资源简介

(共60张PPT)
4.5.2
用二分法求方程的近似解
第四章　§4.5　函数的应用(二)
<<<
1.了解二分法的原理及其适用条件.
2.掌握二分法的实施步骤.(重点)
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
学习目标
同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，暂且不告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元~3 000元，如果给大家5次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有5次！接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧.
导 语
一、二分法的概念
二、用二分法求函数零点的近似值
课时对点练
随堂演练
内容索引
二分法的概念
一
提示　4次.
第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；
第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；
第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；
第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.
在这个过程中，体现出了“一分为二，逐步逼近”的思想.
有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.至少用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
问题1
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点______
_______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
逐步逼
近零点
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y=x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
注 意 点
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　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是
例 1
根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值.
解析
√
√
√
(2)已知f(x)=x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出零点的近似值，则c的值是
A.9 B.8 C.7 D.6
依题意可知，x2+6x+c=0有两个相等的实数根，
则Δ=36-4c=0，∴c=9.
解析
√
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右两侧的函数值异号.
反
思
感
悟
已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
跟踪训练1
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3.
解析
√
二
用二分法求函数零点的近似值
提示　由于f(1)=-2<0，f(2)=5>0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
你能想办法求函数f(x)=x3-3的零点的近似值吗？
问题2
区间 中点的值 中点函数近似值
(1，2) 1.5 0.375
(1，1.5) 1.25 -1.046 9
(1.25，1.5) 1.375 -0.400 4
(1.375，1.5) 1.437 5 -0.029 5
当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程.实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确度，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1.
由于|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1，所以原函数的一个正实数零点可取1.437 5.
给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 .
(2)求区间(a，b)的中点 .
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)=0(此时x0=c)，则 就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈ )，则令b=c；
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈ )，则令a=c.
f(a)·f(b)<0
c
c
(a，c)
(c，b)
(4)判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)~(4).
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.
(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分.
(3)若|a-b|<ε，则[a，b]间的任意值都是满足精确度ε的近似值.
注 意 点
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　(课本例2)借助信息技术，用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
例 2
原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
解
观察图或表，可知f(1)f(2)<0，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0.
取区间(1，2)的中点x1=1.5，用信息技术算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5).
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
解
再取区间(1，1.5)的中点x2=1.25，用信息技术算得f(1.25)≈ -0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，
x0∈(1.375，1.437 5).
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.375.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
　用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的近似解时，令f(x)=ln(2x+6)+2-3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1)
例 2
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9
因为f(1.25)f(1.375)<0，
所以根据二分法的思想，可知函数f(x)的零点在区间[1.25，1.375]内，
但|1.375-1.25|=0.125>0.1，因此需要取区间[1.25，1.375]的中点1.312 5，
两个区间[1.25，1.312 5]和[1.312 5，1.375]中至少有一个包含零点.
又|1.375-1.312 5|=|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1，因此1.312 5是方程的一个近似解.
解
二分法求函数零点的关注点
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.
(2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的近似值.
反
思
感
悟
(1)用二分法求方程3x+x-5=0在区间(1，3)内的近似解，取区间的中点2，那么下一个有根的区间是　　　　.
设f(x)=3x+x-5，f(1)=3+1-5<0，
f(3)=33+3-5>0，f(2)=32+2-5>0，∵f(1)f(2)<0，
∴f(x)零点所在的区间为(1，2)，
∴方程3x+x-5=0下一个有根的区间是(1，2).
解析
跟踪训练2
(1，2)
(2)(多选)用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点，其参考数据如下：
根据上述数据，可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确度0.05)为
A.0.062 5 B.0.093 75
C.0.125 D.0.096
已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点所在区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，|0.125-0.093 75|=0.031 25 <0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合题意.
解析
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f(x) -0.456 7 -0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
√
√
√
1.知识清单：
(1)二分法的定义.
(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解.
2.方法归纳：化归、逼近.
