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(共82张PPT)
4.5.1
函数的零点与方程的解
第四章　§4.5　函数的应用(二)
<<<
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.(重点)
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.(重点)
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.(难点)
学习目标
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：《九章算术》中就给出了一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧.
导 语
一、函数的零点与方程的解
二、函数零点存在定理
课时对点练
三、函数零点个数的问题
随堂演练
内容索引
函数的零点与方程的解
一
观察下列三组方程与函数：
问题1
方程 函数
x2-2x-3=0 y=x2-2x-3
x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
x2-2x+3=0 y=x2-2x+3
利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系.
提示　方程x2-2x-3=0的根为-1，3，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1，0)，(3，0)；
x2-2x+1=0有两个相等的实数根，为1，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1，0)；
x2-2x+3=0没有实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.
提示　不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.
问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？
问题2
1.概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
f(x)=0
f(x)=0
x轴
(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)并不是所有的函数都有零点，如函数y=2x，y=|x|+1都没有零点.
注 意 点
<<<
　 (1)函数f(x)=(x2-4的零点为　　　.
例 1
由题意，得方程(x2-4=0，
则x2-4=0或2x-1=0，解得x=±2或x=
又由2x-1≥0，解得x≥
所以函数f(x)=(x2-4的零点为2或.
解析
2或
(2)若一次函数f(x)=kx+b有一个零点-2，则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是
因为一次函数f(x)=kx+b有一个零点-2，
所以-2k+b=0(k≠0)，即b=2k，
对于g(x)=bx2-kx，令g(x)=0，则bx2-kx=0，则x(bx-k)=0，
即x(2kx-k)=0，解得x=0或x=0.5，
所以g(x)有两个零点，分别为0和0.5，符合题意的只有B选项.
解析
√
探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)=0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y=f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
反
思
感
悟
(1)函数f(x)=的零点为　　　.
当x≤0时，令x2+2x-3=0，
解得x=-3(x=1舍去)；
当x>0时，令-2+ln x=0，解得x=e2.
所以函数f(x)=的零点为-3和e2.
解析
跟踪训练1
-3，e2
(2)函数f(x)=的大致图象是
√
由于x+1≠0，即x≠-1，所以f(x)的定义域是{x|x≠-1}，由此排除A，B选项；
由f(x)=0解得x=1，即x=1是f(x)的唯一零点，由此排除D选项.
解析
二
函数零点存在定理
提示　利用图象可知，零点-5∈(-6，-4)，零点1∈(0，2)，且f(-6)f(-4)<0，f(0)f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的.再比如：函数f(x)=2x-1的零点为∈(0，1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)=log2(x-1)的零点为2，2∈且有f f(3)<0，且以上函数在零点附近的图象也都是连续的.
探究函数y=x2+4x-5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？
问题3
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有_________，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内 有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)=0的解.
连续不断
f(a)f(b)<0
至少
f(c)=0
(1)定理要求函数图象在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.
(2)图象在闭区间[a，b]上连续的函数y=f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件.
(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y=x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
注 意 点
<<<
(1)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)> 0，则下列说法正确的是
A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
例 2
√
由题知f(0)f(1)<0，
所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点，
又f(1)f(2)>0，
因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点.
解析
　(2)函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是
A.(0，1) B.(1，10)
C.(10，100) D.(100，+∞)
例 2
函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且函数f(x)是定义域上的增函数，
f(1)=-1<0，f(10)=1->0，
∴在(1，10)内，函数f(x)存在零点.
解析
√
判断函数y=f(x)在所给区间(a，b)上是否有零点的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
反
思
感
悟
二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表：
由表判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是
A.(-3，-1)和(2，4)
B.(-3，-1)和(-1，1)
C.(-1，1)和(1，2)
D.(-∞，-3)和(4，+∞)
跟踪训练2
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
√
易知f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲线，又f(-3)f(-1)=6×(-4)= -24<0.
所以f(x)在(-3，-1)内有零点，
故方程ax2+bx+c=0在(-3，-1)内有根.
