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(共68张PPT)
4.4.2
对数函数的图象和性质(二)
第四章　§4.4　对数函数
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1.进一步掌握对数函数的图象和性质.(重点)
2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.(重难点)
3.了解反函数的概念和图象特点.
学习目标
一、与对数函数有关的定义域(值域)问题
二、与对数函数有关的综合性问题
课时对点练
三、反函数
随堂演练
内容索引
与对数函数有关的定义域(值域)问题
一
　(1)函数y=的定义域为　　　　.
例 1
要使函数有意义，则lg(2-x)≥0，
∴∴x≤1.
故函数的定义域为(-∞，1].
解析
(-∞，1]
(2)已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.
由f(x)的定义域为R，
得ax2+2x+1>0恒成立，
当a=0时，2x+1>0，x>-不符合题意；
当a≠0时，
由 解得a>1.
即实数a的取值范围为(1，+∞).
解
若本例(2)中的“f(x)的定义域为R”改为“f(x)的值域为R”，求实数a的取值范围.
延伸探究1
因为f(x)的值域为R，
所以{y|y=ax2+2x+1} (0，+∞)，
(也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数)
①当a=0时，y=2x+1可以取遍一切正数，符合题意；
②当a≠0时，需即0综上，实数a的取值范围为[0，1].
解
(1)求形如y=的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围.
(2)把函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解.
反
思
感
悟
函数g(x)=lo-mx2+mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围为　　　　.
由题意，得-mx2+mx+1>0在R上恒成立，
即mx2-mx-1<0在R上恒成立，
当m=0时，-1<0恒成立，符合题意.
当m≠0时得-4故实数m的取值范围为(-4，0].
解析
跟踪训练1
(-4，0]
二
与对数函数有关的综合性问题
　已知函数f(x)=log2(x+1)-2.
(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
例 2
由题意得log2(x+1)-2>0，
∴log2(x+1)>2，∴x+1>4，
∴x>3.∴x的取值范围是(3，+∞).
解
(2)若x∈(-1，3]，求f(x)的值域.
∵x∈(-1，3]，∴x+1∈(0，4]，
∴log2(x+1)∈(-∞，2]，
∴log2(x+1)-2∈(-∞，0].
∴f(x)的值域为(-∞，0].
解
求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解.
反
思
感
悟
已知a≠2，函数f(x)=lg是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式；
跟踪训练2
因为函数f(x)=lg是奇函数，
则f(-x)+f(x)=lg+lg
=lg=0，
可得=1对于-整理可得(4-a2)x2=0对于-因为a≠2，所以a=-2.
所以f(x)=lg.
解
(2)讨论f(x)的单调性.
设任意-可得-1<2x1<2x2<1，
所以-1<-2x2<-2x1<1，
得0<1-2x2<1-2x1<2，
因为0<1+2x1<1+2x2，
所以0<<1，0<<1，
解
所以f(x2)-f(x1)=lg-lg
=lg所以f(x2)因此f(x)在上单调递减.
解
反函数
三
在同一坐标系下，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系.
问题
提示　
反函数：一般地，指数函数 (a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
y=ax
　若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(f(2))的值为
A.16 B.0 C.1 D.2
例 3
函数y=2x的反函数是y=log2x，
即f(x)=log2x.
∴f(f(2))=f(log22)=f(1)=log21=0.
解析
√
本例3改为若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则
函数g(x)的定义域为　　　　.
延伸探究2
函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的值域为
因为函数g(x)是其反函数，
所以函数g(x)的定义域为.
解析
互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
反
思
感
悟
y=3x与y=log3x的图象关于
A.x轴对称 B.直线y=x对称
C.原点对称 D.y轴对称
函数y=3x与函数y=log3x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称.
解析
跟踪训练3
√
1.知识清单：
(1)利用对数函数的单调性求函数的定义域.
(2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题.
(3)了解反函数的概念和图象.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数f(x)=的定义域为
A.(0，2) B.(0，2]
C.(2，+∞) D.[2，+∞)
√
由题意得
即解得x>2.
∴函数f(x)的定义域为(2，+∞).
解析
1
2
3
4
2.函数 f(x)=log2x-2在[8]上的值域为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
因为y=log2x在[8]上单调递增，
所以log2≤log2x≤log28，
即log2x∈.
故log2x-2∈
即函数f(x)在[8]上的值域为.
解析
1
2
3
4
3.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为
A. B. C.2 D.4
√
由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，
∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，
即f(0)+f(1)=a，
即1+a+loga2=a，
∴loga2=-1，解得a=.
解析
1
2
3
4
4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点则a=　 　.
由题意得f(x)=logax(a>0，且a≠1，x>0)，
因为f(x)的图象过点
所以loga所以
所以a2=2，所以a=负值舍去).
解析
　
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
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11
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13
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15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D D AD B C 12
题号 9 11 12 13 15 答案 4 A BC A C
10.
