资源简介

(共64张PPT)
第1课时
函数的单调性
第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值
<<<
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.(重点)
2.能够利用定义证明函数的单调性.(重点)
3.掌握函数单调性的简单应用.(难点)
学习目标
同学们，大家有没有体验过过山车？风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关.
导 语
一、直观感知函数的单调性
二、利用定义证明函数的单调性
课时对点练
三、函数单调性的简单应用
随堂演练
内容索引
直观感知函数的单调性
一
提示　函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大.从左向右看图象下降，反映了函数值随着自变量的增大而减小.
观察下面三个函数图象，从升降趋势上看，它们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
问题
1.函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 .
如果 x1，x2∈I，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 .
<
<
增函数
<
>
减函数
2.单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间I叫做y=f(x)的 .
单调性
单调区间
(1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性.
(2)同区间性，即x1，x2∈I.
(3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替.
(4)有序性，即要规定x1(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一.
(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质.
注 意 点
<<<
　已知函数f(x)=x2-4|x|+3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间.
例 1
f(x)=x2-4|x|+3=
如图.
由图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[-2，0)，[2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，-2)，[0，2).
解
(1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间.
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.
反
思
感
悟
　作出函数y=|x|(x-2)的图象，并写出函数的单调区间.
跟踪训练
y=|x|(x-2)=
函数的图象如图中实线部分所示.
由函数的图象知，函数的单调递增区间为
(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1).
解
二
利用定义证明函数的单调性
　(课本例3)根据定义证明函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增.
例 2
x1，x2∈(1，+∞)，且x1y1-y2=
=(x1-x2)+
=(x1-x2)+(x1x2-1).
由x1，x2∈(1，+∞)，得x1>1，x2>1.
所以x1x2>1，x1x2-1>0.
又由x1于是(x1x2-1)<0，即y1所以，函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增.
证明
x1，x2∈(2，+∞)，且x1f(x1)-f(x2)=
=.
因为2所以x2-x1>0，x2+x1>0>4>4，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减.
证明
　证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减.
例 2
　证明本例中的函数f(x)在区间(-∞，-2)上单调递增.
延伸探究 1
x1，x2∈(-∞，-2)，且x1f(x1)-f(x2)=
因为x1所以x2-x1>0，x2+x1<0>4>4，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)=在区间(-∞，-2)上单调递增.
证明
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式.
(3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论.
(4)结论：根据定义确定单调性.
反
思
感
悟
函数单调性的简单应用
三
若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　 　　　.
例 3
f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3，
因此函数的单调递增区间为(-∞，-a-1]，
因为f(x)在(-∞，3]上单调递增，
所以-a-1≥3，
解得a≤-4，即实数a的取值范围为(-∞，-4].
解析
角度1　已知单调性求参数的范围
(-∞，-4]
　在本例中，若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a的值为　　　.
延伸探究 2
f(x)=-x2-2(a+1)x+3
=-(x+a+1)2+(a+1)2+3，
因此函数的单调递增区间为(-∞，-a-1]，
由题意得-a-1=3，所以a=-4.
解析
-4
　若函数f(x)=为R上的增函数，则
实数a的取值范围为　　　 　.
延伸探究 3
∵f(x)为R上的增函数，
则
解得-5≤a≤-4，
∴实数a的取值范围为[-5，-4].
解析
[-5，-4]
　已知函数f(x)=为R上的增函数，则实数t的取
值范围为　　　　　　 .
延伸探究 4
∵f(x)为R上的增函数，
则解得t≤-1或t=0.
∴实数t的取值范围为{t|t≤-1或t=0}.
解析
{t|t≤-1或t=0}
已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件.
反
思
感
悟
若函数f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是
　　　　　　.
例 4
由f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，得x>1-x x>
即x的取值范围是.
解析
角度2　应用单调性解不等式
　若f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值
范围是　　　　 .
延伸探究 5
因为f(x)是定义在(-1，1)上的增函数且f(x)>f(1-x)，
所以即x的取值范围是.
解析
　若函数f(x)是定义在R上的增函数，则f与f的
大小关系是　　　　　　　 .
延伸探究 6
∵a2+2a+=(a+1)2+函数f(x)是定义在R上的增函数，
∴f ≤f .