同理方程ax2+bx+c=0在(2，4)内有根.
解析
函数零点个数的问题
三
(课本例1)求方程ln x+2x-6=0的实数解的个数.
例 3
x y
1 -4
2 -1.306 9
3 1.098 6
4 3.386 3
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 2
方法一　设函数f(x)=ln x+2x-6，利用计算工具，列出函数y=f(x)的对应值表，并画出图象.
由表和图可知，f(2)<0，f(3)>0，则f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2，3)内至少有一个零点.
解
容易证明，函数f(x)=ln x+2x-6，x∈(0，+∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程ln x+2x-6=0只有一个实数解.
方法二　原方程实数解的个数即为函数y=ln x与y=-2x
+6的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y=ln x与y=-2x+6的图象只有一个交点.
所以方程ln x+2x-6=0只有一个实数解.
解
判断下列函数的零点的个数.
(1)f(x)=x2-x+；
由f(x)=0，即x2-x+=0，
得Δ=-4×=-<0，
所以方程x2-x+=0没有实数根，
即f(x)零点的个数为0.
解
例 3
(2)f(x)=ln x+x2-3；
方法一　函数对应的方程为ln x+x2-3=0，
所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点.
从而方程ln x+x2-3=0只有一个解，
即函数f(x)=ln x+x2-3只有一个零点.
解
方法二　由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0，
f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0，
所以f(1)f(2)<0，
又f(x)=ln x+x2-3的图象在[1，2]上是连续的，
所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，+∞)上是单调递增的，所以f(x)只有一个零点.
解
(3)f(x)=x2-.
方法一　令f(x)=x2-=0，得x2=
即x3=2，解得x=故函数只有1个零点.
方法二　令f(x)=x2-=0，得x2=
设g(x)=x2(x≠0)，
h(x)=x≠0)，在同一平面直角坐标系中画出函数y=g(x)与y=h(x)的图象，如图，
由图象可知两个函数图象只有1个交点，故函数只有一个零点.
解
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y=f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
反
思
感
悟
(1)函数f(x)=x2-x-1的零点有　　个.
∵对于方程x2-x-1=0，
∴Δ=1+4>0，
故方程x2-x-1=0有两个不同的根，
故函数f(x)=x2-x-1有2个零点.
解析
跟踪训练3
2
(2)已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x，则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是　　.
3
作出g(x)与f(x)的图象如图，
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点.
解析
1.知识清单：
(1)函数的零点的定义.
(2)函数的零点与方程的解的关系.
(3)函数零点存在定理.
(4)函数零点个数的判断.
2.方法归纳：定理法、方程法、数形结合法.
3.常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数f(x)=log2x的零点是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
令f(x)=log2x=0，解得x=1.
解析
1
2
3
4
2.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是
A.(1，+∞) B.
C. D.
√
易知f(x)在(0，+∞)上单调递增.
由f(x)=2x-得f-2<0，
f(1)=2-1=1>0，∴ff(1)<0.
∴零点所在区间为.
解析
1
2
3
4
3.对于函数f(x)，若f(-1)f(3)<0，则
A.方程f(x)=0一定有一实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
√
∵函数f(x)的图象在[-1，3]上未必连续，故尽管有f(-1)f(3)<0，但方程f(x)=0在(-1，3)上可能无实数解.
解析
1
2
3
4
4.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有　 个.
∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10)
=(x-1)(x+5)(x-2)，
∴由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2.
故函数f(x)的零点有3个.
解析
3
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D BD B AC 1
题号 9 11 12 13 15 答案 D BD a10.
答案
1
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3
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5
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15
(1)令-x2+2x-1=0，解得x1=x2=1，
所以函数f(x)=-x2+2x-1存在零点，
其零点为1.
(2)令f(x)=x4-x2=x2(x-1)(x+1)=0，
解得x=0或x=1或x=-1，
故函数f(x)=x4-x2存在零点，
其零点为0，-1和1.
16
10.
答案
1
2
3
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5
6
7
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9
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14
15
(3)令4x+5=0，则4x=-5，
因为4x>0，-5<0，所以方程4x+5=0无实数解.
