-2(2)已知区间(a2+a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　.
跟踪训练 2
由题意可知a2+a+1<7，
即a2+a-6<0，
解得-3所以实数a的取值范围是(-3，2).
解析
(-2，0)∪(0，2]
(-3，2)
求函数的定义域与值
三
(课本例2)已知函数f(x)=，
(1)求函数的定义域；
例 3
使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}.
所以，这个函数的定义域是{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}，
即［-3，-2)∪(-2，+∞).
解
(2)求f(-3)，f 的值；
将-3与代入解析式，有
f(-3)==-1；
f.
解
(3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值.
因为a>0，所以f(a)，f(a-1)有意义.
f(a)=；
f(a-1)=.
解
(1)求下列函数的定义域：
①y=3-x；
例 3
函数y=3-x的定义域为R.
解
②y=；
由于0的零次幂无意义，故x+1≠0，即x≠-1.
又x+2>0，即x>-2，
所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
解
③y=；
要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5且x≠±3，
所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}.
解
④y=.
要使函数有意义，则
即
解不等式组得-1≤x<1.
所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}.
解
(2)已知函数f(x)=x+则f(2)=　　；当a≠-1时，f(a+1)=　　　　　.
f(2)=2+.
当a≠-1时，a+1≠0，
所以f(a+1)=a+1+.
解析
a+1+
在例3(2)中，若f(b)=则b=　　　　.
延伸探究
由f(b)=b+
得b≠0，(2b-1)(b-2)=0，
解得b=或b=2.
解析
或2
(1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义.
(2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示.
(3)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得.
②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)函数的概念与三要素.
(2)用区间表示数集.
(3)函数的定义域与函数值.
2.方法归纳：定义法、图象法.
3.常见误区：函数概念的理解.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是
A.A={x|-1≤x≤1}，B={y|-1≤y≤1}，x2+y2=1
B.A={1，2，3，4}，B={0，1}，对应关系如图：
C.A=R，B=R，f：x→y=
D.A=Z，B=Z，f：x→y=
√
1
2
3
4
A错误，x2+y2=1可化为y=±显然存在x∈A，y值不唯一；
B正确，符合函数的定义；
C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；
D错误，-1∈A，在B中找不到与之相对应的数.
解析
1
2
3
4
2.函数f(x)=(x-1)0+的定义域为
A.(1，+∞) B.(-2，+∞)
C.(-2，1)∪(1，+∞) D.R
√
易知
解得x>-2且x≠1，
所以函数f(x)的定义域为(-2，1)∪(1，+∞).
解析
1
2
3
4
3.已知函数f(x)=则f 等于
A. B. C.a D.3a
√
f =3a.
解析
1
2
3
4
4.若区间[a-1，a]关于原点对称，则a=　　　.
由已知得a-1=-a，解得a=.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D D ABC ACD (1，2)
题号 9 11 12 13 15 答案 [0，26] C A 15 3
对一对
答案
1
2
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5
6
7
8
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10
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12
13
14
15
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)f(2)=g(2)=22+1=5.
(2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)=.
14.
答案
1
2
3
4
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6
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13
14
15
16
(1)要使函数有意义，
则
所以x2=1，即x=±1，从而函数的定义域为{x|x=±1}={1，-1}.
(2)要使函数有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}.
14.
答案
1
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3
4
5
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14
15
16
(3)由题意可知，关于x的不等式ax2+ax+1≥0在R上恒成立.
当a=0时，1≥0恒成立，所以a=0符合题意；
当a≠0时，则 0所以实数a的取值范围为[0，4].
16.
答案
1
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16
(1)令x=y=1，则f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.
(2)令x=2，y=3，则f(6)=f(2)+f(3)=a+b，
令x=y=6，则f(36)=2f(6)=2(a+b)，
∴f(36)=2(a+b).
基础巩固
1.区间(0，1]等于
A.{0，1} B.{(0，1]}
C.{x|0√
答案
1
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15
16
2.下列图象中，不能作为y=f(x)的函数图象的是
√
答案
1
2
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15
16
任作一条垂直于x轴的直线，移动直线此直线与函数图象至多有一个交点，选项D不满足函数图象的要求.
