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(共77张PPT)
3.1.2
函数的表示法
第三章　§3.1　函数的概念及其表示
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1.掌握函数的三种表示方法.(重点)
2.会求函数的解析式.(重点)
3.会用解析法及图象法表示分段函数，能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
学习目标
上节课我们学习了函数的概念及三要素，研究了求函数定义域、值域的方法，这节课，我们来研究函数的表示法.首先，请大家结合初中所学以及课本P60-P62的问题1-问题4，试着总结一下函数的表示方法有哪几种？各有什么优缺点？
导 语
一、函数的表示法
二、求函数的解析式
课时对点练
三、分段函数
随堂演练
内容索引
函数的表示法
一
函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法
表示法 概念 优缺点
解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确
　(课本例4)某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
例 1
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x，x∈{1，2，3，4，5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
解
用图象法可将函数y=f(x)表示为如图所示.
　中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗？
例 1
月饼数x 1 2 3 4 5
钱数y 6 12 18 24 30
函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，用解析法可将函数表示为f(x)=6x，x∈{1，2，3，4，5，6}.
列表法可将函数表示为
解
图象法可将函数表示为
列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，且三种表示法互相兼容或补充，但是无论是用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
反
思
感
悟
二
求函数的解析式
　(1)已知f(+1)=x+2求f(x)；
例 2
方法一　(换元法)令t=+1，
则x=(t-1)2，t≥1，
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
方法二　(配凑法)f(+1)=x+2
=x+2+1-1=(+1)2-1.
因为+1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
解
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x，求f(x)；
依题意，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由f(0)=1，得c=1，则f(x)=ax2+bx+1.
又因为f(x+1)-f(x)=2x，
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x，
即2ax+a+b=2x.
由恒等式性质，得所以
所以所求二次函数为f(x)=x2-x+1.
解
(3)已知2f(x)+f=x(x∈R且x≠0)，求f(x)的解析式.
由
可知f(x)=(x≠0).
解
求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围.
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可.
反
思
感
悟
(3)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可.
(4)方程组法(或消元法)：当题目中出现f(x)和f(-x)，f(x)与
f 的关系式时，经常通过构造方程组来求解.
注意：写解析式时，应注明定义域.
反
思
感
悟
　(1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)；
跟踪训练 1
方法一　(配凑法)∵f(x+1)=x2-3x+2
=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6，
∴f(x)=x2-5x+6.
方法二　(换元法)令t=x+1，则x=t-1，
∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6，
即f(x)=x2-5x+6.
解
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，求f(x)；
设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b.
又f(f(x))=4x+8，∴a2x+ab+b=4x+8，
即解得
∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-8.
解
(3)已知f(x)+2f(-x)=9x+2，求f(x)的解析式.
∵f(x)+2f(-x)=9x+2， ①
∴f(-x)+2f(x)=9(-x)+2， ②
②×2-①得3f(x)=-27x+2，
即f(x)=-9x+.
解
分段函数
三
提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
函数y=是两个函数吗？
问题
分段函数
定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数.
分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集.
注 意 点
<<<
(课本例6)给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R，
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；
例 3
在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象(如图).
解
(2) x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}.
例如，当x=2时，M(2)=max{f(2)，g(2)}=max{3，9}=9.
请分别用图象法和解析法表示函数M(x).
由图中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，
可得函数M(x)的图象(如图).
由(x+1)2=x+1，得x(x+1)=0.
解得x=-1，或x=0.
结合图象，得出函数M(x)的解析式为M(x)=
解
已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者).
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
例 3
在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
令-x2+2=x，得x=-2或x=1.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)=
即φ(x)=
解
(2)求函数φ(x)的定义域和值域；
由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)=1，
∴φ(x)的值域为(-∞，1].
解
(3)解关于x的不等式φ(x)≥-1.
当φ(x)=-1时，当x≤-2或x≥1时，
-x2+2=-1，解得x=
当-2由图象知，φ(x)≥-1的解集为[-1].
解
分段函数的图象需要分段画.作分段函数的图象时，我们要先忽略各段上定义域的限制，分别作出各段解析式对应的图象，然后根据各段的定义域，从相应的图象上截取需要保留的一段图象即可.作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏.
反
思
感
悟
(1)已知函数f(x)=则f(6)等于
A.-2 B.0 C.1 D.2
跟踪训练 2
f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0-2=-2.
