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(共67张PPT)
4.2.2
指数函数的图象和性质(二)
第四章　§4.2　指数函数
<<<
1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.(重点)
2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.(重难点)
学习目标
一、利用单调性比较大小
二、简单的指数不等式的解法
课时对点练
三、指数函数图象和性质的综合运用
随堂演练
内容索引
利用单调性比较大小
一
　(课本例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5，1.73；
例 1
1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x是增函数.
因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.
解
(2)0.；
同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数y=0.8x是减函数.
因为-，所以0..
解
(3)1.70.3，0.93.1.
由指数函数的性质知
1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1.
解
　比较下列各题中数的大小：
(1)1.11.1，1.10.9；
例 1
因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9，
故1.11.1>1.10.9.
解
(2)0.1-0.2，0.10.9；
因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9，
故0.1-0.2>0.10.9.
解
(3)30.1，π0.1；
因为y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，3<π，
故30.1<π0.1.
解
(4)1.70.1，0.91.1；
因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1，
故1.70.1>0.91.1.
解
(5)0.70.8，0.80.7.
取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).
解
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.
反
思
感
悟
　(1)下列大小关系正确的是
A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
跟踪训练 1
0.43<0.40=1=π0=30<30.4.
解析
√
(2)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是
A.aC.b∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b解析
√
二
简单的指数不等式的解法
　(1)解不等式23x-1≤2.
例 2
不等式23x-1≤2可化为23x-1≤21，
则3x-1≤1，解得x≤
故原不等式的解集是.
解
　将例2(1)改为“解不等式≤2”.
延伸探究
∵2=
∴原不等式可以转化为.
∵y=是减函数，
∴3x-1≥-1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
解
(2)已知>ax+6，求实数x的取值范围.
分情况讨论：①当0∴x2-3x+1∴x2-4x-5<0，解得-1②当a>1时，函数f(x)=ax是增函数，
∴x2-3x+1>x+6，
∴x2-4x-5>0，解得x<-1或x>5，
综上所述，当0当a>1时，实数x的取值范围是{x|x<-1或x>5}.
解
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)反
思
感
悟
指数函数图象和性质的综合运用
三
已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1.
(1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域；
例 3
因为g(x)=f(x)-1=-1=定义域为R，
设任意x∈R，-x∈R，且g(-x)==-g(x)，
所以函数g(x)是奇函数.
又因为g(x)=-1=-1，1+3-2x>1，
所以0<<2，所以-1<-1<1，
所以函数y=g(x)的值域是(-1，1).
解
(2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围.
因为y=1+3-2x是R上的减函数，
所以g(x)=-1=-1在R上是增函数，
所以y=g(x)在R上是单调递增的奇函数，
由g(m)+g(m-2)>0得，g(m)>-g(m-2)=g(2-m)，
所以m>2-m，所以m>1.
故实数m的取值范围是(1，+∞).
解
函数性质的综合应用
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
反
思
感
悟
　设a>0，函数f(x)=是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
跟踪训练 2
由f(x)=f(-x)，得
即4x=0，
所以=0，
根据题意，可得-a=0，
又a>0，所以a=1.
解
(2)求f(x)在[0，1]上的值域.
由(1)可知f(x)=4x+
设任意的x1，x2∈[0，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=
=(.
因为0≤x1所以<0.
又因为x1+x2>0，所以>1，
所以1->0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)解
所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增.
所以函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=4+；最小值为f(0)=1+1=2.
故f(x)在[0，1]上的值域为.
解
1.知识清单：
(1)比较大小.
(2)解不等式、方程.
(3)指数函数图象和性质的综合运用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：研究y=af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为
A.m>n B.mC.m=n D.不能确定
√
因为函数y=0.3x是减函数，且0.3m>0.3n，所以m解析
1
2
3
4
2.f(x)=x∈R，那么f(x)是
A.奇函数且在(0，+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增
C.奇函数且在(0，+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0，+∞)上单调递减
√
由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)=单调递减.
解析
1
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3
4
3.函数f(x)=的定义域为
A.(-3，0] B.(-3，1]
C.(-∞，-3)∪(-3，0] D.(-∞，-3)∪(-3，1]
由题意知，自变量x应满足
解得
所以函数f(x)的定义域为(-3，0].
解析
√
1
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4
4.不等式的解集为　　　　.
