资源简介

(共80张PPT)
§3.3
幂函数
第三章　函数的概念与性质
<<<
学习目标
1.掌握幂函数的概念.(重点)
2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)
3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点)
导 语
同学们，到现在为止，我们已经从定义域、值域、单调性、奇偶性等多个角度，深刻地认识了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等特殊的函数模型，了解了它们的性质.今天我们来研究一种新的函数模型——幂函数.
一、幂函数的概念
二、幂函数的图象与性质
课时对点练
三、幂函数性质的综合运用*
随堂演练
内容索引
幂函数的概念
一
提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即
v=t-1，这里v是t的函数.
问题1
幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是 ，α是 .
y=xα
自变量
常数
(1)底数是自变量x.
(2)幂的系数为1.
(3)α是任意常数.
(4)函数的定义域与α有关.
注 意 点
<<<
　(1)下列函数中是幂函数的有
A.y= B.y=2x2
C.y=x2+x D.y=1
√
例 1
因为y==x-2，所以A项是幂函数；
y=2x2由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数；
y=x2+x是两项和的形式，所以C项不是幂函数；
y=1=x0(x≠0)，可以看出，常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0，1)，所以D项不是幂函数.
解析
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值.
由题意得
解得
所以m=-3或m=1，n=.
解
幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①底数是自变量x；②幂的系数为1；③α是任意常数.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数.
反
思
感
悟
　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　.
跟踪训练 1
16
设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16，解得α=2，∴f(x)=x2，∴f(-4)=(-4)2=16.
解析
二
幂函数的图象与性质
请在同一坐标系下作出y=x，y=x2，y=x3，y=y=x-1这五个
函数的图象.
问题2
提示　
提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值或值域、奇偶性、对称性等问题.
根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
问题3
解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
图象
定义域 ____ ____ ____ ___________ __________
值域 R R
五个幂函数的图象与性质
R
R
R
解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
奇偶性 函数 函数 函数 ________________________ 函数
单调性 在(-∞，+∞)上单调______ 在(-∞，0]上单调 ，在(0，+∞)上单调______ 在(-∞，+∞)上单调______ 在[0，+∞)上单调______ 在(-∞，0)上单调 ，在(0，+∞)上单调_____
定点 ________ 奇
偶
奇
既不是奇函数也不是偶函数
奇
递增
递减
递增
递增
递增
递减
递减
(1，1)
幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增；
(3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
(4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小.
注 意 点
<<<
　(课本例题)证明幂函数f(x)=是增函数.
例 2
函数的定义域是[0，+∞).
x1，x2∈[0，+∞)，且x1f(x1)-f(x2)=
==.
因为x1-x2<0，>0，
所以f(x1)证明
　已知幂函数f(x)=xα的图象过点P试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.
例 2
因为f(x)=xα的图象过点P
所以f(2)=即2α=
解得α=-2，
所以f(x)=x-2，f(x)的图象如图所示，
根据图象可知，函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调递减区间为(0，+∞)，单调递增区间为(-∞，0).
解
幂函数图象的画法
(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y=xα在第一象限内的图象.
(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
反
思
感
悟
(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象，
已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为
A.-2，-2 B.2-2
C.--2，2 D.2-2，-
跟踪训练 2
根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y=xn
递增的速度越快，故C1的n=2，曲线C2的n=；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-曲线C4的n=-2.
解析
√
(2)若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则
A.-1B.n<-1，0C.-11
D.n<-1，m>1
√
由图象知，y=xm在(0，+∞)上单调递增，
所以m>0，
由于y=xm的图象增长的越来越慢，
所以m<1，
y=xn在(0，+∞)上单调递减，
所以n<0，
又当x>1时，y=xn的图象在y=x-1图象的下方，
所以n<-1.
解析
幂函数性质的综合运用*
三
(1)比较下列各组数中两个数的大小：
①；
例 3
因为幂函数y=x0.3在(0，+∞)上是增函数，
又所以.
解
②；
因为幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减，
又-<-
所以
解
③.
因为幂函数y=在(0，+∞)上单调递增，
又2<所以
即.
解
(2)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2).
①求f(x)的解析式；
因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，所以m2-2m+1=1，所以m=2或m=0.
当m=2时，f(x)=图象过点(4，2)；
当m=0时，f(x)=图象不过点(4，2)，舍去.
综上，f(x)=.
解
②判断函数的单调性，并进行证明；
函数f(x)在[0，+∞)上为增函数.证明如下：
设x1，x2∈[0，+∞)，且x1因为0≤x1即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)解
③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围.
因为函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f(a+1)>f(2a-3)，则
解得≤a<4.
所以a的取值范围为.
