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(共70张PPT)
§4.3.1
第四章　 §4.3　对数
<<<
对数的概念
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.(重点)
3.会求简单的对数值.
学习目标
大家阅读课本128页的“阅读与思考”，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！
导 语
一、对数的概念
二、对数与指数的互相转化
课时对点练
三、利用对数的定义计算
随堂演练
内容索引
四、对数的相关性质
对数的概念
一
提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.
我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则
x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
问题1
对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 .
x=logaN
底数
真数
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化.
(2)logaN的读法：以a为底N的对数.
注 意 点
<<<
　若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是
A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞)
C.(-∞，2) D.(2，+∞)
例 1
要使对数式log(t-2)3有意义，
需
解得t>2，且t≠3.
所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞).
解析
√
　将例1的对数式改为“log(t-2)(t-3)”，求实数t的取值范围.
延伸探究 1
由题意可得
解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，+∞).
解
关于对数式的范围
利用式子logab 求字母的范围.
反
思
感
悟
二
对数与指数的互相转化
提示　x=log23；x=log1.112；x=log105.
现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？
问题2
两类特殊对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为 .
(2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为 .
lg N
ln N
　(课本例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54=625；
例 2
log5625=4；
解
(2)2-6=；
log2=-6；
解
(3)
lo
解
16=-4；
=16；
解
(5)lg 0.01=-2；
10-2=0.01；
解
(6)ln 10=n.
en=10.
解
　将下列指数式与对数式互化：
(1)log216=4；
例 2
24=16.
解
(2)lo=2；
.
解
(3)ln 10=n；
en=10.
解
(4)43=64；
log464=3.
解
(5)3-2=；
log3=-2.
解
(6)10-3=0.001.
lg 0.001=-3.
解
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
反
思
感
悟
　下列指数式与对数式互化不正确的一组是
A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=-
C.log39==3 D.log55=1与51=5
跟踪训练 1
因为=3化为对数式应为log93=故C不正确.
解析
√
利用对数的定义计算
三
(课本例2)求下列各式中x的值：
(1)log64x=-；
例 3
因为log64x=-，所以
x=6
解
(2)logx8=6；
因为logx8=6，所以x6=8.又x>0，所以
x=
解
(3)lg 100=x；
因为lg 100=x，所以10x=100，10x=102，
于是x=2.
解
(4)-ln e2=x.
因为-ln e2=x，所以ln e2=-x，e2=e-x，
于是x=-2.
解
求下列各式中x的值：
(1)-lg x=2；
例 3
由-lg x=2得lg x=-2，
∴x=10-2=.
解
(2)logx=-3；
由logx=-3得x-3==4-3，∴x=4.
解
(3)x=lo27；
由x=lo27得=27，即3-x=33，
∴-x=3，即x=-3.
解
(4)ln=x.
由ln=x得ex=即ex=e-2，∴x=-2.
解
求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN=m.
(2)将logaN=m写成指数式am=N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b.
反
思
感
悟
求下列各式中x的值.
(1)log3x=-3；
跟踪训练 2
由题意得x=3-3=.
解
(2)logx49=4；
由x4=49，x>0且x≠1，得x=.
解
(3)lg 0.000 01=x；
由10x=0.000 01=10-5，得x=-5.
解
(4)ln =-x.
由e-x=得x=-.
解
对数的相关性质
四
对数的性质
(1)loga1= (a>0，且a≠1).
(2)logaa= (a>0，且a≠1).
(3)负数和0没有对数.
(4)对数恒等式：= ；logaax= (a>0，且a≠1，N>0).
0
1
N
x
(1)求下列各式的值.
①log981=　　.
例 4
方法一　设log981=x，
所以9x=81=92，
故x=2，即log981=2.
方法二　log981=log992=2.
解析
2
②log0.41=　　.
方法一　设log0.41=x，所以0.4x=1=0.40，
故x=0，即log0.41=0.
方法二　log0.41=0.
解析
0
③ln e2=　　.
方法一　设ln e2=x，所以ex=e2，故x=2，即ln e2=2.
方法二　ln e2=2.
解析
2
(2)求下列各式中x的值.
①log2(log2x)=0；
∵log2(log2x)=0，
∴log2x=20=1，∴x=21=2.
解
②log3(lg x)=1.
∵log3(lg x)=1，∴lg x=31=3，
∴x=103=1 000.
解
若把例4(2)中①改为“log8[log7(log2x)]=0”，求x的值.
延伸探究 2
由题可知log7(log2x)=1，
∴log2x=7，∴x=27=128.
解
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)对数的概念.
(2)对数式与指数式的互化.
