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第1课时
对数的运算
第四章　 4.3.2　对数的运算
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1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.(重点)
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(难点)
学习目标
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作用.
导 语
一、对数的运算性质
二、对数运算性质的运用
课时对点练
三、利用对数的运算性质化简、求值
随堂演练
内容索引
对数的运算性质
一
提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN.
由MN=ap+q得p+q=loga(MN).
从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq =ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？
问题1
提示　将指数式=ap-q化为对数式，得
loga=p-q=logaM-logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
结合问题1，若=ap-q，又能得到什么结论？
问题2
提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0，且a≠1，M>0，n∈R).
结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？
问题3
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)= .
(2)loga= .
(3)logaMn= (n∈R).
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
注 意 点
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　(课本例3)求下列各式的值：
(1)lg；
例 1
lg；
解
(2)log2(47×25).
log2(47×25)=log247+log225
=7log24+5log22
=7×2+5×1=19.
解
　求下列各式的值.
(1)log3e+log3；
例 1
log3e+log3=log3=log33=1.
解
(2)lg 50-lg 5；
lg 50-lg 5=lg=lg 10=1.
解
(3)lg+2lg 2.
lg+2lg 2=lg 5-lg 2+2lg 2
=lg 5+lg 2=lg 10=1.
解
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
反
思
感
悟
　求下列各式的值：
(1)log2；
跟踪训练 1
log2=log2.
解
(2)2log52+log50.25；
2log52+log50.25=log522+log50.25=log5(4×0.25)=log51=0.
解
(3)ln 3+ln；
ln 3+ln=ln=ln 1=0.
解
(4)log35-log315.
log35-log315=log3=log3=log33-1=-1.
解
二
对数运算性质的运用
　(课本例4)用ln x，ln y，ln z表示ln
例 2
ln
=ln x2+ln
=2ln x+ln z.
解
　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；
例 2
lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.
解
(2)lg；
lg=lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg
=lg x+3lg y-lg z.
解
(3)lg.
lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z)
=lg x-2lg y-lg z.
解
用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化.
反
思
感
悟
　已知lg 2=a，lg 3=b，则lg=　　　　(结果用含a，b的代数式表示).
跟踪训练 2
lg=lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2)
=lg 3+lg 22-1+lg 2
=lg 3+3lg 2-1=b+3a-1.
解析
b+3a-1
利用对数的运算性质化简、求值
三
计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2；
例 3
原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
解
(2；
原式=
=.
解
(3)log535-2log5+log57-log51.8.
原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55
=2log55=2.
解
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用.
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用.
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2+lg 5=1，进行计算或化简.
反
思
感
悟
　计算下列各式的值：
(1)2log23-log2+log27；
跟踪训练 3
方法一　原式=2log23-(log263-log28)+log27
=2log23-log27-log29+log28+log27
=2log23-2log23+3=3.
方法二　原式=log29-log2+log27
=log2=log28=log223=3.
解
(2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3.
解
1.知识清单：
(1)对数的运算性质.
(2)对数运算性质的运用.
(3)利用对数的运算性质化简、求值.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.计算lg 2-lg等于
A.-1 B. C.1 D.5
√
原式=lg=lg 10=1.
解析
1
2
3
4
2.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的为
A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn
C.logax=-loga D.logax
√
根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0，a>0，且a≠1，n∈R)知C正确.
解析
1
2
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4
3.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg的值为
A.a-b2 B.a-2b C. D.
∵lg 3=a，lg 7=b，
∴lg=lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.
解析
√
1
2
3
4
4.=　　.
原式==2.
解析
2
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A A C BD B
题号 9 11 12 13 15 答案 AC B D [0,6]
对一对
答案
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10.
答案
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(1)原式=log3+log10(25×4)+2
=log3+log10102+2=-+2+2=.
(2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-
=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
14.
答案
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16
由题可得lg(x-2y)2=lg(xy)，
所以(x-2y)2=xy，即x2-5xy+4y2=0，
所以(x-y)(x-4y)=0，解得x=y或x=4y，
所以=1或=4.
又所以>2，所以=4.
16.
答案
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由题意，得 lg(267-1)≈lg 267=67lg 2≈67×0.301=20.167，
∴267-1≈1020.167，
∴267-1这个数的位数为21.