解析
√
(2)某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元.设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，则函数P=f(x)的表达式
为　　 　 　　.
f(x)=
设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个，
则x0=100+=650.
当0当x≥650时，P=41.
∴P=f(x)=x∈N.
解析
1.知识清单：
(1)函数的三种表示法.
(2)函数的解析式常见求法.
(3)分段函数求值(范围)问题.
(4)分段函数的应用.
2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、方程组法、分类讨论、数形结合法.
3.常见误区：
(1)求函数解析式时容易忽视定义域.
(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.
(3)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知函数f(2x-1)=4x+6，则f(x)的解析式是
A.f(x)=2x+8 B.f(x)=2x+1
C.f(x)=2x+2 D.f(x)=4x+2
√
因为f(2x-1)=4x+6=2(2x-1)+8，
所以f(x)=2x+8.
解析
1
2
3
4
2.设函数f(x)=则f(f(3))等于
A. B.3 C. D.
√
f(3)=f(f(3))=f+1=+1=.
解析
1
2
3
4
3.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是
A.[-4，2) B.[-4，2]
C.(0，2] D.(-4，2]
√
当x≤0时，f(x)≥-1即x+1≥-1，解得x≥-4，故-4≤x≤0；
当x>0时，f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1，
解得0≤x≤2，故0综上，x的取值范围是[-4，2].
解析
1
2
3
4
4.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是
√
根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D；
然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C AD A BCD -4x2+4x+7
题号 9 11 12 13
答案 BC {y|y≤2} f(x)=x2+x+1
对一对
答案
1
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14
15
10.
答案
1
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14
15
(1)由题意，
得y=
(2)∵该职工八月份缴纳了54元的税款，
∴5 000解得x=6 800.
故这名职工八月份的工资是6 800元.
14.
答案
1
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15
(1)由图可知，当x<0时，f(x)=3；
当0≤x≤4时，设f(x)=a(x-2)2-1，a≠0，
把点(1，0)代入得a-1=0，解得a=1，
所以f(x)=(x-2)2-1；
当x>4时，设f(x)=kx+b(k≠0)，
把点(4，3)，(5，0)代入得解得
所以f(x)=-3x+15.
14.
答案
1
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15
所以f(x)=
(2)f(x)≤x+1，
当x<0时，由3≤x+1，解得x≥4，矛盾，舍去；
当0≤x≤4时，由(x-2)2-1≤x+1，解得≤x≤4；
当x>4时，由-3x+15≤x+1，解得x≥4，所以x>4.
综上，不等式f(x)≤x+1的解集为.
15.
答案
1
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14
15
(1)当-1≤x<0时，[x]=-1，
所以f(x)=x+1；
当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x；
当1≤x<2时，[x]=1，所以f(x)=x-1.
综上，
f(x)=
15.
答案
1
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15
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1).
基础巩固
1.已知函数f(x)的对应关系如表，函数g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))等于
由题图表知g(2)=1，f(1)=2，所以f(g(2))=2.
解析
答案
1
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15
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
√
2.下列图象是函数y=x|x|的图象的是
答案
1
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15
√
函数y=x|x|=分段画出图象如选项D所示.
解析
3.已知f =2x+3，则f(6)的值为
A.15 B.7 C.31 D.17
√
方法一　令-1=t，则x=2t+2，
f(t)=2(2t+2)+3=4t+7，
∴f(x)=4x+7，f(6)=4×6+7=31.
方法二　令-1=6，则x=14，
∴f(6)=2×14+3=31.
解析
答案
1
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15
4.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+2，则f(2)等于
A.- B.- C. D.
√
方法一　由2f(x)+f(-x)=3x+2得2f(-x)+f(x)=-3x+2，消去f(-x)得f(x)=3x+
所以f(2)=.
方法二　当x=2时，2f(2)+f(-2)=8；
当x=-2时，2f(-2)+f(2)=-4，
解得f(2)=.
解析
答案
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15
5.(多选)设函数f(x)=若f(a)=6，则实数a等于
A.-4 B.-3 C.4 D.3
√
答案
1
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√
由得a=-4或a=3.
解析
6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
√
答案
1
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15
答案
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15
该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为
y=
由y=16m，可知x>10.
令2mx-10m=16m，解得x=13.
