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§4.1
第四章　 指数函数与对数函数
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指　数
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质.能利用根式的性质对根式进行运算.(重点)
2.理解分数指数幂的含义，掌握根式和分数指数幂的互化.(重点)
3.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值.(重难点)
学习目标
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这就是本节课我们要学习的根式.
导 语
一、n次方根
二、根式与分数指数幂的互化
课时对点练
三、实数指数幂的运算
随堂演练
内容索引
四、实数指数幂的综合运用
n次方根
一
提示　如果x2=a(a>0)，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3=a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个.
如果x2=a(a>0)，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3=a呢？
问题1
提示　比如(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4=81，我们把±3叫做81的4次方根；(-2)5=-32，我们把-2叫做-32的5次方根；(±2)10=
1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n=a，那么我们把2叫做a的n次方根.
类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、
10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
问题2
1.n次方根的定义
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
2.n次方根的性质
n次方根
n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0
x=_____ x=______ x=0 x不存在
3.根式
式子叫做 ，这里n叫做 ，a叫做 .
4.根式的性质
(1) 没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作= .
(3)①当n为奇数时= (n∈N*，且n>1).
②当n为偶数时=|a|=(n∈N*，且n>1).
根式
根指数
被开方数
负数
0
a
(1)对于()n=a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.
(2)()n与意义不同，比如=-3=3，而没有意义，故()n≠.
(3)当a≥0时，()n=；当a<0且n为奇数时，()n=；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序.
注 意 点
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　(课本例1)求下列各式的值：
(1)
例 1
=-8；
解
；
=|-10|=10；
解
(3)
=|3-π|=π-3；
解
.
解
　(1)化简下列各式：
①+()5；
例 1
原式=(-2)+(-2)=-4.
解
②+()6；
原式=|-2|+2=2+2=4.
解
③(a≤1).
原式=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
解
　将例1(1)的②+()6改为“”，试化简该式.
延伸探究 1
=a+|a|=
解
　将例1(1)的③(a≤1)中的条件“a≤1”删去，试化简该式.
延伸探究 2
=|3a-3|=3|a-1|=
解
(2)已知-3原式==|x-1|-|x+3|，
∵-3∴当-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2；
当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式=
解
正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.
反
思
感
悟
二
根式与分数指数幂的互化
提示　可以..
被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？
问题3
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且
n>1).
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m， n
∈N*，且n>1).
(3)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .
0
没有意义
(4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①aras= (a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s= (a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r= (a>0，b>0，r∈Q).
拓展：① (a>0，r，s∈Q)；
②(a>0，b>0，r∈Q).
ar+s
ars
arbr
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
注 意 点
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　(课本例3)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0)：
(1)a2·
例 2
a2·；
解
.
=(a=(.
解
　将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；
例 2
原式==(.
解
(2)；
原式=.
解
(3)((b>0).
原式=[(.
解
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数　　分数指数的分母，被开方数(式)的指数　　分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
反
思
感
悟
　(1)求值：=　　　；
跟踪训练 1
-
原式==-.
解析
(2)用分数指数幂表示=　　　.
原式=.
解析
实数指数幂的运算
三
1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的 .
2.实数指数幂的运算法则
(1)aras= (a>0，r，s∈R).
(2)(ar)s= (a>0，r，s∈R).
(3)(ab)r= (a>0，b>0，r∈R).
(4)拓展：①= (a>0，r，s∈R)；
②(a>0，b>0，r∈R).
实数
ar+s
ars
arbr
ar-s
特别强调底数a>0，b>0.
注 意 点
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(课本例4)计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)；
例 3
=[2×(-6)÷(-3)]
=4ab0
=4a；
解
(2)；
=m2n-3
=；
解
(3)(.
()÷
=
=-a
=-a.
解
(1)=　　.(式中字母均是正数)
例 3
原式=
=
=a-1=.
解析
(2)计算：-(π-3)0+.
原式=-1+2=2.
解
(3)计算：.
原式==25=32.
解
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
反
思
感
悟
(1)计算：-(-2)0-；
跟踪训练 2
原式=-1--1-.
解
(2)化简：2÷(-6)(x，y>0)；
原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y.
解
(3)化简：(2(m>0).
原式=(2=26m3=64m3.
解
实数指数幂的综合运用
四
已知x+x-1=7，求值：
(1)x2+x-2；
例 4
x+x-1=7，两边平方得x2+2+x-2=49，
所以x2+x-2=47.
解
(2)；
设m=两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9，
因为m>0，所以m=3，即=3.
解
(3)x2-x-2.
设n=两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5，
因为n∈R，所以n=±
即=±.
所以x-x-1=()()=±3
x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21.
解
本例的条件不变，求x3+x-3的值.
延伸探究 3
由x+x-1=7平方可得x2+x-2=47，
所以x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=7×46=322.
解
利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式：
x2+x-2=(x±x-1)2 2，x+x-1=()2 2=()2 2.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)分数指数幂与根式的相互转化.
(3)实数指数幂的运算性质.
(4)实数指数幂的综合运用.
2.方法归纳：转化法、整体代换法.
