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(共59张PPT)
4.2.1
指数函数的概念
第四章　§4.2　指数函数
<<<
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用.
学习目标
同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天让我们探究一下这个问题.
导 语
一、指数函数的概念
二、求指数函数的解析式或求值
课时对点练
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
随堂演练
内容索引
指数函数的概念
一
提示　由课本问题1可知，B地景区的游客人次的年增长率是一个常数，问
题2中的衰减率也是一个常数.函数y=1.11x(x∈[0，+∞))与函数y=
(x∈[0，+∞))的函数解析式都是指数形式，底数为定值，自变量在指数位置.
阅读课本111页~113页，你有什么样的收获？
问题1
指数函数的概念：一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
y=ax
(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
注 意 点
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　(1)下列函数中是指数函数的是
A.y=2·3x B.y=
C.y=3x D.y=(-2)x
例 1
A中，3x的系数是2，故A不是指数函数；
B中，y=的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；
C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；
D中，底数-2<0，故D不是指数函数.
解析
√
(2)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
A.(0，1)∪(1，+∞) B.[0，1)∪(1，+∞)
C.∪(1，+∞) D.
依题意得2a-1>0，且2a-1≠1，
解得a>且a≠1，
即a的取值范围是∪(1，+∞).
解析
√
　将例1(2)中指数函数的解析式换为“y=(a2-3a+3)·ax”，则a的值为　　.
延伸探究
由指数函数的定义知
由①得a=1或a=2，结合②得a=2.
解析
2
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值a>0，且a≠1.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
反
思
感
悟
二
求指数函数的解析式或求值
　(课本例1)已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.
例 2
因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π，
解得a=，于是f(x)=.
所以，f(0)=π0=1，f(1)=，f(-3)=π-1=.
解
　已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　，[f(2)]2的
值为　　　.
例 2
设指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，
把点代入可得解得a=.
所以f(x)=所以[f(2)]2=.
解析
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
反
思
感
悟
　指数函数y=f(x)满足f(-2)=那么f(2)·f(1)等于
A.-3 B.9 C.27 D.81
跟踪训练 1
设指数函数y=f(x)=ax(a>0，且a≠1)，
则a-2=解得a=3，
则指数函数的解析式为y=f(x)=3x，
故f(2)·f(1)=32×31=27.
解析
√
指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
三
提示　第x次折叠后对应的层数y=3×2x(x∈N*)，
对折后的面积S=0.06×(x∈N*).
如果我们将3张A4复印纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间有什么关系？对折后的面积S(A4纸的面积近似为0.06平方米)与折叠的次数又有怎样的关系呢？
问题2
1.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型.
a>1
0(1)某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子.则第n代得到的种子数y与n的函数关系式为　　 　　　　，第5代得到的种子数为　　　　　　.
例 3
根据题意，假设第n代得到的种子数为y，
由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，
则y=120n-1(n∈N*)，
当n=5时，y=1204=2.073 6×108(粒).
解析
y=120n-1(n∈N*)
2.073 6×108
(2)某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y.
经过1年，剩留量是y=1×0.84=0.841；
经过2年，剩留量是y=0.84×0.84=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量是y=0.84x(x∈N*).
解
关于函数y=kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)在实际问题中的应用
(1)函数y=kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
反
思
感
悟
　某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt，其中e，k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，则10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
跟踪训练 1
√
设原来的细菌数为a，
由题意可得，在函数y=10ekt中，
当t=1时，y=2a，
∴2a=10ek，即ek=∴y=10
当a=10，t=7时，y=10×27=1 280，
∴10个细菌经7小时培养能达到的个数为1 280.
解析
1.知识清单：
(1)指数函数的定义.
(2)指数增长型和指数衰减型函数模型.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列各函数中，是指数函数的是
A.y=(-4)x B.y=-4x
C.y=πx-1 D.y=
√
A中函数的底数不满足大于零，故不是指数函数；
B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；
C中的指数是x-1，故不是指数函数.
解析
1
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3
4
2.若函数y=(m2-m-1)·mx是指数函数，则m等于
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
√
依题意，有
解得m=2(m=-1舍去).
解析
1
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4
3.某地大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的3倍时，所用时
间是10年.则森林面积的年增长率为　　　　.
设森林面积的年增长率为x，
根据题意可得a(1+x)10=3a，
即(1+x)10=3，则1+x=故x=-1.
故森林面积的年增长率为-1.
解析
-1
1
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3
4
4.指数函数f(x)=()x，且f(a)=27，则a=　　　.
由题意，()a=27，即=33，
∴=3，∴a=6.
解析
6
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C ACD B AC BC ABD (1，2)
题号 9 11 12 13 15 答案 C f(x)=2×4x 3 A
对一对
答案
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10.
答案
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由题意得，
经过1年后，木材蓄积量y1=200(1+5%)=200×1.05，
经过2年后，木材蓄积量y2=200×1.05×(1+5%)=200×1.052，
经过x年后，木材蓄积量y=200×1.05x.
定义域为N*.
14.
答案
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(1)因为该二次函数的对称轴为x=-
所以由题意可得-=-2，得=4，
则g(x)=4x，
则g.
