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(共61张PPT)
4.2.2
指数函数的图象和性质(一)
第四章　§4.2　指数函数
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1.掌握指数函数的图象和性质.(重点)
2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题.(难点)
学习目标
请同学们回顾指数函数的定义和指数函数的解析式的特征.一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以我们今天类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，进一步研究指数函数.
导 语
提示　y=2x和y=的图象如图所示.
用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出
指数函数y=2x与y=的图象.
问题1
x -2 -1 0 1 2
y=2x

1
2
4
4
2
1
通过图象，分析y=2x与y=的性质并完成下列表格.
问题2
函数 y=2x
定义域
值域
单调性
最值
奇偶性
特殊点
y的变化情况 当x<0时，　　　　； 当x>0时，　　　 当x<0时，　　 　；
当x>0时，　　　
R
R
(0，+∞)
(0，+∞)
增函数
减函数
无最值
无最值
非奇非偶函数
非奇非偶函数
(0，1)
(0，1)
0y>1
y>1
0提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；
不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互
为倒数的函数的图象关于y轴对称.
比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？
问题3
提示　共同的性质：(1)当a>1时，函数在R上单调递增，当0(2)函数的图象恒过点(0，1).
再选取底数，a=3，a=4，a=a=在同一个坐标系中画
出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共同的性质？
问题4
a>1 0图象
性 质 定义域 R 值域 __________ 最值 __________ 过定点 过定点 ，即x= 时，y=__ 指数函数的图象和性质
(0，+∞)
无最值
(0，1)
0
1
a>1 0性 质 函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时，______ 当x>0时， ；
当x<0时，______
单调性 在R上是________ 在R上是________
奇偶性 ________________ 对称性 0y>1
0y>1
增函数
减函数
非奇非偶函数
y轴
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1).
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
注 意 点
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一、指数函数的图象
二、指数函数图象的应用
课时对点练
三、与指数函数有关的定义域(值域)问题
随堂演练
内容索引
指数函数的图象
一
　如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是
A.aC.1例 1
作直线x=1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b解析
√
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
反
思
感
悟
　函数y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是
跟踪训练 1
由题意知a>0且a≠1，且函数y=x+a为增函数.
当0当a>1时，y=ax为增函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有选项D符合.
解析
√
二
指数函数图象的应用
　(1)函数f(x)=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点
A.(0，1) B.(0，2) C.(2，1) D.(2，2)
例 2
方法一　令x-2=0，
得x=2，则f(2)=2，
故函数f(x)的图象恒过定点(2，2).
方法二　因为y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，
又f(x)=ax-2+1的图象是由y=ax的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，
故f(x)的图象恒过定点(2，2).
解析
√
(2)要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为
A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3
∵函数g(x)=3x+1+t的图象过定点(0，3+t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3+t≤0，解得t≤-3.
解析
√
与指数函数相关的图象问题
(1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.
(2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”.
反
思
感
悟
　(1)函数f(x)=2ax+1-3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是　　　 .
跟踪训练 2
因为y=ax的图象过定点(0，1)，
所以令x+1=0，即x=-1，
则f(-1)=-1，
故f(x)=2ax+1-3的图象恒过定点(-1，-1).
解析
(-1，-1)
(2)已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.
函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0解
与指数函数有关的定义域(值域)问题
三
求下列函数的定义域、值域：
(1)y=32x+1；
例 3
函数的定义域为R，
∵x∈R，∴2x+1∈R，
∴函数y=32x+1的值域为(0，+∞).
解
(2)y=23-x；
函数的定义域为R，
∵x∈R，∴3-x∈R，
∴函数y=23-x的值域为(0，+∞).
解
(3)y=.
由x-1≠0得x≠1，
∴函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，
∴≠0≠1，
∴函数的值域为(0，1)∪(1，+∞).
解
y=af(x)(a>0，且a≠1)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的值域，先求出u=f(x)的值域，再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论.
反
思
感
悟
　(1)函数f(x)=的定义域为　　　　.
跟踪训练 3
由题意可得解得-1≤x≤2，所以函数的定义域为[-1，2].
解析
[-1，2]
(2)将例3(2)的函数解析式变为f(x)=(a>0，且a≠1)，求此函数的值域.
f(x)的定义域是R，
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4，
所以当a>1时，函数f(x)的值域为(0，a4]，
当0解
1.知识清单：
(1)指数函数的图象.
(2)指数函数图象的应用.
(3)与指数函数有关的定义域(值域)问题.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y=-x对称
√
设点(x，y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点，则点(-x，y)为g(x)=π-x=
的图象上的点.因为点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)=πx
与g(x)=的图象关于y轴对称.
解析
1
2
3
4
2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0√
结合指数函数图象的特点可知01.
解析
1
2
3
4
3.函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点
A.(-1，2) B.(1，2)
C.(-1，1) D.(0，2)
∵y=ax的图象恒过定点(0，1)，
∴令x+1=0，即x=-1，则f(-1)=2.