3.常见误区：
(1)对于，当n为偶数时，忽略a≥0.
(2)混淆()n和.
(3)在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.若a<则化简的结果是
A.4a-1 B.1-4a
C.- D.-
√
∵a<∴4a-1<0，
∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a.
解析
1
2
3
4
2.(多选)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是
A.-=-(x>0) B.=-(x>0)
C.(xy>0) D.
√
√
1
2
3
4
-=-故A正确；
故B错误；
(xy>0)，故C正确；
=|y故D错误.
解析
1
2
3
4
3.化简(x>0)的结果是
A.x B.x2 C.1 D.
√
原式==x.
解析
1
2
3
4
4.已知=5(x>0)，那么等于
A. B.- C.± D.7
()2=+2=5+2=7.
又x>0，故.
解析
√
课时对点练
六
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C BD A C 1
题号 9 11 12 13 15 答案 1 A B D
对一对
答案
1
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4
5
6
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10
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10.
答案
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15
16
(1)(2)(-6)(-3)
=2×(-6)×(-3)=36a.
(2)+2-2×-0.010.5
=1+
=1+
=1+=.
14.
答案
1
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4
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15
16
(1)由x=a-3+b-2，得x-a-3=b-2，
∴
=.
(2)令=A=B，则x=A3+3AB2，y=B3+3A2B，
x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3，
x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3，
∴(x+y+(x-y=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2=8.
16.
答案
1
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5
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=
=
=
==-1.
基础巩固
1.若+(a-4)0有意义，则a的取值范围是
A.[2，+∞) B.[2，4)∪(4，+∞)
C.(-∞，2)∪(2，+∞) D.(-∞，4)∪(4，+∞)
√
由题意可知
∴a≥2且a≠4.
解析
答案
1
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16
2.化简：等于
A.1 B.-1 C.7-2π D.2π-7
√
答案
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16
=|π-4|+(π-3)=4-π+π-3=1.
解析
3.已知a>0，则下列运算中正确的是
A. B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-2)0=1 D.(-)5=-
√
故A错误；
(-a2)3=-a2×3=-a6，(-a3)2=a6，故B错误；
当a=4时，(-2)0无意义，故C错误；
(-)5=-故D正确.
解析
答案
1
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16
4.化简(其中a>0，b>0)的结果是
A. B.- C. D.-
√
=.
解析
答案
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16
5.(多选)已知xy≠0，且=-3xy2，则下列结论正确的是
A.x>0，y>0 B.x<0，y<0
C.x>0，y<0 D.x<0，y>0
√
答案
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16
√
因为=3|x|·y2，
又=-3xy2，
所以3|x|·y2=-3xy2，
又xy≠0，所以x<0，y>0或y<0.
解析
6.下列根式与分数指数幂的互化错误的是
A.-=(-x B.(y>0)
C.(x>0) D.[(x>0)
√
答案
1
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答案
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A项错误，-=-(x≥0)，而(-x(x≤0)；
B项正确(y>0)；
C项正确(x>0)；
D项正确，[(x>0).
解析
7.若3a·9b=则下列等式正确的是
A.a+b=-1 B.a+b=1
C.a+2b=-1 D.a+2b=1
∵3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1，
∴a+2b=-1.
解析
答案
1
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5
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16
√
8.当x<0时，x+=　　.
原式=x+|x|+=x-x+1=1.
解析
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答案
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9.化简：=　　.
原式==1.
解析
答案
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1
10.(1)化简：(2)(-6)(-3)(a>0，b>0)；
答案
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(2)(-6)(-3)
=2×(-6)×(-3)
=36a.
解
(2)求值：+2-2×-0.010.5.
答案
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16
+2-2×-0.010.5
=1+
=1+
=1+=.
解
11.已知2a=5b=m，且=2，则m等于
A. B.10 C.20 D.100
√
答案
1
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由题意得m>0，
∵2a=m，5b=m，
∴2=5=
∵2×5=
∴m2=10，∴m=.
解析
综合运用
12.方程的解是
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
√
答案
1
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∵=3-2，∴x-1=-2，
∴x=-.∴方程的解是x=-.
解析
13.已知a2x=3，则=　　.
答案
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原式==a2x-1+a-2x=3-1+.
解析
14.(1)已知x=a-3+b-2，化简.
答案
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由x=a-3+b-2，得x-a-3=b-2，
∴
=.
解
(2)已知=4，x=a+3y=b+3求(x+y+(x-y的值.
答案
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令=A=B，则x=A3+3AB2，y=B3+3A2B，
x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3，
x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3，
∴(x+y+(x-y=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2=8.
解
15.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存m+n期，则利息为
A.5.94万元 B.1.18万元
C.6.18万元 D.0.94万元
拓广探究
√
答案
1
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16
答案
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5
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15
16
解析
由题意可得则5(1+p)m·5(1+p)n=5.4×5.5，
即存m+n期，本利和为5(1+p)m+n=5.4×1.1=5.94，故存m+n期，利息为5.94-5=0.94(万元).
16.若a=3，求的值.
答案
1
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5
6
7
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9
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16
=
=
=
==-1.
解
第四章　 指数函数与对数函数
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