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(共62张PPT)
第2课时
奇偶性的应用
第三章　3.2.2　奇偶性
<<<
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.(重点)
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.(难点)
学习目标
一、根据函数的奇偶性求函数的解析式
二、函数的奇偶性与单调性的综合应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
根据函数的奇偶性求函数的解析式
一
已知函数的奇偶性求解析式：
如果已知函数f(x)的奇偶性和区间[a，b]上的解析式，求f(x)在对称区间
[-b，-a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，就应设x在哪个区间上，即设x∈[-b，-a]；
(2)利用已知区间的解析式进行代入，求得f(-x)；
(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系，从而解出f(x)在区间[-b，-a]上的解析式.
　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求当x<0时，f(x)的解析式.
例 1
设x<0，则-x>0，
将-x代入已知的解析式得f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3.
即当x<0时，f(x)=-x2-2x-3.
解
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的
解析式.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，
∵f(x)+g(x)=. ①
用-x代替上式中的x，
得f(-x)+g(-x)=
∴f(x)-g(x)= ②
(①+②)÷2，得f(x)=(x≠±1)；
(①-②)÷2，得g(x)=(x≠±1).
解
若例1(1)条件不变，求函数f(x)的解析式.
延伸探究 1
由例1(1)知，当x<0时，f(x)=-x2-2x-3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0.
故f(x)=
解
将例1(1)中的条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式.
延伸探究 2
设x<0，则-x>0，
f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(-x)，
所以f(x)=x2+2x+3.
即当x<0时，f(x)=x2+2x+3.
解
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0.
反
思
感
悟
二
函数的奇偶性与单调性的综合应用
提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上单调递减；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上单调递增.
已知函数f(x)在(-2，-1)上单调递减，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的单调性又如何？
问题1
角度1　比较大小
提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上的最小值为-M，最大值为-m；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上的最大值为M，最小值为m.
已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？
问题2
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上 ，即在对称区间上单调性 .
2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上 ，即在对称区间上单调性 .
3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为 .
4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为 .
单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
-M
N
　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是
A.f(-0.5)C.f(0)例 2
∵函数f(x)为奇函数，
且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(-1)解析
√
把例2中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变.
(1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小；
延伸探究 3
由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增，
则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减，
∴f(-1)>f(-0.5)>f(0).
解
(2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小.
由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减.
方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)，
又f(2)∴f(-2)方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，
∵|-2|<|-3|<π，
∴f(π)>f(-3)>f(-2).
解
比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
反
思
感
悟
　设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m) 例 3
角度2　解不等式
因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减，
所以f(x)在[-2，2]上单调递减.
所以不等式f(1-m)解得-1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
解
在本例中，把条件中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
延伸探究 4
因为当x∈[0，2]时，f(x)单调递减，且f(x)为偶函数，
所以当x∈[-2，0]时，f(x)单调递增.
因为f(1-m)所以解得-1≤m<
所以实数m的取值范围为.
解
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题.
提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)利用奇偶性求函数的解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：转化法、数形结合法.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)等于
A.-3 B.-1 C.1 D.3
√
方法一　∵f(x)为奇函数，f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3，∴f(1)=-f(-1)=-3.
方法二　当x>0时，-x<0，则f(-x)=2x2+x=-f(x)，
∴f(x)=-2x2-x，故 f(1)=-3.
解析
1
2
3
4
2.若偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则
A.fC.f(2)√
∵f(x)为偶函数，∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<-<-1，
∴f(2)=f(-2)解析
1
2
3
4
3.已知函数f(x)=为奇函数，则a+b等于
A.-1 B.1 C.0 D.2
√
方法一　当x>0时，-x<0，∴f(-x)=x2-x，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x) =-f(-x)=-x2+x=ax2+bx，
∴a=-1，b=1，故a+b=0.
方法二　a+b=f(1)=-f(-1)=-[(-1)2+(-1)]=0.
解析
1
2
3
4
4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　.
(-3，3)
由题意可知|a|<3，解得-3解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A ACD C B B ABC (2，4)，(-4，-2)
题号 9 11 12 13 15
答案 (-3，0)∪(3，+∞) A C 506 -1
对一对
答案
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答案
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6
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8
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14
15
(1)当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x，
所以f(x)=
(2)设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1则f(x2)-f(x1)=(+4x2)-(+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因为016
10.
答案
1
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所以x2-x1>0，x2+x1+4>0，
所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
16
14.
答案
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15
(1)由题意可知
所以
解得故函数g(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0，
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
16
14.
答案
1
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15
因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2，2)上单调递减，
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.
16
16.
答案
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(1)因为a>b，所以a-b>0，
由题意得>0，所以f(a)+f(-b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)，
所以f(a)-f(b)>0，故f(a)>f(b).
(2)因为f(1+m)+f(3-2m)≥0，
所以f(1+m)≥-f(3-2m)，又f(x)是奇函数，
所以f(1+m)≥f(2m-3)，
16
16.
答案
1
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15
由(1)知f(x)为R上的增函数，
所以1+m≥2m-3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(-∞，4].
16
基础巩固
1.已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)=x+1，则当x<0时，f(x)等于
A.x-1 B.x+1 C.-x-1 D.-x+1
√
答案
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16
当x<0时，-x>0，f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.