因为y=是减函数，
且
所以x2-2x-2即x2-3x+2<0，
解得1解析
(1，2)
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C BC C B B [4，+∞)
题号 9 11 12 13 15 答案 {x|x<1} C D B
对一对
答案
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10.
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设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)=8，所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)=
因此由g(2x-1)得2x-1>3x，解得x<-1.
所以x的取值范围为(-∞，-1).
14.
答案
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(1)要使函数f(x)有意义，则2x-1≠0，即x≠0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(x)=x3=·x3，
∴f(-x)=·(-x)3
=·(-x)3=·x3=f(x)，
14.
答案
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则函数f(x)是偶函数.
(3)∵函数f(x)是偶函数，
∴只要证明当x>0时，f(x)>0即可.
当x>0时，2x-1>0，此时x3>0，
即f(x)>0成立，
∴对定义域内的所有x，f(x)>0.
16.
答案
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(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，所以=0，
化简并变形得(a+b)(2x+2-x)+2ab+2=0，对任意的x恒成立，
则a+b=0且ab+1=0，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1.
(2)因为f(x)的定义域是R，所以a=1，b=-1舍去，
所以a=-1，b=1，所以f(x)=.
①f(x)==1-
对任意x1，x2∈R，x116.
答案
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有f(x1)-f(x2)=-
因为x1所以f(x1)因为f(t2-t)当t∈[-1，1]时，t2+t的最大值为2，所以k<2，
即实数k的取值范围是(-∞，2).
②因为f(x)·[g(x)+2]=2x-2-x，
16.
答案
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所以g(x)=2x+2-x(x≠0)，
所以g(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2，
不等式g(2x)≥m·g(x)-10恒成立，即(2x+2-x)2-2≥m(2x+2-x)-10恒成立，
令s=2x+2-x，s>2，则当s>2时，m≤s+恒成立，
因为s>2，由基本不等式可得s+≥4
当且仅当s=2时，等号成立，
所以m≤4故实数m的最大值为4.
基础巩固
1.若2x+1<1，则x的取值范围是
A.(-1，1) B.(-1，+∞)
C.(0，1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)
√
答案
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2x+1<1=20，因为函数y=2x为增函数，
所以x+1<0，所以x<-1，
所以x的取值范围为(-∞，-1).
解析
2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=则
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
√
答案
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由题意得，y1=40.9=21.8，y2=21.44，y3=21.5，
又y=2x是增函数，
所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
解析
3.已知a=0.310.1，b=0.310.2，c=0.320.1，则
A.aC.b因为指数函数y=0.31x是减函数，
所以0.310.1>0.310.2，即a>b；
因为幂函数y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，
所以0.320.1>0.310.1，即c>a，故b解析
答案
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√
4.(多选)已知不等式ax-3>a1-x，下列结论正确的是
A.当a>1时，不等式的解集为(-∞，2)
B.当a>1时，不等式的解集为(2，+∞)
C.当0D.当0√
答案
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√
当0由ax-3>a1-x，得x-3<1-x，解得x<2.
当a>1时，y=ax是增函数，
由ax-3>a1-x，得x-3>1-x，解得x>2.
因此B，C正确，A，D不正确.
解析
答案
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5.函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在[0，1]上的最大值是
A.6 B.1 C.3 D.
√
答案
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函数y=ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0+a1=3，解得a=2，
因此函数y=2ax-1=4x-1在[0，1]上单调递增，
当x=1时，ymax=3.
解析
6.已知函数f(x)=2x-2-x+5，若f(m)=4，则f(-m)等于
A.4 B.6 C.-4 D.-6
√
答案
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设g(x)=f(x)-5=2x-2-x，x∈R，
则g(-x)=2-x-2x=-g(x)，即g(x)是奇函数，
故g(m)+g(-m)=0，即f(m)-5+f(-m)-5=0，即f(m)+f(-m)=10，
因为f(m)=4，所以f(-m)=6.
解析
7.若对任意的x∈[-3，-2]，都有(2m-1)2x≤1恒成立，则m的取值范围为
A.(-∞，2] B.
C.(-∞，4] D.
答案
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√
由(2m-1)2x≤1恒成立，得2m-1≤恒成立，又x∈[-3，-2]，所以的最小值为=4，所以2m-1≤4，m≤.
解析
8.函数y=的定义域是　　 　　.
