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(共71张PPT)
4.4.2
对数函数的图象和性质(一)
第四章　§4.4　对数函数
<<<
1.初步掌握对数函数的图象和性质.(重点)
2.会类比指数函数研究对数函数的性质.(重点)
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.(难点)
学习目标
同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.请同学们看下面的问题1.
导 语
一、对数函数的图象和性质
二、利用单调性比较对数值的大小
课时对点练
三、利用单调性解对数不等式
随堂演练
内容索引
对数函数的图象和性质
一
请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的图象.
问题1
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
… …
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
提示　描点、连线.
提示　
为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a=3，4你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
问题2
对数函数的图象和性质
y=logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0图象
定义域 ________ 值域 R (0，+∞)
y=logax(a>0，且a≠1) 单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数
最值 ______________ 奇偶性 _____________ 共点性 图象过定点 ，即x=1时，y=0 函数值特点 当x∈(0，1)时，y∈ ； 当x∈[1，+∞)时，y∈________ 当x∈(0，1)时，y∈ ；
当x∈[1，+∞)时，y∈_______
对称性 无最大、最小值
非奇非偶函数
(1，0)
(-∞，0)
[0，+∞)
(0，+∞)
(-∞，0]
x轴
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0).
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴.
(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
注 意 点
<<<
　(1)如图，若C1，C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象，则
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
例 1
作直线y=1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0解析
√
(2)若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　，c=　　.
由题意，得2=loga(3+b)+c.
又当a>0，且a≠1时，loga1=0恒成立，
∴c=2，3+b=1，∴b=-2，c=2.
解析
-2
2
(3)已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象.
因为f(-5)=1，所以loga5=1，即a=5，
故f(x)=log5|x|=
所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示.
解
在例1(3)中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象.
延伸探究1
因为f(x)=log5|x|，所以g(x)=log5|x-1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
解
在例1(3)中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间.
延伸探究2
因为a=5，
所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示.
由图象知，其值域为[0，+∞)，单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是(1，+∞).
解
(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标.
(2)对数型函数图象的变换方法
①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
④y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
反
思
感
悟
二
利用单调性比较对数值的大小
　(课本例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
例 2
log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.因为底数2>1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5，
所以log23.4解
(2)log0.31.8，log0.32.7；
log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.因为底数0.3<1，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.8<2.7，
所以log0.31.8>log0.32.7.
解
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.
当a>1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1<5.9，
所以loga5.1当0所以loga5.1>loga5.9.
解
　比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
例 2
因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9解
(2)log23，log0.32；
因为log23>log21=0，log0.32所以log23>log0.32.
解
(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；
当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14；
当03.14，则有logaπ综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；
当0解
(4)log50.4，log60.4.
在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.4解
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
反
思
感
悟
比较大小：
(1)log23，log32，log46；
∵y=log4x在(0，+∞)上单调递增，
∴log23=log49>log46>1，
又∵log32<1，
∴log23>log46>log32.
解
跟踪训练
(2)log3π，log2log3.
∵log2log23，
又1又log3log321，
∴log3π>log2>log3.
解
利用单调性解对数不等式
三
　解下列关于x的不等式：
(1)lox>lo4-x)；
例 3
由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0解
(2)loga(2x-5)>loga(x-1)；
当a>1时，原不等式等价于
解得x>4.
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0解
(3)logx>1.
当x>1时，logx>logxx，所以x<无解；
当0logxx，所以综上，原不等式的解集为.
解
将例3(2)的不等式改为：已知loga(2a+1)延伸探究3
由题意可知即a>0且a≠1.
当a>1时，∵loga(2a+1)∴2a+1<3a<1，此时无解；
当0∴2a+1>3a>1，解得因此，实数a的取值范围为.
解
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)对数函数的图象及性质.
(2)利用对数函数的图象及性质比较大小.
(3)利用单调性解对数不等式.
2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为
由f(x)是R上的奇函数，得函数图象关于原点对称，排除A，B.
又当x>0时f(x)=ln(x+1)，排除C.
解析
√
1
2
3
4
2.若a=20.2，b=log43.2，c=log20.5，则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1，
∴a>b>c.
解析
1
2
3
4
3.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象为
∵a>1，∴0<<1，
∴y=a-x是减函数，y=logax是增函数.
解析
√
1
2
3
4
4.不等式lo2x+3)由题意可得解得解析
　
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13
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15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B AB B D C B (2，4)
题号 9 11 12 13 15 答案 AC B A
10.
答案
1
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4
5
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13
14
15
(1)因为函数y=ln x在(0，+∞)上是增函数，
又0.3<2，所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
综上所述，当a>1时，loga3.1当0loga5.2.
16
10.
答案
1
2
3
4
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14
15
(3)因为0>log0.23>log0.24，所以
即log30.2(4)因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数，
又π>3，
所以log3π>log33=1.