解析
2.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上
A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5
C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5
√
答案
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∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1，3]上的单调性与在[-3，-1]上一致，
∴f(x)在区间[1，3]上单调递增，
又f(x)在区间[-3，-1]上有最大值5，
∴f(x)在区间[1，3]上有最小值-5.
解析
3.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+x+a-2，则
A.a=2 B.f(2)=2
C.f(x)是R上的增函数 D.f(-3)=-12
√
f(x)是R上的奇函数，故f(0)=a-2=0，得a=2，故A正确；
当x≥0时，f(x)=x2+x，所以f(2)=4+2=6，故B错误；
当x≥0时，f(x)=x2+x在[0，+∞)上单调递增，由奇函数的图象关于原点对称可知，f(x)在(-∞，0]上单调递增，故f(x)是R上的增函数，故C正确；
f(-3)=-f(3)=-(9+3)=-12，故D正确.
解析
答案
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16
√
√
4.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)的大小关系为
A.f(0)>f(-2)>f(1) B.f(-2)>f(0)>f(1)
C.f(0)>f(1)>f(-2) D.f(1)>f(0)>f(-2)
√
答案
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当m=1时，f(x)=6x+2不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，
∴m=0，∴f(x)=-x2+2，
∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，在[0，+∞)上单调递减.
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2).
解析
5.奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有
A.最大值- B.最大值
C.最小值- D.最小值
√
答案
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方法一　当x<0时，f(x)=x2+x=
所以f(x)有最小值-
因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值.
方法二　当x>0时，-x<0，所以f(-x)=-x(1-x).
又f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x)，
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-
所以当x>0时，f(x)有最大值.
解析
6.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则f(x)>0的解集是
A.{x|-33}
C.{x|x>3} D.{x|x<-3}
√
答案
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因为偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，所以f(x)=f(|x|)>0=f(3)，
则|x|>3，解得x>3或x<-3，
故f(x)>0的解集是{x|x<-3或x>3}.
解析
7.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则
A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x
C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4
答案
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√
√
√
答案
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令F(x)=[f(x)]2-3g(x)，
因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)，
所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确；
因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3， ①
所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3， ②
由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确；
易得g(2)=8+1=9，故D错误.
解析
8.已知奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，且在[0，5]上的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为　　　 　　 .
答案
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(2，4)，(-4，-2)
根据图象可得f(x)在[0，5]上的单调递增区间为(0，2)，(4，5)，单调递减区间为(2，4)，
又函数f(x)为奇函数，由奇函数在对称的区间上单调性相同得，
f(x)在[-5，0]上的单调递增区间为(-2，0)，(-5，-4)，
单调递减区间为(-4，-2).
所以f(x)在定义域[-5，5]上的单调递减区间为(2，4)，(-4，-2).
解析
9.若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　　　　.
因为f(x)为奇函数，所以=f(x)，因为f(3)=0，所以f(-3)=0.
因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以当x>0时，f(x)>0=f(3)，解得x>3；当x<0时，f(x)>0=f(-3)，解得-3解析
答案
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(-3，0)∪(3，+∞)
10.设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+4x.
(1)求f(x)的表达式.
答案
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当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x，
所以f(x)=
解
(2)证明f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
答案
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设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1则f(x2)-f(x1)=(+4x2)-(+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因为0所以x2-x1>0，x2+x1+4>0，
所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
证明
11.已知函数y=f(x)是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是
A.0 B.3 C.6 D.9
综合运用
答案
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因为函数f(x)的图象关于y轴对称，且其图象与x轴有9个交点，所以f(0) =0且其余8个交点关于原点对称，所以方程f(x)=0的所有实根之和是0.
解析
√
12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式f(ax)>f(x2+1)恒成立，则a的取值范围是
A.
B.
C.(-2，2)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
答案
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∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增，
∴函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，
∵不等式f(ax)>f(x2+1)恒成立，
∴|ax|∴-x2-1即的解集为R，
∴Δ=a2-4<0，解得-2解析
13.若函数f(x)=(t≠0)在[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　.
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506
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由题意，f(x)=2t+x∈[-2 025，2 025]，
设g(x)=x∈[-2 025，2 025]，t≠0，
其定义域关于原点对称，
则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 025，2 025].
因为g(-x)==-=-g(x)，
所以g(x)=x∈[-2 025，2 025]为奇函数，其图象关于原点对称，
所以g(x)max+g(x)min=0，
所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024，所以t=506.
解析
14.已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域；
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由题意可知
所以
解得故函数g(x)的定义域为.
解
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.
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由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0，
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2，2)上单调递减，
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.
解
15.已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=　　　.
拓广探究
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-1
∵y=f(x)+x2是奇函数，
∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2]，
∴f(x)+f(-x)+2x2=0，
∴f(1)+f(-1)+2=0.
∴g(-1)=f(-1)+2=-f(1)=-1.
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16.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有
>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
16
因为a>b，所以a-b>0，
由题意得>0，所以f(a)+f(-b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)，
所以f(a)-f(b)>0，故f(a)>f(b).
解
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(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围.
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因为f(1+m)+f(3-2m)≥0，
所以f(1+m)≥-f(3-2m)，又f(x)是奇函数，
所以f(1+m)≥f(2m-3)，
由(1)知f(x)为R上的增函数，
所以1+m≥2m-3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(-∞，4].
解
第三章　3.2.2　奇偶性
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