解析
f ≤f
(1)利用函数的单调性可以比较函数值的大小，此时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
(2)利用函数的单调性可以求解不等式，若不等式的两边具备“同构形式”(如f(a)>f(b))，则可以依据函数单调性的定义，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)函数的单调性与单调区间.
(2)利用定义证明函数的单调性.
(3)单调性的简单应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)函数的单调区间不能用“∪”连接.
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围时忽略函数的定义域.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数y=f(x)，x∈[-4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是
A.[-4，4]
B.[-4，-3]∪[1，4]
C.[-3，1]
D.[-3，4]
√
由图象知f(x)的单调递增区间为[-3，1].
解析
1
2
3
4
2.(多选)下列四个函数中存在单调递减区间的是
A.f(x)=8-x B.f(x)=(x-2)2
C.f(x)=-+1 D.f(x)=x2+2x
√
A中函数在R上为减函数，
B中函数在(-∞，2)上单调递减，
D中函数在(-∞，-1)上单调递减，
C中函数在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，故A，B，D中函数存在单调递减区间.
解析
√
√
1
2
3
4
3.若f(x)=(2k-1)x+b是R上的减函数，则有
A.k> B.k>- C.k< D.k<-
√
由2k-1<0，得k<.
解析
1
2
3
4
4.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2-2)　　　　.
由x2-2<-x，即x2+x-2<0，
解得-2解析
(-2，1)
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A B BD C D BD
题号 8 9 11 12 13 15
答案 D CD [-3，0] (-∞，-2)∪
(1，+∞)
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)如图1，
f(x)的单调递增区间为[-2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，-2).
(2)如图2，
f(x)的单调递增区间为和[2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，1)和.
14.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设11，
∵函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴f(x1)-f(x2)=x1-
=(x1-x2)<0.
∵10，即a>-x1x2.
∵x1x2>1，∴-x1x2<-1，∴a≥-1.
∴a的取值范围是[-1，+∞).
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)∵对于任意x1，x2∈(0，+∞)，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，
∴令x1=x2=4，得f(4×4)=f(4)+f(4)=2，
∴f(16)=2.
(2)由任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1≠x2时>0，
得f(x)为(0，+∞)上的增函数.
由(1)知，f(16)=2，
∴f(x+6)+f(x)>f(16)，
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴f((x+6)x)>f(16)，∴
解得x>2，∴x的取值范围是(2，+∞).
基础巩固
1.函数f(x)=|x|，g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是
A.(-∞，0]，(-∞，1] B.(-∞，0]，(1，+∞)
C.[0，+∞)，(-∞，1] D.[0，+∞)，[1，+∞)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)，得f(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)在(-∞，1]上单调递增.
解析
2.已知函数y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，则函数f(x)=bx+a在R上是
A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0
C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，所以a<0，b<0，所以f(x)=bx+a在R上为减函数且f(0)=a<0.
解析
3.“函数f(x)在区间[1，2]上不单调递增”的一个充要条件是
A.“存在a，b∈[1，2]，使得aB.“存在a，b∈[1，2]，使得aC.“存在a∈(1，2]，使得f(a)≤f(1)”
D.“存在a∈(1，2)，使得f(a)≥f(2)”
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，
即任意a，b∈[1，2]，使得a则若函数f(x)在区间[1，2]上不单调递增，
即存在a，b∈[1，2]，使得a解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有<0”的有
A.f(x)=|x-1| B.f(x)=-3x+1
C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)=
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有<0，
则f(x)在(0，+∞)上单调递减，
f(x)=|x-1|在(1，+∞)上单调递增，故A错误；
f(x)=-3x+1在(0，+∞)上单调递减，故B正确；
f(x)=x2+4x+3的对称轴方程为x=-2，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，故C错误；
f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故D正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.已知函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，且f(2)=-1，则满足f(2x-4)>
-1的实数x的取值范围是
A.(3，+∞) B.(-∞，3) C.[2，3) D.[0，3)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，且f(2)=-1，
又∵f(2x-4)>-1=f(2)，
∴0≤2x-4<2，解得2≤x<3，
∴实数x的取值范围是[2，3).
解析
6.已知函数f(x)=x2-mx+3在区间[-1，1]上单调，则实数m的取值范围是
A.