同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
16
14.
答案
1
2
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15
先作出函数y=lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)=|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.
由>a>b>1得f >f(a)>f(b)，
又f=|-lg c|=|lg c|=f(c).
∴f(c)>f(a)>f(b).
16
16.
答案
1
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14
15
由x2-logmx<0，得x2要使x2在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图，如图所示.
∵当x=时，y=x2=
∴只要当x=时，y=logm=logm即可，
16
16.
答案
1
2
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14
15
∴即≤m.又0即实数m的取值范围是.
16
基础巩固
1.若对数函数y=log(a+1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是
A.(-1，0) B.(0，+∞)
C.(-∞，-1) D.(0，1)
√
因为函数y=log(a+1)x在(0，+∞)上是增函数，
所以a+1>1，则a>0.
解析
答案
1
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16
2.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是
A.(-∞，7] B.(2，7]
C.[7，+∞) D.(2，+∞)
√
答案
1
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15
16
由题意得0<2x-4≤10，即2解析
3.(多选)已知a>0，b>0，且ab=1，a≠1，则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是
答案
1
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16
∵g(x)=-logbx=lox=logax，
∴f(x)和g(x)的单调性相同，
结合选项可知A，B正确.
解析
√
√
4.函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是
A.1C.c√
答案
1
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16
令函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y=1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)(图略)，从而得出c1，b>1，d<1，c<1，∴c解析
5.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是
A.m<0，n>1
B.m>0，n>1
C.m>0，0D.m<0，0√
答案
1
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根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数，
所以0又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0.
解析
6.若a=2 0250.2，b=log0.22 025，c=0.22 025，则
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
答案
1
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√
b=log0.22 025a=2 0250.2>2 0250=1，0∴a>c>b.
解析
7.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是
答案
1
2
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16
√
由f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，且f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误；
又当x>1时，f(x)=lg(x-1)在(1，+∞)上单调递增，所以B正确.
解析
8.已知函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A，则点A的坐标为　　　.
答案
1
2
3
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5
6
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(2，4)
令x-1=1得x=2，此时y=4，
即函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A(2，4).
解析
9.不等式x+3)<2x-1)的解集为　　　　.
答案
1
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3
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6
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16
　
由题意可得
解得解析
10.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
答案
1
2
3
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5
6
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16
因为函数y=ln x在(0，+∞)上是增函数，
又0.3<2，所以ln 0.3解
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
答案
1
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当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以loga3.1当0又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
综上所述，当a>1时，loga3.1当0loga5.2.
解
(3)log30.2，log40.2；
答案
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因为0>log0.23>log0.24，所以
即log30.2解
(4)log3π，logπ3.
答案
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因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数，
又π>3，
所以log3π>log33=1.
同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
解
11.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法中正确的是
A.函数f(x)是增函数
B.函数f(x)是偶函数
C.若x>1，则f(x)>0
D.若f(x)<1，则x∈(2，+∞)
√
综合运用
答案
1
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5
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√
答案
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15
由题意得f(4)=2，即loga4=2，∴a2=4，
∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x，
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数，但不是偶函数，故A正确，B错误；
当x>1时，f(x)>0，故C正确；
由log2x<1，得x<2，
又∵x>0，∴x∈(0，2)，故D错误.
解析
16
12.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是增函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是
答案
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2
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5
6
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√
答案
1
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3
4
5
6
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15
16
∵函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，经检验k=2满足题意，
又函数f(x)为增函数，∴a>1，
∴ g(x)=loga(x+2)，
定义域为{x|x>-2}，且为增函数.
解析
13.已知函数f(x)=满足f(a-1)A.(-∞，2) B.(2，+∞)
C.(-∞，0) D.(0，+∞)
答案
1
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6
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15
16
√
当x<1时，f(x)=x3-1，此时f(x)单调递增，当x≥1时，f(x)=ln x，此时f(x)单调递增，且f(1)=0=13-1，则f(x)是R上的增函数，若有f(a-1)解析
14.已知f(x)=|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小.
答案
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先作出函数y=lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)=|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.
由>a>b>1得f >f(a)>f(b)，
又f=|-lg c|=|lg c|=f(c).
∴f(c)>f(a)>f(b).
解
15.已知f(x)=的值域为R，那么实数a的取值范围是
　 　　　.
拓广探究
答案
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答案
1
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16
要使函数f(x)的值域为R，
则必须满足
即解得-≤a<.
解析
答案
1
2
3
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16.若不等式x2-logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围.
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由x2-logmx<0，得x2要使x2在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图，如图所示.
∵当x=时，y=x2=
∴只要当x=时，y=logm=logm即可，
解
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∴即≤m.又0即实数m的取值范围是.
解
第四章　§4.4　对数函数
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