由题意得2x-1-8≥0，即2x-1≥8=23，
∴x-1≥3，解得x≥4.
解析
答案
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[4，+∞)
9.不等式23-2x<0.53x-4的解集为　　　　.
原不等式可化为23-2x<24-3x，
因为函数y=2x是增函数，
所以3-2x<4-3x，解得x<1，
则不等式的解集为{x|x<1}.
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答案
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{x|x<1}
10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)解
设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)=8，所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)=
因此由g(2x-1)得2x-1>3x，解得x<-1.
所以x的取值范围为(-∞，-1).
答案
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11.已知f(x)=(a≠0)是奇函数，则a等于
A.-2 B.-1 C.2 D.1
√
综合运用
由题意得f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，因为f(x)是奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
即=-所以
故2ax-x=2x，
所以ax-x=x，解得a=2.
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答案
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12.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0)，若f(x-2)>0，则x的取值范围是
A.(-∞，0) B.(0，4)
C.(4，+∞) D.(-∞，0)∪(4，+∞)
答案
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当x≥0时，令f(x)=2x-4>0，解得x>2.
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴其图象关于y轴对称，
∴不等式f(x)>0在R上的解集为(-∞，-2)∪(2，+∞).
∴不等式f(x-2)>0等价为x-2∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，
解得x∈(-∞，0)∪(4，+∞).
解析
13.函数f(x)=(a>0，且a≠1)是减函数，则a的取值范围
是　　　　.
答案
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由题意知f(x)是减函数，
则≤a<1.
故a的取值范围是.
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14.已知函数f(x)=x3.
(1)求函数的定义域；
答案
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要使函数f(x)有意义，则2x-1≠0，即x≠0，
则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
解
(2)讨论f(x)的奇偶性；
答案
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由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(x)=x3=·x3，
∴f(-x)=·(-x)3
=·(-x)3=·x3=f(x)，
则函数f(x)是偶函数.
解
(3)求证：对定义域内的所有x，f(x)>0.
答案
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∵函数f(x)是偶函数，
∴只要证明当x>0时，f(x)>0即可.
当x>0时，2x-1>0，此时x3>0，
即f(x)>0成立，
∴对定义域内的所有x，f(x)>0.
证明
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[-3.5]=
-4，[2.1]=2，已知函数f(x)=g(x)=[f(x)]，则下列叙述正确的是
A.g(x)是奇函数
B.f(x)在R上是增函数
C.f(x)的值域是
D.g(x)的值域是{-1，0，1}
拓广探究
√
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f(x)==-
由于g(x)的定义域为R，且g(0)=[f(0)]==1≠0，
故g(x)不是奇函数，故A错误；
由于y=1+ex为增函数且恒为正，
所以f(x)=-为增函数，B正确；
因为1+ex>1，则0<<1，
解析
答案
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所以f(x)=-的值域是故C错误；
由于f(x)=-
所以g(x)的值域是{0，1，2}，故D错误.
解析
16.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数a，b的值；
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解
因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，所以=0，
化简并变形得(a+b)(2x+2-x)+2ab+2=0，对任意的x恒成立，
则a+b=0且ab+1=0，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1.
(2)若函数f(x)的定义域为R.
①若存在t∈[-1，1]使得不等式f(t2-t)答案
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解
因为f(x)的定义域是R，所以a=1，b=-1舍去，
所以a=-1，b=1，所以f(x)=.
f(x)==1-
对任意x1，x2∈R，x1有f(x1)-f(x2)=-
因为x1所以f(x1)答案
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解
因为f(t2-t)当t∈[-1，1]时，t2+t的最大值为2，所以k<2，
即实数k的取值范围是(-∞，2).
②若函数g(x)满足f(x)·[g(x)+2]=2x-2-x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g(2x)≥m·g(x)-10恒成立，求实数m的最大值.
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解
因为f(x)·[g(x)+2]=2x-2-x，
所以g(x)=2x+2-x(x≠0)，
所以g(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2，
不等式g(2x)≥m·g(x)-10恒成立，
即(2x+2-x)2-2≥m(2x+2-x)-10恒成立，
令s=2x+2-x，s>2，则当s>2时，m≤s+恒成立，
因为s>2，由基本不等式可得s+≥4
当且仅当s=2时，等号成立，
所以m≤4故实数m的最大值为4.
第四章　§4.2　指数函数
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