B.[-2，2]
C.
D.(-∞，-2]∪[2，+∞)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵函数f(x)=x2-mx+3的图象的对称轴方程为x=且函数f(x)在[-1，1]上单调，
∴≤-1或≥1，
解得m≤-2或m≥2，
则实数m的取值范围为(-∞，-2]∪[2，+∞).
解析
7.(多选)设函数f(x)是定义在R上的减函数，则下列选项正确的是
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)f(x)是定义在R上的减函数，当a>0时，a<2a，f(a)>f(2a)，
当a≤0时，a≥2a，f(a)≤f(2a)，故A错误；
由于a2-(a-2)=>0，则a2>a-2，
所以f(a2)当a=0时，a2+a=a，则f(a2+a)=f(a)，故C错误；
由a2+1>a，得f(a2+1)解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
8.函数y=|x|(1-x)的单调递增区间是　　　　　，单调递减区间是
　 　　　　　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(-∞，0)和
y=|x|(1-x)=作出其图象，如图，
观察图象知其单调递增区间是
单调递减区间是(-∞，0)和.
解析
9.已知函数y=f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)a的取值范围为　　　　.
由题意知解得0解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.画出下列函数的图象，并写出它的单调区间.
(1)f(x)=|x+2|；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解
如图1，
f(x)的单调递增区间为[-2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，-2).
(2)f(x)=|x2-3x+2|.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解
如图2，
f(x)的单调递增区间为和[2，+∞)，
单调递减区间为(-∞，1)和.
11.已知函数f(x)=满足对任意x1，x2∈R，x1≠x2>0，则实数a的取值范围是
A.(-∞，-2] B.[-2，0)
C.[-3，0) D.[-3，-2]
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题可得，函数
f(x)=在R上是增函数，
则
解得-3≤a≤-2.
解析
12.(多选)已知函数f(x)在R上是减函数，且a+b>0，则下列说法正确的是
A.f(a)+f(b)>0 B.f(a)-f(-b)>0
C.f(-a)-f(b)>0 D.f(a)+f(b)√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
由a+b>0，则a>-b，b>-a，因为函数f(x)在R上是减函数，所以f(a)0，f(a)+f(b)令f(x)=-x，a=2，b=-1，则f(a)+f(b)=f(2)+f(-1)=-2+1=-1<0，故A错误.
解析
13.若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在(-1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是　 　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
[-3，0]
①当a=0时，f(x)=-3x+1在R上单调递减，∴a=0满足条件；
②当a≠0时，f(x)=ax2+(a-3)x+1，
对称轴方程为x=-
∴解得-3≤a<0.
由①②得-3≤a≤0，故a的取值范围是[-3，0].
解析
14.已知函数f(x)=x-在(1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设11，
∵函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴f(x1)-f(x2)=x1-
=(x1-x2)<0.
∵10，即a>-x1x2.
∵x1x2>1，∴-x1x2<-1，∴a≥-1.
∴a的取值范围是[-1，+∞).
解
15.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+
f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.若f(x2-2)+f(x)<0，则x的取值范围为
　 　　　　　.
拓广探究
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(-∞，-2)∪(1，+∞)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设x10，
当x>0时，f(x)<0恒成立，则f(x2-x1)<0，
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0，即f(x2)∴函数y=f(x)是R上的减函数.
易知f(0)=2f(0)，则f(0)=0.
f(x2-2)+f(x)<0 f(x2-2+x)∴x2+x-2>0，解得x>1或x<-2，
故x的取值范围是(-∞，-2)∪(1，+∞).
解析
16.设函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足条件f(4)=1，对于任意x1，x2∈
(0，+∞)，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(16)的值；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵对于任意x1，x2∈(0，+∞)，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，
∴令x1=x2=4，得f(4×4)=f(4)+f(4)=2，
∴f(16)=2.
解
(2)若f(x+6)+f(x)>2，求x的取值范围.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1≠x2时>0，
得f(x)为(0，+∞)上的增函数.
由(1)知，f(16)=2，
∴f(x+6)+f(x)>f(16)，
∴f((x+6)x)>f(16)，∴
解得x>2，∴x的取值范围是(2，+∞).
解
第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值
<<<

展开更多......

收起↑