解析
7.(多选)已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确
的是
A.f(x)的定义域是R
B.f(x)的值域是(-∞，5)
C.若f(x)=3，则x=
D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点
答案
1
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15
√
√
√
答案
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14
15
f(x)的定义域是(-∞，2)，所以A选项错误；
当x≤-1时，x+2≤1，
当-1所以f(x)的值域是(-∞，5)，所以B选项正确；
由B选项的分析可知，若f(x)=3，
则解得x=所以C选项正确；
画出f(x)的图象如图所示，由图可知，D选项正确.
解析
8.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，则f(x)=
　　　　　.
答案
1
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15
-4x2+4x+7
答案
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15
方法一　(利用“一般式”)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
方法二　(利用“顶点式”)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
∵f(2)=f(-1)，
解析
答案
1
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15
∴函数图象的对称轴为直线x=
∴m=.
又函数有最大值8，
∴f(x)=a+8.
∵f(2)=-1，
∴a+8=-1，解得a=-4，
∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
解析
9.已知函数f(x)=则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为
　 　　　.
答案
1
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15
由题意可得
或
由解得1≤x<；
由解得x<-综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为
.
解析
答案
1
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6
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15
10.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按表格分段累计计算：
答案
1
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15
全月应纳税所得额 税率
不超过3 000元的部分 3%
超过3 000元至12 000元的部分 10%
超过12 000元至25 000元的部分 20%
某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元.
(1)请写出y关于x的函数关系式；
答案
1
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15
由题意，
得y=
解
答案
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15
全月应纳税所得额 税率
不超过3 000元的部分 3%
超过3 000元至12 000元的部分 10%
超过12 000元至25 000元的部分 20%
(2)有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？
∵该职工八月份缴纳了54元的税款，
∴5 000解得x=6 800.
故这名职工八月份的工资是6 800元.
解
11.(多选)已知狄利克雷函数f(x)=则下列结论正确的是
A.f(x)的值域为[0，1]
B.f(f(x))=1
C.f(x+1)=f(x)
D.f(x)的图象经过点
√
√
综合运用
答案
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答案
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15
对于A，f(x)的值域为{0，1}，故A错误；
对于B，当x是有理数时，f(x)=1， f(f(x))= f(1)=1，当x是无理数时，f(x)=0，f(f(x))= f(0)=1，故B正确；
对于C，当x是有理数时，x+1也为有理数，当x是无理数时，x+1也为无理数，故f(x+1)=f(x)成立，故C正确；
对于D，因为f =1，所以f(x)的图象经过点故D错误.
解析
12.设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为　　　　.
答案
1
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15
{y|y≤2}
当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2；
当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2；
当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2.
故y=根据函数解析式作出函数图象，如图所示.
由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}.
解析
13.已知函数f(x)满足f(0)=1，对任意实数x，y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，则函数f(x)的解析式为　　　　　　.
答案
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f(x)=x2+x+1
令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，
则f(x)=x2+x+1.
解析
14.已知函数f(x)的图象如图所示，在区间上是抛物线的一段.
(1)求f(x)的解析式；
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由图可知，当x<0时，f(x)=3；
当0≤x≤4时，设f(x)=a(x-2)2-1，a≠0，
把点(1，0)代入得a-1=0，解得a=1，
所以f(x)=(x-2)2-1；
当x>4时，设f(x)=kx+b(k≠0)，
把点(4，3)，(5，0)代入得解得
所以f(x)=-3x+15.
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所以f(x)=
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(2)解不等式f(x)≤x+1.
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f(x)≤x+1，
当x<0时，由3≤x+1，解得x≥4，矛盾，舍去；
当0≤x≤4时，由(x-2)2-1≤x+1，解得≤x≤4；
当x>4时，由-3x+15≤x+1，解得x≥4，所以x>4.
综上，不等式f(x)≤x+1的解集为.
解
15.已知函数f(x)=x-[x]，x∈[-1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.05]=-4，[2.1]=2.
(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；
拓广探究
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当-1≤x<0时，[x]=-1，
所以f(x)=x+1；
当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x；
当1≤x<2时，[x]=1，所以f(x)=x-1.
综上，
f(x)=
解
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；
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函数f(x)的图象如图所示.
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(3)根据图象写出函数f(x)的值域.
由图象，得函数f(x)的值域为[0，1).
解
第三章　§3.1　函数的概念及其表示
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