所以函数f(x)=4x+5不存在零点.
(4)令log3(x+1)=0，解得x=0，
所以函数f(x)=log3(x+1)存在零点，其零点为0.
16
14.
答案
1
2
3
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14
15
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(0)=c=1，
因为f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b，
故2ax+a+b=2x-1，
所以解得
因此f(x)=x2-2x+1.
16
14.
答案
1
2
3
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5
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15
(2)当x≥0时，g(x)=f(x)=x2-2x+1，
当x<0时，-x>0，则g(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1，
因为g(x)为偶函数，故g(-x)=g(x)，
故g(x)=x2+2x+1，
综上，g(x)=
画出函数g(x)的图象如图.
16
14.
答案
1
2
3
4
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15
(3)由图可知，g(1)=g(-1)=0，g(0)=1，
当t<0时，函数h(x)没有零点，
当t=0时，函数h(x)有两个零点，
当0当t=1时，函数h(x)有三个零点，
当t>1时，函数h(x)有两个零点.
16
16.
答案
1
2
3
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15
(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0；当x<0时，-x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
综上，f(x)=
16
16.
答案
1
2
3
4
5
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12
13
14
15
(2)图象如图所示，单调递增区间为(-∞，-1]，[1，+∞)；单调递减区间为(-1，1).
(3)由题意得，方程f(x)=m有三个不同的解，由图象可知，
-116
基础巩固
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是
结合函数零点的定义可知选项D没有零点.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
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8
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14
15
16
√
2.函数f(x)=log3x-8+2x的零点所在的区间是
A.(5，6) B.(3，4) C.(2，3) D.(1，2)
√
答案
1
2
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4
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6
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16
f(3)=log33-8+2×3=-1<0，
f(4)=log34-8+2×4=log34>0.
又因为f(x)在(0，+∞)上为增函数，
所以其零点所在的区间是(3，4).
解析
3.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于
A.0 B.1
C.-1 D.不能确定
√
答案
1
2
3
4
5
6
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14
15
16
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
解析
4.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为
A.0 B.-2，0 C. D.0
√
答案
1
2
3
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5
6
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16
当x≤1时，令2x-1=0，得x=0.
当x>1时，令1+log2x=0，得x=舍去).
综上所述，函数f(x)的零点为0.
解析
5.(多选)下列说法中正确的是
A.函数f(x)=x+1，x∈[-2，0]的零点为(-1，0)
B.函数f(x)=2x-1的零点为0
C.函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点即方程f(x)=0的实数根
√
答案
1
2
3
4
5
6
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√
答案
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函数的零点是数，不是点，所以A错误；
由2x-1=0，得x=0，又f(x)=2x-1在R上单调递增，则f(x)有唯一零点0，所以B正确；
函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根，是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以D正确，C错误.
解析
6.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是
A.函数y=f(x)在区间[1，6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1，2]上无零点
答案
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√
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
答案
1
2
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由表可知f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0.
由函数零点存在定理，知函数y=f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在1个零点，所以函数y=f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点.
虽然f(1)f(2)>0，但函数y=f(x)在[1，2]上也有可能存在零点.
解析
7.(多选)函数f(x)=lg x-x+1的零点所在的区间可以是
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
答案
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答案
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令lg x-x+1=0，即lg x=x-1，
分别画出函数y1=lg x与函数y2=x-1的图象，
得到两图象有两个公共点，由图象可知，f(x)有两个零点，
区间(0，1)内存在零点显而易见.
因为f(2)=lg 2-×2+1=lg 2>0，
f(3)=lg 3-×3+1=lg 3-lg 9-1)<0，
所以f(2)f(3)<0，则f(x)在区间(2，3)内存在零点.
解析
8.函数f(x)=x的零点个数为　　.
答案
1
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1
令f(x)=0，可得方程x.
在同一平面直角坐标系内作出函数y= 与y=x的图象，如图，由图可知，函数y=与y=x的图象只有一个交点，故方程x只有一个解，
故函数f(x)只有一个零点.
