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第2课时
函数的最大(小)值
第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值
<<<
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.(重点)
3.会借助函数的单调性求最值.(难点)
4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题.
学习目标
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便落下，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，这节课让我们来研究函数的最大值与最小值.
导 语
一、函数的最大值和最小值
二、利用函数的单调性求函数的最值
课时对点练
三、探究生活中的实际问题
随堂演练
内容索引
函数的最大值和最小值
一
提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A，函数y=-2x+1，x∈[-1，+∞)的图象有最高点B，函数y=f(x)的图象有最高点C.
如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的图象.请标出三个图象的最高点.
问题1
提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
你是怎样理解函数图象最高点的？
问题2
函数的最值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x) M；
(2) x0∈D，使得 .
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
≤
f(x0)=M
同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足：
(1) x∈D，都有f(x) m；
(2) x0∈D，使得 .
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.
函数的最大值和最小值统称为最值.
≥
f(x0)=m
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个.
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值.
注 意 点
<<<
　已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值.
例 1
作出函数f(x)的图象，如图.
由图象可知，当x=±1时，f(x)取最大值1.
当x=0时，f(x)取最小值0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
解
图象法求函数最值的一般步骤
反
思
感
悟
　已知f(x)=|x-1|+|x-2|，
(1)作出f(x)的图象；
跟踪训练 1
f(x)=|x-1|+|x-2|=
图象如图.
解
(2)求f(x)的最值.
通过图象可知，f(x)的最小值为1，无最大值.
解
二
利用函数的单调性求函数的最值
提示　最大值为f(b)，最小值为f(a).
若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
问题3
提示　函数的最大值或最小值不一定在端点处取到，需要结合函数的单调性.如我们将例1中函数的定义域调整为区间(-1，2]，显然函数f(x)的最大值仍然为1，最小值仍然为0，但是取得最值时对应的x的值都不在端点处.
是否所有存在最值的函数，最大值或最小值一定在端点处取到？
问题4
　(课本例5)已知函数f(x)=(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值.
例 2
x1，x2∈[2，6]，且x1f(x1)-f(x2)=
==.
由2≤x10，(x1-1)(x2-1)>0，
于是f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以，函数f(x)=在区间[2，6]上单调递减.
因此，函数f(x)=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
解
设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>
f(x1)-f(x2)=
=.由于x2>x1>
所以x2-x1>0，且(2x1-1)(2x2-1)>0，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=在区间上单调递减.
证明
　已知函数f(x)=.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
例 2
由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减，
因此，函数f(x)=在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)=3，最小值为f(5)=.
解
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值.
　例2条件不变，若对 x∈[1，5]，m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围.
延伸探究 1
只需m大于等于f(x)在区间[1，5]上的最大值即可，由例2(2)可知，该最大值为3，
故实数m的取值范围为[3， +∞).
解
　例2条件不变，求函数f(x)在[1，+∞)上的最值.
延伸探究 2
由例2(1)知函数f(x)在[1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3，f(x)无最小值.
解
　已知函数g(x)=求函数g(x)在[1，+∞)上的最值.
延伸探究 3
g(x)==2+
由例2(1)可知，g(x)在[1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，g(x)有最大值g(1)=5，g(x)无最小值.
解
(1)利用单调性求最值的一般步骤
①判断函数的单调性.
②根据单调性找到最值点，并计算出最值.
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).
②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.
反
思
感
悟
探究生活中的实际问题
三
(课本例4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)？
例 3
画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，
纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
当t=-=1.5时，函数有最大值h=≈29.
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，
这时距地面的高度约为29 m.
解
某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划压缩生产某产品的成本.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=
x∈N*，由市场调研知，该产品每台
的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；
例 3
由题意可得W(x)=x∈N*，
所以W(x)=x∈N*.
解
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
当0当x=35时，W(x)取最大值，W(35)=2 050(万元)；
当40=-+1 700≤-2+1 700
=1 580(万元)，
当且仅当x2=3 600，即x=60时，等号成立，即W(x)≤1 580(万元)，因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35台时，所获利润最大，最大利润为2 050 万元.
解
解应用题的步骤是①审清题意；②建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；③总结结论，回归题意.
反
思
感
悟
　将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
跟踪训练 2
设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x-50)元，销量减少10(x-50)个，
销量为500-10(x-50)=(1 000-10x)个，
则y=(x-40)(1 000-10x)
=-10(x-70)2+9 000.
故当x=70时，ymax=9 000.
即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元.
解
1.知识清单：
(1)函数的最大值、最小值定义.
(2)求解函数最值的方法.
(3)利用函数最值解决生活中的实际问题.
2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为
A.f B.f(0)，f
C.f f(0) D.f(0)，f(3)
√
观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f .