3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.下列函数零点不能用二分法求解的是
A.f(x)=x3-1
B.f(x)=ln x+3
C.f(x)=x2+2x+2
D.f(x)=-x2+4x-1
√
1
2
3
4
对于A选项，f(x)=x3-1在R上为增函数，且与x轴有唯一交点，
交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；
对于B选项，f(x)=ln x+3在(0，+∞)上为增函数，且与x轴有唯一交点，
交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；
对于C选项，f(x)=x2+2x+2=(x+2≥0恒成立，所以不能用二分法求解；
对于D选项，f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3，在(-∞，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(2)=3>0，则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解.
解析
2.(多选)下列关于函数y=f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是
A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的
零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
√
易知A正确；
因为函数f(x)不一定连续，故B错误；
由函数f(x)的零点的定义知C正确；
用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误.
解析
√
1
2
3
4
1
2
3
4
3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
A.(-2，-1) B.(-1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
√
f(-2)f(-1)=-12<0，所以可以取的初始区间是(-2，-1).
解析
1
2
3
4
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为
A.1.5 B.1.375 C.1.437 5 D.1.25
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
√
1
2
3
4
∵f(1.406 25)<0，f(1.437 5)>0，
∴f(1.406 25)f(1.437 5)<0，
∴该方程的解在区间(1.406 25，1.437 5)内，
又∵|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05，
∴方程的近似解可以是1.437 5.
解析
课时对点练
四
对一对
答案
1
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4
5
6
7
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13
14
15
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C BD B C BC D a2=4b
题号 9 11 12 13 15
答案 f(x)=x2-17　[4，5](答案不唯一) B B 1.5，1.75，1.875，1.812 5
10.
答案
1
2
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5
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14
15
因为方程为x3+3x-5=0，
令f(x)=x3+3x-5，
所以f(0)=-5，f(1)=-1，f(2)=9，f(3)=31，
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
因为|1.187 5-1.125|= 0.062 5<0.1，
区间 中点m f(m)的符号
(1，2) 1.5 +
(1，1.5) 1.25 +
(1，1.25) 1.125 -
(1.125，1.25) 1.187 5 +
(1.125，1.187 5) 1.156 25 +
所以原方程的近似解可取1.187 5.
14.
答案
1
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14
15
令f(x)=2x+x-4，
则f(1)=2+1-4<0，f(2)=22+2-4>0.
用二分法的思想，列表如右：
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2，
∴2x+x=4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
区间 区间中点值xn f(xn)的符号
(1，2) x1=1.5 f(x1)>0
(1，1.5) x2=1.25 f(x2)<0
(1.25，1.5) x3=1.375 f(x3)<0
基础巩固
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
√
能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b) <0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件.
解析
答案
1
2
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12
13
14
15
2.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时，初始区间可选为
A.[-1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[2，3]
√
答案
1
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15
f(-1)=-<0，f(0)=-2<0，
f(1)=-1<0，f(2)=1>0，f(3)=5>0，
则f(1)f(2)<0，即初始区间可选[1，2].
解析
3.(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为(-2，4)，则第二次所取区间可能是
A.(-2，-1) B.(-2，1)
C.(2，4) D.(1，4)
√
答案
1
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14
15
由题知第一次所取区间为(-2，4)，取中间值=1，
则第二次所取区间可能是(-2，1)或(1，4).
解析
√
4.用二分法求函数f(x)在(a，b)内唯一零点的近似值时，精确度为0.001，则结束计算的条件是
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
√
答案
1
2
3
4
5
6
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14
15
根据二分法的步骤知当|a-b|小于精确度ε时，便可结束计算.
解析
5.下列函数中，不能用二分法求函数零点的有
A.f(x)=5x+2 B.f(x)=log5x
C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=3x-2
√
答案
1
2
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4
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15
答案
1
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13
14
15
选项A，由f(-1)f(1)=-3×7<0，
可得f(x)=5x+2在(-1，1)上存在零点，且可用二分法求此函数零点；
选项B，由f f(5)=-1×1<0，可得f(x)=log5x在上存在零点，且可用二分法求此函数零点；
选项C，f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，则其零点为-1，但不存在实数a，b满足f(a)f(b)<0，因而不能用二分法求此函数零点；
选项D，由f(0)f(1)=-1×1<0，可得f(x)=3x-2在(0，1)上存在零点，且可用二分法求此函数零点.