答案
1
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3
4
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15
(1)由得-2所以函数f(x)的定义域为{x|-2(2)f(x)为偶函数，证明如下：
因为函数f(x)的定义域为{x|-2又f(-x)=lg[2+(-x)]+lg[2-(-x)]
=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x)，
所以函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)为偶函数.
16
10.
答案
1
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(3)f=lg(2++lg(2-
=lg[(2+2-]=lg 1=0.
16
14.
答案
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15
(1)∵4x>0，∴4x+1>1，∴f(x)的定义域为R，
由f(-x)=log2(4-x+1)+x=log2+x=log2(1+4x)-log24x+x=log2(4x+1)-xlog24 +x=log2(4x+1)-x=f(x)，
∴f(x)为偶函数.
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14.
答案
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15
(2)∵f(x)=log2(4x+1)-x=log2=log2函数y=t+在[1，+∞)上单调递增，
当x≥0时，2x≥1，y=2x+在[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，
又函数f(x)为偶函数，∴函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，在(-∞，0]上单调递减，
16
14.
答案
1
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15
∵f(2m+1)>f(m-1)，∴|2m+1|>|m-1|，
两边平方得4m2+4m+1>m2-2m+1，解得m<-2或m>0，
∴所求不等式的解集为(-∞，-2)∪(0，+∞).
16
16.
答案
1
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15
(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
∵>0，∴(x-1)(1-ax)>0，
令(x-1)(1-ax)=0，
得x1=1，x2=∴=-1，a=-1，
经验证，a=-1满足题意.
16
16.
答案
1
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15
(2)∵f(x)+lox-1)=lo+lox-1)
=lo1+x)，
∴当x>1时，lo1+x)<-1，
又当x∈(1，+∞)时，f(x)+lox-1)∴m≥-1.
即实数m的取值范围是[-1，+∞).
16
基础巩固
1.已知函数f(x)=log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则g(2)等于
A.1 B.2 C.3 D.4
√
∵g(x)是f(x)的反函数，∴g(x)=2x，
∴g(2)=22=4.
解析
答案
1
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2.设f(x)=3x+9，则其反函数的定义域是
A.(0，+∞) B.(9，+∞)
C.(10，+∞) D.(-∞，+∞)
√
答案
1
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16
∵3x>0，∴f(x)=3x+9>9，
因此其反函数的定义域为(9，+∞).
解析
3.函数f(x)=的定义域为
A.(e，+∞) B.(1，e]
C.(-∞，1) D.(0，1)∪(1，e]
√
答案
1
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要使函数有意义，需满足解得0所以函数f(x)=的定义域为(0，1)∪(1，e].
解析
4.函数f(x)=lg|x|为
A.奇函数，在区间(0，+∞)上单调递减
B.奇函数，在区间(0，+∞)上单调递增
C.偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增
D.偶函数，在区间(-∞，0)上单调递减
√
答案
1
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已知函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于坐标原点对称，且f(-x)= lg|-x|=lg|x|=f(x)，所以f(x)是偶函数；当x>0时，f(x)=lg x在区间(0，+∞)上单调递增，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)=lg|x|在区间(-∞，0)上单调递减.
解析
5.(多选)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是
A.y=2x-2-x B.y=3|x|
C.y=log3x D.y=log23x
√
答案
1
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√
答案
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易知f(x)=2x-2-x在R上是增函数，
又f(-x)+f(x)=(2-x-2x)+(2x-2-x)=0，
∴y=2x-2-x是单调函数，且为奇函数.
易知g(x)=log23x=xlog23在R上是增函数，
又g(-x)=-g(x)，
∴y=log23x是单调函数，且为奇函数.
显然B中y=3|x|及C中y=log3x不是奇函数.
解析
6.已知函数f(x)=的值域为[m，+∞)，则
A.m>1 B.m=0
C.m=1 D.0√
答案
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当x<-1时，f(x)=此时f(x)在(-∞，-1)上单调递减，
∴f(x)>=1；
当x≥-1时，f(x)=ln(x+2)，此时f(x)在[-1，+∞)上单调递增，
∴f(x)≥ln(-1+2)=0.
综上所述，函数f(x)=的值域为[0，+∞)，故m=0.
解析
7.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R，则k的取值范围是
A.0C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥1
答案
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√
令t=x2-2kx+k，
由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R，
得函数t=x2-2kx+k的图象恒与x轴有交点，
所以Δ=4k2-4k≥0，即k≤0或k≥1.
解析
8.函数y=log2(x-4)的反函数为f(x)，则f(3)=　　.
答案
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令y=log2(x-4)=3，即x-4=23，解得x=12，则f(3)=12.
解析
9.设a>1，函数f(x)=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为则a=　 .
答案
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4
∵a>1，∴f(x)=logax在[a，2a]上单调递增，
∴loga(2a)-logaa=即loga2=∴=2，a=4.