(2)h(x)为偶函数.
理由如下：
14.
答案
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h(x)=g(x)+=4x+4-x，其定义域为R，关于原点对称.
因为h(-x)=4-x+4x=h(x)，
所以h(x)为偶函数.
16.
答案
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因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y=kerx(k，r为常数)，
所以解得
所以y=100
所以当x=10时，y=100×=64，
所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h.
基础巩固
1.下列函数是指数函数的是
A.y= B.y=(-8)x
C.y=2x-1 D.y=x2
√
答案
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对于A，函数y=中，a=>1，是指数函数；
对于B，函数y=(-8)x中，a=-8<0，不是指数函数；
对于C，函数y=2x-1=·2x，不是指数函数；
对于D，函数y=x2是幂函数，不是指数函数.
解析
答案
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2.若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则
A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1
C.a=1 D.a=-3
√
答案
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因为函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则解得a=1.
解析
3.(多选)已知指数函数f(x)满足f 则下列结论中正确的是
A.f(x)=5x B.f(x)=5-x
C.f(-1)= D.5f(1)=f(2)
√
设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，于是因此a=5，
函数f(x)=5x，A正确，B错误；
f(-1)=5-1=5f(1)=5×5=25=52=f(2)，C，D正确.
解析
答案
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16
√
√
4.一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0A.y=a(1+p%)x(0C.y=a(p%)x(0√
∵产品的成本是a元，1年后，成本为a-p%·a=a(1-p%)；2年后，成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2；…，
∴x年后，成本y=a(1-p%)x(0解析
答案
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5.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=3，则实数a的值为
A.-1 B.0 C.1 D.2
√
答案
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当a≥0时，f(a)=3a=3，所以a=1；
当a<0时，f(a)==3，所以a=-1.
综上，实数a的值为1或-1.
解析
√
6.(多选)函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，对于任意实数x，y都有
A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(x+y)=f(x)f(y)
C.f(x-y)= D.f(x+y)=f(x)+f(y)
√
答案
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f(xy)=axy=(ax)y=[f(x)]y或f(xy)=axy=(ay)x=[f(y)]x；
f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y)；
f(x-y)=ax-y=.
解析
√
7.(多选)下列函数关系中，不能看作是指数型函数y=kax(k≠0，a>0，a≠1)的模型的是
A.自由落体运动中，物体离地面的高度与时间的关系
B.钟表盘中，时针的运行角度与时间的关系
C.某省的人口自然增长率为1.2%时，该省的人口总数与年份的关系
D.邮件的邮资与邮件质量之间的关系
答案
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√
√
√
选项A中的关系是二次函数关系，
选项B中的关系是一次函数关系，
选项C中的关系是指数型函数关系，
选项D中的关系是分段函数关系.
解析
答案
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8.若函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是
　　　　.
∵函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，
∴0解析
答案
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(1，2)
9.已知函数f(x)=若f(f(-1))=1，则a=　　　.
∵f(-1)=21=2，
∴f(f(-1))=f(2)=a·22=1，则a=.
解析
答案
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10.某林区某年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y=f(x)的解析式，并写出此函数的定义域.
答案
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由题意得，
经过1年后，木材蓄积量y1=200(1+5%)=200×1.05，
经过2年后，木材蓄积量y2=200×1.05×(1+5%)=200×1.052，
经过x年后，木材蓄积量y=200×1.05x.
定义域为N*.
解
11.函数y=f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x，则当x>0时，f(x)等于
A.-2x B.2-x C.-2-x D.2x
√
综合运用
答案
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当x<0时，f(x)=2x，
当x>0时，-x<0，则f(-x)=2-x.
又f(x)是R上的奇函数，
所以当x>0时，f(x)=-f(-x)=-2-x.
解析
12.已知函数y=f(x)，x∈R，且f(0)=2=2=2，…
=2，n∈N*，则函数y=f(x)的一个可能的解析式为　　　　　　.
答案
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f(x)=2×4x
由题意，得=4=42，…=4x，
∴f(x)=2×4x.
解析
13.已知f(2x+3)=ex，且f(x0)=1，则x0=　　.
答案
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令2x+3=t，则x=f(t)=
即f(x0)==1，解得x0=3.
解析
14.已知二次函数f(x)=ax2+bx在x=-2处取得最大值，指数函数g(x)=.
(1)求g的值；
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因为该二次函数的对称轴为x=-
所以由题意可得-=-2，得=4，
则g(x)=4x，
则g.
解
(2)设函数h(x)=g(x)+试判断h(x)的奇偶性，并说明理由.
答案
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h(x)为偶函数.
理由如下：
h(x)=g(x)+=4x+4-x，其定义域为R，关于原点对称.
因为h(-x)=4-x+4x=h(x)，
所以h(x)为偶函数.
解
15.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相等
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
拓广探究
√
答案
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设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m+8a=m(1+x)8，则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a，乙食堂的营业额y2=m(1+x)4=因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高.
解析
16.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y=kerx(k，r，e为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
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因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y=kerx(k，r为常数)，
所以解得
所以y=100
所以当x=10时，y=100×=64，
所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h.
解
第四章　§4.2　指数函数
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