故f(x)=3-ax+1的图象恒过定点(-1，2).
解析
√
1
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4
4.函数y=的定义域为　　　　，值域为　　　　 .
由x-2≥0，得x≥2，
所以定义域为{x|x≥2}≥0，
又因为0<<1，所以0<≤1，
即y=的值域为{y|0解析
{x|x≥2}
{y|0课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C AD D B
题号 9 11 12 13 15 答案 4 C ABD (0,1) B
对一对
答案
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10.
答案
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函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值.
14.
答案
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(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点
所以a2-1=a=.
(2)由(1)得f(x)=(x≥0)，
故函数f(x)在区间[0，+∞)上是减函数，
当x=0时，函数f(x)取得最大值2，故f(x)∈(0，2]，
所以函数y=f(x)+1=+1∈(1，3]，
所以函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1，3].
16.
答案
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(1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以
又因为a>0，且a≠1，
所以a=b=-3.
(2)由题图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1.
故a的取值范围为(0，1)，
b的取值范围为(-∞，-1).
16.
答案
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(3)由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3.
故m的取值范围为{0}∪[3，+∞).
基础巩固
1.下列图象中，函数y=2-x的大致图象是
√
答案
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易得y=2-x=∵0<<1，
∴y=2-x是减函数，且当x=0时，y=1.
解析
2.函数y=-1的定义域是
A.R B.{x|x≠1}
C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1}
√
答案
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要使y=-1有意义，
只需有意义，即x≠0.
解析
3.函数f(x)=的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.0从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0又当x=0时，f(x)<1，即a-b<1=a0，∴-b>0，即b<0.
解析
答案
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√
4.若函数f(x)=2ax+m-n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(-1，4)，则m+n等于
A.3 B.1 C.-1 D.-2
√
由题意知
解得∴m+n=-1.
解析
答案
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5.(多选)已知函数f(x)=2x+a，则
A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为R
C.f(x)是偶函数 D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数
√
答案
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f(x)的定义域为R，值域为(0，+∞)，故A项正确，B项错误；
f(-x)=2-x+a≠f(x)≠-f(x)，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故C项错误，D项正确.
解析
√
6.若a>1，-1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
答案
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∵a>1，且-1∴函数的图象如图所示.
故图象过第一、二、三象限.
解析
7.函数f(x)=的图象大致为
答案
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√
f(x)=
由指数函数的图象知B正确.
解析
8.若指数函数f(x)=(a2-1)x在R上为减函数，则a的取值范围为____________
　　　　　.
由题意得，
0即1∴-解析
答案
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(--1)∪
(1)
9.已知函数y=的图象与指数函数y=ax的图象关于y轴对称，则实数a=　　　.
因为y=与y=ax的图象关于y轴对称，
所以=a-1=解得a=4.
此时，y=与y=4x的图象关于y轴对称，符合题意.
解析
答案
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10.画出函数y=|2x-1|的图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值.
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解
函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值.
11.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-∞，1) D.(0，1)
√
综合运用
函数f(x)=的图象如图，
显然函数f(x)在R上单调递减，
∵f(x+1)∴x+1>2x，解得x<1.
解析
答案
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12.(多选)已知实数a，b满足等式2 025a=2 026b，下列等式可以成立的是
A.a=b=0 B.aC.0答案
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√
√
√
如图，观察易知，a解析
13.若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围
为　　　　.
答案
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(0，1)
由题意知，y=与y=k的图象有两个不同的交点，
又y=
如图所示，
所以0解析
14.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点其中a>0，且a≠1.
(1)求a的值；
答案
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因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点
所以a2-1=a=.
解
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
答案
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由(1)得f(x)=(x≥0)，
故函数f(x)在区间[0，+∞)上是减函数，
当x=0时，函数f(x)取得最大值2，故f(x)∈(0，2]，
所以函数y=f(x)+1=+1∈(1，3]，
所以函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1，3].
解
15.已知函数f(x)=若存在x1，x2，x3(x1=f(x2)=f(x3)，则f(x1+x2+x3)的取值范围是
A.(0，1] B.[0，1]
C.(-∞，1] D.(-∞，1)
拓广探究
√
答案
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作出f(x)的大致图象如图，其与直线y=a(0由图可知，x1，x2关于直线x=-1对称，x3>0，即x1+x2=-2，
则x1+x2+x3>-2.
由图象知，当x>-2时，f(x)∈[0，1]，
所以f(x1+x2+x3)的取值范围是[0，1].
解析
16.已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
答案
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解
由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以
又因为a>0，且a≠1，
所以a=b=-3.
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
答案
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由题图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1.
故a的取值范围为(0，1)，
b的取值范围为(-∞，-1).
(3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.
答案
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由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3.
故m的取值范围为{0}∪[3，+∞).
第四章　§4.2　指数函数
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