(3)对数的性质.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.(多选)下列选项中，可以作为真数求对数的是
A.1 B.0 C.π D.-x2
√
√
1
2
3
4
2.2-3=化为对数式为
A.lo2=-3 B.lo-3)=2
C.log2=-3 D.log2(-3)=
√
根据对数的定义知选C.
解析
1
2
3
4
3.已知lob=c，则有
A.a2b=c B.a2c=b
C.bc=2a D.c2a=b
√
由题意得(a2)c=b，即a2c=b.
解析
1
2
3
4
4.计算：3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　.
原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.
解析
0
课时对点练
六
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B BD B AB B
题号 9 11 12 13 15 答案 AB A B
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)log3243=5.
(2)log2=-5.
(3=81.
(4)27=128.
14.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵lox=m，
∴=x，x2=.
∵loy=m+2，∴=y，y=.
∴=16.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由log2[lolog2x)]=0，
得lolog2x)=1，log2x=即x=.
同理y=z=.
∵y=x=∴y>x.
又x==3z==2
∴x>z，∴y>x>z.
基础巩固
1.设log45=2m，则4m等于
A.± B. C. D.25
√
由log45=2m，可得42m=5，
所以4m=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为
A.a>且a≠1 B.0C.a>0，且a≠1 D.a<
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
13
14
15
16
由题意知解得0解析
3.已知lo81=x，则x等于
A.-8 B.8 C.4 D.-4
√
由题意得x=81，即=34，则x=8.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是
A.54=625与log4625=5 B.10-2=0.01与lg 0.01=-2
C.=16与log-416= D.=m与ln m=
√
54=625可化为log5625=4，故A不正确；
10-2=0.01可化为lg 0.01=-2，故B正确；
=16可化为lo16=-4，故C不正确；
=m可化为ln m=故D正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
5.化简-2-lg 0.01+ln e3等于
A.14 B.0 C.1 D.6
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
原式=4-(33-lg 10-2+3=4-32-(-2)+3=0.
解析
6.(多选)下列等式正确的有
A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0
C.若lg x=10，则x=10 D.若ln x=e，则x=e2
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
A项，lg(lg 10)=lg 1=0，故A正确；
B项，lg(ln e)=lg 1=0，故B正确；
C项，若lg x=10，则x=1010，故C错误；
D项，若ln x=e，则x=ee，故D错误.
解析
7.已知a>0且a≠1，则下列说法正确的是
A.若M=N，则logaM=logaN
B.若logaM=logaN，则M=N
C.若logaM2=logaN2，则M=N
D.若M=N，则logaM2=logaN2
A中，当M，N小于或等于0时，logaM=logaN不成立；
B正确；
C中，M与N也可能互为相反数；
D中，当M=N=0时无意义.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
8.若a=log23，则2a+2-a=　　.
∵a=log23，∴2a==3，
∴2a+2-a=2a+=3+.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.方程的解是　　.
∵=3-3，∴log2x=-3，
故x=2-3=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.将下列指数式、对数式互化：
(1)35=243；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
综合运用
log3243=5.
解
(2)2-5=；
log2=-5.
解
(3)lo81=-4；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
=81.
解
(4)log2128=7.
27=128.
解
11.(多选)下列命题正确的是
A.若lox=3，则x=2 B.若logx=-则x=64
C.若则x=4 D.若lob2=1，则a=b
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由lox=3，得x=3=2则A正确；
由logx=-得=2-4，又=x，所以x=(2-4=26=64，则B正确；
由3-2=得log3=-2，所以x-2=即x=2或x=-2，则C不正确；
D中，a，b可能互为相反数.
解析
12.已知正实数a，b满足ba=4，且a+log2b=3，则a+2b的值可以为
A.6或9 B.7或8 C.6 D.8
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为a+log2b=3，所以log2b=3-a，
所以b=23-a，
所以ba=(23-a)a==4=22，
所以-a2+3a=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2，
当a=1时，b=4，则a+2b=9；当a=2时，b=2，则a+2b=6.
解析
13.若a=lg 2，b=lg 3，则10的值为　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵a=lg 2，∴10a=2.∵b=lg 3，
∴10b=3.∴10.
解析
14.若lox=m，loy=m+2，求的值.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵lox=m，
∴=x，x2=.
∵loy=m+2，∴=y，y=.
∴=16.
解
15.若a>0则loa等于
A.2 B.3 C.4 D.5
拓广探究
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为a>0，
所以a=
设loa=x，所以=a，所以x=3.
解析
16.若log2[lolog2x)]=log3[lolog3y)]=log5[lolog5z)]=0，试确定x，y，z的
大小关系.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由log2[lolog2x)]=0，
得lolog2x)=1，log2x=即x=.
同理y=z=.
∵y=x=∴y>x.
又x==3z==2
∴x>z，∴y>x>z.
解
第四章　 §4.3　对数
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