解析
1
2
3
4
2.函数f(x)=的最大值为
A.1 B.2 C. D.
√
当x≥1时，函数f(x)=单调递减，
此时f(x)在x=1处取得最大值，
最大值为f(1)=1；
当x<1时，函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=2.
综上可得，f(x)的最大值为2.
解析
1
2
3
4
3.函数y=的定义域是(-∞，1)∪[2，5]，则其值域是
A.(-∞，0)∪ B.(-∞，2]
C.∪[2，+∞) D.(0，+∞)
√
因为函数y=在(-∞，1)和[2，5]上都是单调递减的，
故y∈(-∞，0)∪.
解析
1
2
3
4
4.如图，用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为　　m.
设隔墙长度为x m，则0场地面积为S m2，
则S=x·=12x-2x2=-2(x-3)2+18.
所以当x=3时，S有最大值.
解析
3
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D B C D B
题号 9 11 12 13 15 答案 BCD D
对一对
答案
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10.
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原函数化为y=
在平面直角坐标系内作出其图象，如图.
观察图象得，
函数y=-x(|x-2|-2)的单调递减区间是[-1，0]，[2，5]，
单调递增区间是(0，2)，
当x=2时，ymax=4，当x=5时，ymin=-5，
所以原函数最大值为4，最小值为-5.
14.
答案
1
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(1)由题意可得，该商场日收入的函数关系式为w(t)=f(t)·g(t)
=
所以w(t)=
(2)由(1)可得
14.
答案
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w(t)=
①当1≤t≤9时，t++10≥16，当且仅当t=
即t=3时取等号，此时取得最小值16；
②当9即t=18时，取得最小值.
综合①②可得，该商场日收入的最小值为千元.
16.
答案
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f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.
则f(x)的图象开口向上，其对称轴方程为x=1，
(1)f(x)在[-2，1]上单调递减，在(1，3]上单调递增，
所以f(x)min=f(1)=2.
又因为f(-2)>f(3)，
所以f(x)max=f(-2)=11.
(2)①当t>1时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，
16.
答案
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所以g(t)=f(t)=t2-2t+3.
②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=2.
③当t+1<1，即t<0时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，
所以g(t)=f(t+1)=t2+2，
综上可得g(t)=
16.
答案
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∴f((x+6)x)>f(16)，∴
解得x>2，∴x的取值范围是(2，+∞).
基础巩固
1.下列函数在区间[1，4]上的最大值为3的是
A.y=+2 B.y=3x-2
C.y=x2 D.y=1-x
√
答案
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选项B，C在[1，4]上均单调递增，
选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确.
解析
2.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为
A.10，5 B.10，6
C.7，6 D.7，5
√
答案
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当1≤x≤3时，6≤2x+4≤10，当-1≤x<1时，5≤x+6<7.
∴f(x)min=f(-1)=5，f(x)max=f(3)=10.
解析
3.已知f(x)=2x+3，g(x)=则函数y=f(x)·g(x)的最大值为
A.-3 B.0 C.3 D.不存在
√
答案
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由题意得y=f(x)·g(x)=
其图象如图所示.
由图象知，函数y=f(x)·g(x)的最大值不存在.
解析
4.设函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为a和b，则a2+b2
等于
A.50 B.52 C.36 D.80
√
答案
1
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易知f(x)==2+
所以函数f(x)在[3，4]上单调递减，
所以a=f(3)=2+=6，b=f(4)=2+=4，
所以a2+b2=36+16=52.
解析
5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1
=-x2+21x和L2=2x(其中x为销售量，单位：辆).若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元
√
设公司在甲地销售x(x∈N)辆车，公司获得的总利润为L万元，
则在乙地销售(15-x)辆车，
∴L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30
=-+30+又x∈N，
∴当x=9或10时，L取得最大值，最大值为120万元.
解析
答案
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6.函数f(x)=x2-2x-1，当x∈(-2，4]时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是
A.(-∞，-2) B.(-∞，7) C.(-∞，7] D.(-∞，-2]
√
答案
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f(x)=(x-1)2-2的图象开口向上，对称轴为直线x=1，函数f(x)在区间(-2，1]上单调递减，在区间(1，4]上单调递增，所以函数f(x)在(-2，4]上的最小值为f(1)=-2.又因为当x∈(-2，4]时，f(x)≥m恒成立，所以实数m的取值范围是(-∞，-2].
解析
7.若函数y=f(x)的值域为[1，3]，则函数F(x)=1-2f(x+2)的值域是
A.[-9，-5] B.[-5，-1] C.[-1，3] D.[1，3]
由于函数y=f(x)的值域为[1，3]，
则1≤f(x+2)≤3，-6≤-2f(x+2)≤-2，
所以-5≤1-2f(x+2)≤-1.