解
若本例(2)中幂函数f(x)=(m2-2m+1)在定义域上为减函数.
(1)求f(x)的解析式；
延伸探究
∵f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，
∴m2-2m+1=1，
∴m=2或m=0.
当m=2时，f(x)=在定义域上为增函数，不符合题意；
当m=0时，f(x)=在定义域上为减函数，符合题意.
综上，f(x)=.
解
(2)若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围.
∵f(x)=在定义域(0，+∞)上为减函数且f(a+1)>f(2a-3)，
则解得a>4，
∴a的取值范围为(4，+∞).
解
(1)比较幂值大小时，先看幂指数是否相同，如果相同就可以构造幂函数，利用其单调性比较大小；如果幂指数不相同，可以借助中间值比较大小，有时也可以把幂指数化成相同的，再利用单调性比较大小.
(2)解决幂函数的综合问题时首先要确定幂指数，然后根据幂指数来分析得到函数的单调性和奇偶性等性质，最后应用上述性质来解决具体的问题.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)幂函数的定义.
(2)几个常见幂函数的图象.
(3)幂函数的性质.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若幂函数的图象过点(16，2)，则该幂函数的解析式是
A.y=x4 B.y=
C.y=x8 D.y=
√
设y=xα，则16α=2，
∴α=∴y=.
解析
1
2
3
4
2.已知f(x)=若0A.f(m)B.f C.f(m)D.f √
因为f(x)=在(0，+∞)上单调递减，且0解析
1
2
3
4
3.如图，函数y=y=x，y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一
象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-2
√
1
2
3
4
因为幂函数f(x)=xα的图象过④⑧部分，
所以f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减，所以α<0，
又易知当x=2时，f(x)>故B符合题意.
解析
1
2
3
4
4.若幂函数y=(2m2+m)xm在(0，+∞)上单调递增，则m=　　.
由题意可得2m2+m=1，解得m=-1或m=.
当m=时，y=在(0，+∞)上单调递增，符合题意；
当m=-1时，y=x-1，在(0，+∞)上单调递减，不符合题意，
综上所述，m=.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C A C ABC AD 题号 9 11 12 13 15
答案 ACD ABD 4 负　任意的
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)函数y=在(0，+∞)上单调递减，
因为3<3.2，所以.
(2)函数y=在(0，+∞)上单调递增，
因为所以.
14.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为m∈(-2，2)，且m∈Z，所以m=-1，0，1.
因为对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0，即f(-x)=-f(x)，
所以f(x)是奇函数.
当m=-1时，f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②；
当m=0时，f(x)=x3，条件①②都满足；
当m=1时，f(x)=x0，条件①②都不满足.
所以同时满足①②的幂函数f(x)的解析式为f(x)=x3，当x∈[0，3]时，f(x)的值域为[0，27].
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意；
当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；
所以实数m的值为1.
(2)①g(x)=x-f(x)=x-g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下：
任取016.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
则g(x1)-g(x2)=
=(x1-x2)-
=(x1-x2)
由00，
则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
②由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
又由g(2t-1)解得基础巩固
1.下列函数：①y=x3；②y=；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=(x-1)2；
⑥y=x；⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
②⑦为自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，
⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点则f(2)等于
A. B.2 C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设幂函数为f(x)=xα，
∵幂函数的图象经过点
∴=4α，∴α=-1，∴f(x)=x-1，
∴f(2)=2-1=.
解析
3.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，+∞)上单调递增，则m等于
A.1 B.2 C.1或3 D.3
√
因为f(x)=x4-m在(0，+∞)上单调递增，
所以4-m>0，所以m<4.
又因为m∈N*，所以m=1，2，3.
又因为f(x)=x4-m是奇函数，
所以4-m是奇数，所以m=1或m=3.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.设a=b=c=则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.c>a>b C.ac>a
√
∵a=函数y=x-2在(0，+∞)上单调递减，
且
∴即a>b>c.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当x<0时，易知f(x)=x-2为幂函数，在(-∞，0)单调递增；
当x≥0时，易知f(x)=为幂函数，在[0，+∞)单调递增.
故函数f(x)=的图象如图所示.
要得到y=-f(x)，只需将y=f(x)的图象沿x轴对称即可，故C满足题意.
解析
6.(多选)以下结论中，错误的为
A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当α=0时，函数y=xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；
当α<0时，函数y=xα的图象不过(0，0)点，故B不正确；
幂函数y=x-1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；
D正确.
解析
7.(多选)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4，2)，则
A.α= B.函数f(x)的定义域为(0，+∞)
C.函数f(x)为偶函数 D.若x>1，则f(x)>1
由题意得4α=2，则α=故A正确；
f(x)=则函数f(x)的定义域为[0，+∞)，且f(x)为非奇非偶函数，故B，
C错误；
当x>1时，f(x)>f(1)=1，故D正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
8.已知α∈若幂函数y=xα的值域与定义域相同，
则α的取值集合为　　　 　.