解析
3.已知函数f(x)=若f(a)=2，则a的值为
A. B. C. D.-
√
由f(a)=2，得=2，解得a=.
解析
答案
1
2
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4
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6
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16
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知函数f(x)由下表给出，则f 的值为
√
因为<1，所以f =1，则10f =10>2，
故f=f(10)=3.
解析
答案
1
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16
x x≤1 1y 1 2 3
5.函数y=的定义域为
A.(-∞，3] B.[0，3]
C.(0，2)∪(2，3) D.[0，2)∪(2，3]
√
答案
1
2
3
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5
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16
由题意，得
解得0≤x≤3且x≠2.
故函数的定义域为[0，2)∪(2，3].
解析
6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可以看作是从A到B的函数关系的是
A.f：x→y=x B.f：x→y=x
C.f：x→y=x D.f：x→y=x
√
答案
1
2
3
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5
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16
根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
解析
√
√
7.(多选)下列四种说法中，正确的有
A.函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
由函数定义知，A，C，D正确，B不正确.
解析
答案
1
2
3
4
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6
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√
√
√
8.若函数f(x)的定义域为[2a-1，a+1]，值域为[a+3，4a]，则a的取值范围为　　　　.
由区间的定义知
解得1解析
答案
1
2
3
4
5
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(1，2)
9.已知一枚炮弹发射后距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h=130t-5t2，则该函数的定义域为　　　　.
由题意可知130t-5t2≥0，
所以0≤t≤26，即函数h=130t-5t2的定义域为[0，26].
解析
答案
1
2
3
4
5
6
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[0，26]
10.已知f(x)=g(x)=x2+1，x∈R.
(1)求f(2)，g(2)的值；
答案
1
2
3
4
5
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15
16
f(2)=g(2)=22+1=5.
解
(2)求f(g(3))的值.
f(g(3))=f(32+1)=f(10)=.
解
11.已知集合A={1，2，k}，B={4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y=3x+1，则k的值为
A.5 B.4 C.3 D.2
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
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16
根据对应关系为y=3x+1，3×1+1=4，3×2+1=7，由题意可得3×k+1=3k+1=10，
所以k=3.
解析
12.已知函数f(x)=+bx-3，且f(-1)=-1，则f(1)的值为
A.-5 B.-3 C.-1 D.1
√
答案
1
2
3
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6
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15
16
因为 f(-1)=-a-b-3=-1，
所以 a+b=-2，
所以f(1)=a+b-3=-2-3=-5.
解析
13.已知集合A=B={0，1，2，3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有　　种.
答案
1
2
3
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5
6
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15
答案
1
2
3
4
5
6
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14
15
16
由函数的定义知，此函数可分为四类：
若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况；
若函数是三对一对应，则值域有{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共6种情况；
若函数是二对一对应，则值域有{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4种情况；
若函数是一对一对应，则值域为{0，1，2，3}，共1种情况.
综上，该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种).
解析
14.(1)求y=的定义域；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
要使函数有意义，
则
所以x2=1，即x=±1，从而函数的定义域为{x|x=±1}={1，-1}.
解
(2)求f(x)=的定义域；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
要使函数有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}.
解
(3)若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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15
16
由题意可知，关于x的不等式ax2+ax+1≥0在R上恒成立.
当a=0时，1≥0恒成立，所以a=0符合题意；
当a≠0时，则 0所以实数a的取值范围为[0，4].
解
15.已知函数f(x)的定义域为A={1，2，3，4}，值域为B={7，8，9}，且对任意的x拓广探究
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
由题意知，当1，2对应7时，3对应8，4对应9；
当1对应7时，2，3对应8，4对应9；
当1对应7时，2对应8，3，4对应9，所以一共有3个.
解析
16.已知函数f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.
(1)求f(1)的值；
答案
1
2
3
4
5
6
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9
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11
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13
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15
16
令x=y=1，则f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.
解
(2)若f(2)=a，f(3)=b(a，b均为常数)，求f(36)的值.
答案
1
2
3
4
5
6
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9
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14
15
16
令x=2，y=3，则f(6)=f(2)+f(3)=a+b，
令x=y=6，则f(36)=2f(6)=2(a+b)，
∴f(36)=2(a+b).
解
第三章　§3.1函数的概念及其表示
<<<

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