解析
10.已知f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域；
答案
1
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16
由得-2所以函数f(x)的定义域为{x|-2解
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；
答案
1
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16
f(x)为偶函数，证明如下：
因为函数f(x)的定义域为{x|-2又f(-x)=lg[2+(-x)]+lg[2-(-x)]
=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x)，
所以函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)为偶函数.
解
(3)求f的值.
答案
1
2
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16
f=lg(2++lg(2-
=lg[(2+2-]=lg 1=0.
解
11.已知函数f(x)=ln-x)+2，则f(lg 5)+f等于
A.4 B.0 C.1 D.2
√
综合运用
答案
1
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16
∵f(x)=ln-x)+2，∴f(x)的定义域为R，
∴f(-x)=ln+x)+2，
∴f(x)+f(-x)=ln[-x)+x)]+4=ln 1+4=4，
∴f(lg 5)+f =f(lg 5)+f(-lg 5)=4.
解析
12.(多选)已知函数f(x)=lg(x2-2x+t)，则下列结论正确的是
A.当t=2时，f(x)的值域为(0，+∞)
B.当t=-3时，f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(3，+∞)
C.当t取任意实数时，均有f(x)的图象关于直线x=1对称
D.若f(x)的定义域为R，则实数t的取值范围是[1，+∞)
√
答案
1
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答案
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当t=2时，f(x)=lg(x2-2x+2)=lg[(x-1)2+1]≥lg 1=0，故f(x)的值域为[0，+∞)，故A错误；
当t=-3时，f(x)=lg(x2-2x-3)=lg[(x+1)(x-3)]，此时定义域为(-∞，-1)∪(3，+∞)，故B正确；
真数y=x2-2x+t的图象关于直线x=1对称，故C正确；
若f(x)的定义域为R，则x2-2x+t>0在R上恒成立，即Δ=4-4t<0，则t>1，故D错误.
解析
13.任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f恒成立，则称f(x)为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上不为凸函数的是
A.y=2x B.y=log2x
C.y=-x2 D.y=
答案
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√
答案
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15
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根据题意，任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f恒成立，
则称f(x)为[a，b]上的凸函数，
∴在函数y=f(x)的图象上任取两个不同的点A，
B，线段AB(端点除外)总在f(x)的图象的下方，
∴函数f(x)为凸函数，
分别作出四个函数的图象，如图所示，
解析
答案
1
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由图可知y=log2x，y=-x2，y=在其定义域上的图象满足凸函数的概念，y=2x的图象不满足凸函数的概念，
∴y=log2x，y=-x2，y=在其定义域上是凸
函数，
y=2x在其定义域上不是凸函数.
解析
14.已知函数f(x)=log2(4x+1)-x.
(1)判断函数f(x)=log2(4x+1)-x的奇偶性；
答案
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15
∵4x>0，∴4x+1>1，∴f(x)的定义域为R，
由f(-x)=log2(4-x+1)+x=log2+x=log2(1+4x)-log24x+x=log2(4x+1)-xlog24+x=log2(4x+1)-x=f(x)，
∴f(x)为偶函数.
解
16
(2)解关于m的不等式f(2m+1)>f(m-1).
答案
1
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15
∵f(x)=log2(4x+1)-x=log2=log2函数y=t+在[1，+∞)上单调递增，
当x≥0时，2x≥1，y=2x+在[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，
又函数f(x)为偶函数，∴函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，在(-∞，0]上单调递减，
∵f(2m+1)>f(m-1)，∴|2m+1|>|m-1|，
两边平方得4m2+4m+1>m2-2m+1，解得m<-2或m>0，
∴所求不等式的解集为(-∞，-2)∪(0，+∞).
解
16
15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1)，则a的最小值是
A. B.1 C. D.2
拓广探究
答案
1
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√
答案
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由题设，f(x)在(-∞，0)上单调递减，
由偶函数的定义知f(loa)=f(-log2a)
=f(log2a)，
∴f(log2a)+f(loa)=2f(log2a)≤2f(1)，
即f(log2a)≤f(1)，
∴|log2a|≤1，则-1≤log2a≤1，得≤a≤2.
故a的最小值是.
解析
答案
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16.已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称，其中a为常数.
(1)求a的值；
16
∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
∵>0，∴(x-1)(1-ax)>0，
令(x-1)(1-ax)=0，
得x1=1，x2=∴=-1，a=-1，
经验证，a=-1满足题意.
解
答案
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(2)若当x∈(1，+∞)时，f(x)+lox-1)16
∵f(x)+lox-1)=lo+lox-1)=lo1+x)，
∴当x>1时，lo1+x)<-1，
又当x∈(1，+∞)时，f(x)+lox-1)∴m≥-1.
即实数m的取值范围是[-1，+∞).
解
第四章　§4.4　对数函数
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