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(共63张PPT)
4.4.1
对数函数的概念
第四章　§4.4　对数函数
<<<
1.理解对数函数的概念.
2.会求与对数函数有关的定义域问题.(重点)
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.(难点)
学习目标
(课本P113问题2)我们已经研究了指数函数y=x≥0)描述了死亡生物体内碳14含量y随死亡年数x的推移而衰减的规律.根据这个函数，知道生物体的死亡年数x，就可以推算出相应的碳14含量y的值.那么，如果已知死亡生物体内碳14含量y，能否确定它的死亡年数x呢？这就是我们今天要研究的问题.
导 语
一、对数函数的概念及应用
二、求函数的定义域
课时对点练
三、对数函数模型的应用
随堂演练
内容索引
对数函数的概念及应用
一
将y=2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，+∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？
问题
提示　x=log2y，任意y∈(0，+∞)，都有唯一的x对应，x是关于y的函数.
一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是 .
y=logax(a>0，且a≠1)
(0，+∞)
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数a>0，且a≠1.
注 意 点
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　(1)下列函数中是对数函数的有
A.y=lox2 B.y=log3(x-1)
C.y=log(x+1)x D.y=logπx
例 1
只有D满足对数函数的定义.
解析
√
(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f =　.
设对数函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8，3)，
∴3=loga8，∴a3=8，解得a=2.
∴f(x)=log2x，
∴f =log2=log22-5=-5.
解析
-5
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
反
思
感
悟
(1)若函数y=logax+a2-3a+2为对数函数，则a=　.
函数y=logax+a2-3a+2为对数函数，
所以a>0，且a≠1，a2-3a+2=0，则a=2.
解析
跟踪训练1
2
(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，若点Q(t，log43)也在这个函数的图象上，则t=　　.
设对数函数为f(x)=logax(a>0，且a≠1)，
代入点P(8，3)可得loga8=3，解得a=2，
所以f(x)=log2x，代入点Q(t，log43)可得log2t=log43，则log2t=log23，即log2t=log2所以t=.
解析
　
二
求函数的定义域
　(课本例1)求下列函数的定义域：
(1)y=log3x2；
例 2
因为x2>0，即x≠0，所以函数y=log3x2的定义域是{x|x≠0}.
解
(2)y=loga(4-x)(a>0，且a≠1).
因为4-x>0，即x<4，所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x|x<4}.
解
　函数y=lg的定义域为　　　　.
例 2
(-1，1)
由题意得>0，解得-1所以函数的定义域为(-1，1).
解析
在例2中将函数的解析式变为y=log(3x-1)试求函数的定义域.
延伸探究1
由解得所以函数的定义域为.
解
在例2中将函数的解析式变为y=试求函数的定义域.
由解得-1所以函数y=的定义域为(-1，0)∪(0，3].
解
延伸探究2
求对数型函数的定义域需注意
(1)真数大于0.
(2)底数大于0且不等于1.
(3)对数出现在分母上时，真数除了大于0，还不能为1.
反
思
感
悟
对数函数模型的应用
三
　(课本例2)假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为w.
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
例 3
由题意可知，经过t年后物价w为
w=(1+5%)t，即w=1.05t(t∈[0，+∞)).
由对数与指数间的关系，可得
t=log1.05w，w∈[1，+∞).
由计算工具可得，当w=2时，t≈14.
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
解
(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
根据函数t=log1.05w，w∈[1，+∞)，利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小.
解
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
例 3
由题意知y=
解
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
由题意知1.5+2log5(x-9)=5.5，
即log5(x-9)=2，∴x-9=52，解得x=34.
∴老江的销售利润是34万元.
解
利用对数函数解决应用问题
(1)列出与对数有关的函数并根据实际问题确定变量的范围.
(2)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算.
反
思
感
悟
我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C=W·log2”，其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为(参考数据：100.2≈1.58)
A.1 559 B.3 943 C.1 579 D.2 512
跟踪训练2
√
由题意得≈60%，
则≈1.6，
即1+λ≈1001.6=103.2=103×100.2≈1 580，
所以λ≈1 579.
解析
1.知识清单：
(1)对数函数的概念和定义域.
(2)对数函数模型的应用.
2.方法归纳：待定系数法，转化法.
3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列函数是对数函数的是
A.y=log2x B.y=ln(x+1)
C.y=logxe D.y=logxx
√
由对数函数的特征可得只有A选项符合.
解析
1
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2.函数f(x)=log2(1-x)的定义域是
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
√
由1-x>0，得x<1.
解析
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4
3.某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y=alog2(x
+1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
√
由题意，知100=alog2(1+1)，
解得a=100，
则当x=7时，y=100log2(7+1)=100×3=300.
解析
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4.若函数y=log(2a-1)x+a2-5a+4是对数函数，则a=　　.
因为函数y=log(2a-1)x+a2-5a+4是对数函数，
所以解得a=4.
解析
4
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AB C C C B ACD C 128
题号 9 11 12 13 15 答案 D C A BCD
对一对
答案
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(1)由题意得
解得x>且x≠
所以函数y=log(3x-1)5的定义域是.
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(2)由题意得
解得x<4，且x≠3，
所以函数y=的定义域是{x|x<4，且x≠3}.
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答案
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(1)由题意得M=lg A-lg A0=lg=lg=lg 104=4.即这次地震的震级为4级.
(2)由题意得
所以lg A8-lg A5=3，即lg=3.
所以=103=1 000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍.
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答案
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设t(x)=3-ax，∵a>0，且a≠1，
∴t(x)=3-ax为减函数，
则当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3-2a.
∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即当x∈[0，2]时，3-ax>0恒成立.
∴3-2a>0，∴a<.
又a>0且a≠1，
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答案
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∴0∴实数a的取值范围为(0，1)∪.
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基础巩固
1.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有
A.y=logex B.y=lox
C.y=log4x2 D.y=log2(x+1)
√
A，B项中的函数是对数函数；
C，D项中的真数不是x，故不是对数函数.
解析
答案
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√
2.设函数f(x)=则f(f(10))的值为
A.lg 101 B.1 C.2 D.0
√
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f(f(10))=f(lg 10)=f(1)=12+1=2.
解析
3.在函数y=log(x-3)(7-x)中，函数的定义域是
A.(-∞，7) B.(3，7)
C.(3，4)∪(4，7) D.(3，+∞)
√
答案
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由得3故函数的定义域为(3，4)∪(4，7).
解析
4.已知对数函数的图象过点M(9，-2)，则此对数函数的解析式为
A.y=log2x B.y=log3x
C.y=lox D.y=lox
√
答案
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设对数函数为y=logax(a>0且a≠1)，
由题意得loga9=-2，
即a-2=9，解得a=.∴所求解析式为y=lox.
解析
5.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是
A.y=log1.05x B.y=log1.005x
C.y=log0.95x D.y=log0.995x
√
答案
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由题意得x=(1+0.005)y=1.005y，化为对数函数得y=log1.005x.
解析
6.(多选)若点(a，b)满足对数函数f(x)=ln x的解析式，则下列点中也满足函数f(x)的解析式的是(其中e为自然对数的底数)
A. B.(a+e，1+b)
C. D.(a2，2b)
√
√
由题意知b=ln a，则-b=-ln a=ln 故A正确；
1-b=1-ln a=ln 故C正确；
2b=2ln a=ln a2，故D正确；
1+b=1+ln a=ln(ae)，故B错误.
解析
√
答案
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7.满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数f(x)可以是
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x
C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x
答案
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√
f(x)=x2，f(y)=y2，f(xy)=(xy)2=x2·y2=f(x)·f(y)，故A不正确；
f(x)=2x，f(y)=2y，f(xy)=2xy≠f(x)+f(y)，故B不正确；
f(x)=log2x，f(y)=log2y，f(xy)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y)，故C正确；
f(x)=eln x=x(x>0)，f(y)=y(y>0)，f(xy)=xy≠f(x)+f(y)，故D不正确.
解析
8.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为　　　万元.
答案
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128
由题意得5=2log4x-2，
即7=log2x，得x=27=128.
解析
9.已知函数f(x)是对数函数，且f =-则f(2=　 .
答案
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设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，
因为f=-所以loga=-
即解得a=2，所以f(x)=log2x，
所以f(2=log22=log2.
解析
10.求下列函数的定义域：
(1)y=log(3x-1)5；
答案
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由题意得
解得x>且x≠
所以函数y=log(3x-1)5的定义域是.
解
(2)y=.
答案
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由题意得
解得x<4，且x≠3，
所以函数y=的定义域是{x|x<4，且x≠3}.
解
11.考古专家对某遗址出土的文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14年残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)
A.3 200年 B.3 262年
C.3 386年 D.3 438年
√
综合运用
答案
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设该遗址距今x年，则=0.66，
两边取对数得·lg =lg 0.66.
所以x=5 730×=5 730×
≈5 730×=3 438.
即该遗址距今约3 438年.
解析
16
12.已知点P(16，2)，Q(t，log23)都在同一个对数函数的图象上，则t等于
A.3 B.6 C.9 D.12
√
答案
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设对数函数为y=logax(a>0，且a≠1)，
因为P(16，2)在函数的图象上，
所以loga16=2，解得a=4，则y=log4x.
因为Q(t，log23)也在该函数的图象上，
所以log4t=log23，
解得t=9.
解析
13.设函数f(x)=f ·lg x+1，则f(10)的值是
A.1 B.-1 C.10 D.
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√
∵f(x)=f·lg x+1，将式中的x换成
∴f =f(x)·lg+1=-f(x)lg x+1.
由以上两式，得f(x)=
∴f(10)==1.
解析
14.20世纪70年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A-lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
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由题意得M=lg A-lg A0=lg=lg=lg 104=4.即这次地震的震级为4级.
解
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(2)5级地震给人的震感已比较明显，那么8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
答案
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由题意得
所以lg A8-lg A5=3，即lg=3.
所以=103=1 000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍.
解
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15.(多选)已知函数f(x)的定义域为D，若对 x∈D，均有f =-f(x)，则称函数f(x)具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是
A.f(x)=x+ B.f(x)=ln x+
C.f(x)= D.f(x)=
拓广探究
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f(x)=x+x≠0，则≠0，f+x=f(x)≠-f(x)，故A错误；
f(x)=ln x+x>0且x≠1，则>0且≠1，f =ln=-ln x-=-f(x)，故B正确；
当01，则f =-=-x=-f(x)，当x>1时，0<<1，则f = -f(x)，故C正确；
当01，则f =-=-f(x)，当x>1时，0<<1，则f=x2 =-f(x)，故D正确.
解析
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16.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围.
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设t(x)=3-ax，∵a>0，且a≠1，
∴t(x)=3-ax为减函数，
则当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3-2a.
∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即当x∈[0，2]时，3-ax>0恒成立.
∴3-2a>0，∴a<.
解
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又a>0且a≠1，
∴0∴实数a的取值范围为(0，1)∪.
解
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第四章　§4.4　对数函数
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