基础巩固
1.log242+log243+log244等于
A.1 B.2 C.24 D.
√
答案
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原式=log24(2×3×4)=log2424=1.
解析
2.计算lg 2-lg-eln 2等于
A.-1 B. C.3 D.-5
√
答案
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原式=lg 10-2=-1.
解析
3.已知3a=2，那么log38-2log36用a表示是
A.a-2 B.5a-2
C.3a-(1+a)2 D.3a-a2
因为3a=2，所以a=log32，
所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2.
解析
答案
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√
4.若lg x-lg y=t，则lg-lg等于
A.3t B.t C.t D.
√
答案
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lg-lg=3lg-3lg
=3lg=3(lg x-lg y)=3t.
解析
5.若lg a，lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则ab的值等于
A.2 B. C.100 D.
√
答案
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由题意得lg a+lg b=2，
∴lg(ab)=2，
∴ab=100.
解析
6.(多选)若x>0，y>0，则下列各式中，一定成立的是
A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg=lg x-lg y
C.lg x2=(lg x)2 D.lg=3lg y-lg x
√
答案
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lg x+lg y=lg(xy)，故A不正确；
根据对数的运算法则得lg=lg x-lg y，故B正确；
lg x2=2lg x，故C不正确；
lg=lg y3-lg =lg y3-lg =3lg y-lg x，故D正确.
解析
√
7.已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，设N=45×910，则N所在的区间为
A.(1011，1012) B.(1012，1013)
C.(1013，1014) D.(1014，1015)
答案
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√
lg N=lg(45×910)=10lg 2+20lg 3≈12.552，对选项中的区间端点值同样取以10为底的对数值，可知B正确.
解析
8.设alog34=2，则4-a=　　.
因为alog34=2，
所以log34a=2，则4a=32=9，
则4-a=.
解析
答案
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9.已知lg 2=m，lg 3=n，则=　　　　　.(用m，n表示)
∵lg 2=m，lg 3=n，
∴
=.
解析
答案
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10.计算下列各式的值：
(1)log3+log1025+log104+；
解
原式=log3+log10(25×4)+2
=log3+log10102+2=-+2+2=.
答案
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(2)2log32-log3+log38-.
解
原式=2log32-(log325-log39)+3log32-
=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
答案
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11.(多选)下列等式成立的是
A.=1 B.=2
C.lg 14-2lg+lg 7-lg 18=0 D.(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5=2
√
综合运用
答案
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√
=1，A成立；
=1，B不成立；
lg 14-2lg+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0，C成立；
(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1，D不成立.
解析
答案
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12.已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是
A.(2a)2=2b B.a·eln a=b
C.b=2a D.log2a=3log2(ab)
答案
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答案
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由2log3+log3b=0，得a>0，b>0，
且log3a-2+log3b=0，
即log3(a-2b)=0，
∴a-2b=1，b=a2，而此时b=2a不总是成立，故C错误；
若(2a)2=2b，即22a=2b，则b=2a，结合以上分析可知A错误；
由于a·eln a=a·a=a2=b，故B正确；
又log2(ab)=log2a3=3log2a，故D错误.
解析
13.已知logax=2，logbx=1，logcx=4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于
A. B. C. D.
答案
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由题意得x=a2=b=c4，
所以(abc)4=x7，
又a，b，c，x>0，且x≠1，
所以abc=所以logx(abc)=.
解析
√
14.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y，求.
答案
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由题可得lg(x-2y)2=lg(xy)，
所以(x-2y)2=xy，即x2-5xy+4y2=0，
所以(x-y)(x-4y)=0，解得x=y或x=4y，
所以=1或=4.
又所以>2，所以=4.
解
15.已知x>0，y>0，若-1≤lg ≤2，1≤lg x≤4，则lg 的取值范围是
　　　　.
拓广探究
答案
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[0，6]
因为x>0，y>0，-1≤lg ≤2，1≤lg x≤4，可知>0，
则lg =lg=lg +lg x∈[0，6]，
所以lg 的取值范围是[0，6].
解析
16.267-1这个数的位数是多少？(参考数据：lg 2≈0.301)
答案
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由题意，得 lg(267-1)≈lg 267=67lg 2≈67×0.301=20.167，
∴267-1≈1020.167，
∴267-1这个数的位数为21.
第四章　 4.3.2　对数的运算
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