幂函数的定义域和值域相同时，α的值可以是-11，3，
故α的取值集合为.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.不等式(2x+1<(x-3的解集为　　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
幂函数f(x)=的定义域为R，且在[0，+∞)上单调递增，
又f(-x)==f(x)，则f(x)为偶函数，
所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，
则由不等式(2x+1<(x-3可得|2x+1|<|x-3|，
整理得3x2+10x-8<0，即(3x-2)(x+4)<0，
解得-4则不等式的解集为.
解析
10.比较下列各组数的大小：
(1)；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
函数y=在(0，+∞)上单调递减，
因为3<3.2，所以.
解
(2).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
函数y=在(0，+∞)上单调递增，
因为所以.
解
11.(多选)已知幂函数y= (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的取值可能为
A.-1 B.0，2 C.1 D.3
√
√
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵幂函数y= (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2-2m-3≤0，且m2-2m-3(m∈Z)为偶数，
由m2-2m-3≤0，得-1≤m≤3，又m∈Z，
∴m=-1，0，1，2，3.
当m=-1时，m2-2m-3=1+2-3=0，为偶数，符合题意；
当m=0时，m2-2m-3=-3，为奇数，不符合题意；
当m=1时，m2-2m-3=1-2-3=-4，为偶数，符合题意；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当m=2时，m2-2m-3=4-4-3=-3，为奇数，不符合题意；
当m=3时，m2-2m-3=9-6-3=0，为偶数，符合题意，
综上所述，m=-1，1，3.
解析
12.(多选)若a>b>1>c>0>d，则下列不等式不成立的是
A.ad>bd B.dcaC.ac>bc D.b√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵d<0，∴幂函数y=xd在(0，+∞)上单调递减，
又a>b>1，∴ad∵a>0，∴幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，
又b>c>0，∴ba>ca，
又d<0，∴dba∵c>0，∴幂函数y=xc在(0，+∞)上单调递增，
又a>b>1，∴ac>bc，故C成立；
∵a>b>1，∴>1，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴幂函数y=在(0，+∞)上单调递增，
又b>c>0，∴>0，
又b>0>d，∴b>0，d<0，
∴b>d故D不成立.
解析
13.已知函数y=xα的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0，n>0，则的最小值为　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
函数y=xα的图象恒过定点A(1，1)，且点A在y=mx+n的图象上，
所以m+n=1 ，
因为m>0，n>0，
所以(m+n)
=2+≥2+2=4，
当且仅当m=n=时等号成立，
所以的最小值为4.
解析
14.已知幂函数f(x)=其中m∈(-2，2)，且m∈Z，f(x)满足：
①在区间(0，+∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0.
求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0，3]时，f(x)的值域.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为m∈(-2，2)，且m∈Z，所以m=-1，0，1.
因为对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0，即f(-x)=-f(x)，
所以f(x)是奇函数.
当m=-1时，f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②；
当m=0时，f(x)=x3，条件①②都满足；
当m=1时，f(x)=x0，条件①②都不满足.
所以同时满足①②的幂函数f(x)的解析式为f(x)=x3，当x∈[0，3]时，f(x)的值域为[0，27].
解
15.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，对任意x1，x2∈(0，+∞)，
且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)+f(b)的值为负值，则a+b
的符号为　　，ab的符号为　　　　(填“正”“负”或“任意的”).
拓广探究
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
负
任意的
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由函数f(x)为幂函数可知m2-m-1=1，解得m=-1或m=2.当m=-1时，f(x)=；当m=2时，f(x)=x3.由题意知函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，因此f(x)=x3，在R上单调递增，且满足f(-x)=-f(x)，结合f(-x)=-f(x)以及f(a)+f(b)<0，可知f(a)<-f(b)=f(-b)，所以a<-b，即b<-a，所以a+b<0.当a=0时，b<0，ab=0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab=0(b=0)或ab<0(0解析
16.若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数，且在(0，+∞)上单调递减.
(1)求实数m的值；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意；
当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；
所以实数m的值为1.
解
(2)若函数g(x)=x-f(x)，且x∈(0，+∞)，
①判断函数g(x)的单调性，并证明；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
g(x)=x-f(x)=x-g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下：
任取0则g(x1)-g(x2)=
=(x1-x2)-
=(x1-x2)
由00，
则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
解
②求使不等式g(2t-1)答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
又由g(2t-1)解得解
第三章　函数的概念与性质
<<<

展开更多......

收起↑