解析
9.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点
是　　　　.
答案
1
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由题意知，方程x2-ax-b=0的两根为2，3，
∴即a=5，b=-6，
∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为--
即为函数g(x)的零点.
解析
10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点.
(1)f(x)=-x2+2x-1；
答案
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令-x2+2x-1=0，解得x1=x2=1，
所以函数f(x)=-x2+2x-1存在零点，
其零点为1.
解
(2)f(x)=x4-x2；
答案
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令f(x)=x4-x2=x2(x-1)(x+1)=0，
解得x=0或x=1或x=-1，
故函数f(x)=x4-x2存在零点，
其零点为0，-1和1.
解
(3)f(x)=4x+5；
答案
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令4x+5=0，则4x=-5，
因为4x>0，-5<0，所以方程4x+5=0无实数解.
所以函数f(x)=4x+5不存在零点.
解
(4)f(x)=log3(x+1).
答案
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令log3(x+1)=0，解得x=0，
所以函数f(x)=log3(x+1)存在零点，其零点为0.
解
11.若函数f(x)=x-a∈R)在区间(1，2)内有零点，则a的值可能是
A.-2 B.0 C.1 D.3
√
综合运用
答案
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若a≤0，
则f(x)=x->0在区间(1，2)上恒成立，
故没有零点；
若a>0，令x-=0，解得x=或x=-舍去)，
故1<<2，解得1解析
12.(多选)函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，则实数a的值为
A.1 B.0 C. D.-
√
答案
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当a=0时，函数f(x)=-x-1有且仅有一个零点，满足题意；
当a≠0时，由函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，可得Δ=1+4a=0，解得a=-.
解析
√
13.已知函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　.(用“<”连接)
答案
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a画出函数y=3x，y=log3x，y=-x，y=-2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a解析
14.已知二次函数f(x)满足f(0)=1，且f(x+1)-f(x)= 2x-1，g(x)为偶函数，且当x≥0时，g(x)=f(x).
(1)求f(x)的解析式；
答案
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设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(0)=c=1，
因为f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b，
故2ax+a+b=2x-1，
所以解得
因此f(x)=x2-2x+1.
解
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(2)在给定的坐标系内画出g(x)的图象；
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当x≥0时，g(x)=f(x)=x2-2x+1，
当x<0时，-x>0，则g(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1，
因为g(x)为偶函数，故g(-x)=g(x)，
故g(x)=x2+2x+1，
综上，g(x)=
画出函数g(x)的图象如图.
解
(3)讨论函数h(x)=g(x)-t(t∈R)的零点个数.
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由图可知，g(1)=g(-1)=0，g(0)=1，
当t<0时，函数h(x)没有零点，
当t=0时，函数h(x)有两个零点，
当0当t=1时，函数h(x)有三个零点，
当t>1时，函数h(x)有两个零点.
解
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15.设函数f(x)=2 025ex+2 025ln x，满足f(a)f(b)f(c)<0(0A.x0∈(a，b) B.x0∈(b，c)
C.x0∈(a，c) D.x0∈(c，+∞)
拓广探究
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因为y=ex，y=ln x在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=2 025ex+2 025ln x在(0，+∞)上为增函数，
又0因为f(a)f(b)f(c)<0，
所以f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0或f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，
当f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0时，
由f(x)存在零点x0，可知x0∈(a，b) (a，c)，此时A，C选项正确，B，D选项错误；
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答案
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当f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0时，
由f(x)存在零点x0，可知x0∈(c，+∞)，此时A，B，C选项错误，D选项正确.
综上，选项中一定错误的是B选项.
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16.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
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由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0；当x<0时，-x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
综上，f(x)=
解
答案
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(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
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图象如图所示，单调递增区间为(-∞，-1]，[1，+∞)；单调递减区间为(-1，1).
解
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(3)若y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点，求实数m的取值范围.
由题意得，方程f(x)=m有三个不同的解，由图象可知，
-1解
第四章　§4.5　函数的应用(二)
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