解析
6.(多选)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表.
若方程2x=x2有一个根位于区间(a，a+0.4)内，则a可以取
A.-1.4 B.-1 C.-0.8 D.-0.6
√
答案
1
2
3
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15
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0
√
答案
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15
令f(x)=2x-x2，则f(-1.6)<0，
f(-1.4)<0，f(-1.2)<0，
f(-1)<0，f(-0.8)<0，f(-0.6)>0，
f(-0.4)>0，f(-0.2)>0，f(0)>0，
f(-1.4)f(-1)>0，f(-1)f(-0.6)<0，
f(-0.8)f(-0.4)<0，f(-0.6)f(-0.2)>0，
故a可能取-1或-0.8.
解析
7.用二分法求方程ln x-=0在[1，2]上的解时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为
A.[1，1.25] B.[1，1.5]
C.[1.25，1.5] D.[1.5，2]
答案
1
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√
答案
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14
15
令f(x)=ln x-易得f(x)为增函数，
又因为f(1)=-1<0，
f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0，
f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln 4-2)<0，
所以下一个有根区间为[1.5，2].
解析
8.若函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　 　.
答案
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15
a2=4b
∵函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，
∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切，
∴对于x2+ax+b=0，有Δ=a2-4b=0，
∴a2=4b.
解析
9.“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是　　　　　，选定的初始区间是________
(答案不唯一，写出一个即可).
答案
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14
15
f(x)=x2-17
由于是方程x2-17=0的一个根，
故构造函数f(x)=x2-17，
根据函数零点存在定理，可以选区间[4，5].
解析
[4，5]
10.以下是用二分法求方程x3+ 3x-5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论.
设函数f(x)=x3+3x-5，其图象在(-∞，+∞)上是连续不断的一条曲线.
答案
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15
区间 中点m f(m)的符号





先求值，f(0)=　　　　，f(1)=　　　　，f(2)=　　　　，f(3)=　　　　.
所以f(x)在区间　　　　内存在零点x0.填表：
答案
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15
因为方程为x3+3x-5=0，
令f(x)=x3+3x-5，
所以f(0)=-5，f(1)=-1，f(2)=9，f(3)=31，
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
因为|1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1，
解
所以原方程的近似解可取1.187 5.
区间 中点m f(m)的符号
(1，2) 1.5 +
(1，1.5) 1.25 +
(1，1.25) 1.125 -
(1.125，1.25) 1.187 5 +
(1.125，1.187 5) 1.156 25 +
11.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出是哪处焊口脱落，至少需要检测
A.4次 B.6次 C.8次 D.30次
√
综合运用
答案
1
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3
4
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利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减少一半，不妨设需要n次检测，则≤1，
即2n≥60，因为25<60<26，故n的最小值为6，即至少需要检测6次.
解析
12.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为
A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε)
√
答案
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真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，
而b--a=
所以误差的取值范围为.
解析
13.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)=lg x+x-2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈
1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　 　.
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1.5，1.75，1.875，1.812 5
第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5).
解析
14.用二分法求方程2x+x=4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).
参考数据：
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x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
答案
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令f(x)=2x+x-4，
则f(1)=2+1-4<0，f(2)=22+2-4>0.
用二分法的思想，列表如右：
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2，
∴2x+x=4在[1，2]内的近似解可
取为1.375.
解
区间 区间中点值xn f(xn)的符号
(1，2) x1=1.5 f(x1)>0
(1，1.5) x2=1.25 f(x2)<0
(1.25，1.5) x3=1.375 f(x3)<0
15.已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]又f =0，则函数f(x)的零点为
　.
拓广探究
答案
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因为对任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，都有>0，且f(a)f(b)<0，
所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0，
因为a+1>a恒成立，
所以解得
所以f(x)的零点为.
解析
第四章　§4.5　函数的应用(二)
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