解析
答案
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√
8.函数y=x∈[3，5]的最小值是　　.
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易知y==2-
由y=在[3，5]上单调递减，
得y=2-在[3，5]上单调递增，
故函数的最小值为2-
解析
9.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是　　　 .
当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)=a；
当x>0时，x+≥2，f(x)的最小值为f(1)=2.
∵f(0)是f(x)的最小值，
∴f(0)=a≤2.
解析
答案
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(-∞，2]
10.画出函数y=-x(|x-2|-2)，x∈[-1，5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
答案
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答案
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解
原函数化为y=
在平面直角坐标系内作出其图象，如图.
观察图象得，
函数y=-x(|x-2|-2)的单调递减区间是[-1，0]，[2，5]，
单调递增区间是(0，2)，
当x=2时，ymax=4，当x=5时，ymin=-5，
所以原函数最大值为4，最小值为-5.
11.(多选)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≤1，则称f(x)满足“L条件”，则下列函数满足“L条件”的是
A.f(x)=-x，x∈(-1，1) B.f(x)=x+1，x∈[1，2]
C.f(x)=x2-x∈ D.f(x)=x∈(1，2)
√
综合运用
答案
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√
√
答案
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对于A，取x1=x2=-
则|f(x1)-f(x2)|=>1，故A不满足“L条件”；
对于B，f(x)=x+1在[1，2]上单调递增，
则f(x)的最小值为f(1)=2，最大值为f(2)=3，
所以对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤3-2=1，故B满足“L条件”；
对于C，f(x)=x2-上单调递减，在(0，1]上单调递增，
f(0)=-f(1)=1-=-f=-
解析
答案
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所以f(x)的最大值为-最小值为-
所以对任意的x1，x2∈都有|f(x1)-f(x2)|≤=1，
故C满足“L条件”；
对于D，函数f(x)=在(1，2)上单调递减，值域为
所以对任意的x1，x2∈(1，2)，|f(x1)-f(x2)|<1-故D满足“L条件”.
解析
12.若函数f(x)=x2-4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围为
A.[1，2] B.[2，3] C.[1，3] D.[2，4]
√
答案
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f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1，x∈[0，m].由函数f(x)的最小值为1，f(2)=1，知m≥2.又函数f(x)的最大值为5，f(0)=5，f(4)=5，所以2≤m≤4.
解析
13.已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为则实数m的值为　　.
函数f(x)=即f(x)=2+
当m=2时，f(x)=2，不成立；
当m-2>0，即m>2时，f(x)在[0，1]上单调递减，可得f(0)为最大值，
即f(0)=解得m=成立；
当m-2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，可得f(1)为最大值，
即f(1)=解得m=3，不成立；
综上可得m=.
解析
答案
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14. 经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数f(t)(单位：千人)与时间t(单位：天)的函数关系近似满足f(t)=1+(0(1)求该商场的日收入w(t)(单位：千元)与时间t(单位：天)(1≤t≤18，t∈N*)的函数关系式；
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由题意可得，该商场日收入的函数关系式为w(t)=f(t)·g(t)
=
所以w(t)=
解
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由(1)可得w(t)=
①当1≤t≤9时，t++10≥16，当且仅当t=
即t=3时取等号，此时取得最小值16；
②当9即t=18时，取得最小值.
综合①②可得，该商场日收入的最小值为千元.
解
(2)求该商场日收入的最小值.
15.已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，若对任意的x1∈[-1，2]，都存在
x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，则实数a的取值范围是　　　　.
拓广探究
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∵函数f(x)=x2-2x的图象开口向上，其对称轴方程为x=1，
∴当x∈[-1，2]时，f(x)的最小值为f(1)=-1，最大值为f(-1)=3，
则此时f(x)的取值范围为[-1，3].
∵g(x)=ax+2(a>0)在[-1，2]上单调递增，
∴当x∈[-1，2]时，g(x)的最小值为g(-1)=-a+2，最大值为g(2)=2a+2，
此时g(x)的取值范围为[-a+2，2a+2].
∵对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，
∴解得0解析
16.已知二次函数f(x)=x2-2x+3.
(1)当x∈[-2，3]时，求f(x)的最值；
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f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.
则f(x)的图象开口向上，其对称轴方程为x=1，
f(x)在[-2，1]上单调递减，在(1，3]上单调递增，
所以f(x)min=f(1)=2.
又因为f(-2)>f(3)，
所以f(x)max=f(-2)=11.
解
(2)当x∈[t，t+1]时，求f(x)的最小值g(t).
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①当t>1时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，
所以g(t)=f(t)=t2-2t+3.
②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=2.
③当t+1<1，即t<0时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，
所以g(t)=f(t+1)=t2+2，
综上可得g(t)=
解
第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值
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