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(共77张PPT)
5.1.1
任意角
第五章　§5.1　任意角和弧度制
<<<
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
学习目标
同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度” “后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围.
导 语
一、任意角的概念
二、象限角
课时对点练
三、终边相同的角
随堂演练
内容索引
四、区域角及其表示
任意角的概念
一
提示　角可以看作从同一顶点出发的两条射线所成的图形，角的范围是0°~360°.
在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
问题1
1.角的概念及其表示
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图，
(1)始边：射线的 位置OA；
终边：射线的 位置OB；
顶点：射线的端点O.
(2)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
射线
旋转
图形
起始
终止
2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
逆时针
顺时针
没有
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
4.角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 .
5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α-β=α+ .
α=β
α+β
相反角
-α
(-β)
　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为
A.120° B.-120° C.-60° D.60°
例 1
由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
即为-×360°=-120°.
解析
√
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.
反
思
感
悟
如图(1)，∠AOC=　　 ；如图(2)，∠AOC=　　.
跟踪训练1
110°
-70°
二
象限角
提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？
问题2
(1)锐角是第一象限角，第一象限角未必是锐角；钝角是第二象限角，第二象限角未必是钝角；直角的终边在坐标轴上，它不属于任何象限.
(2)每一个象限都有正角和负角.
(3)无法比较两个象限角的大小.
注 意 点
<<<
　(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是
A.160° B.480° C.-960° D.1 530°
例 2
√
√
√
在平面直角坐标系中分别画出各个角(图略)，
角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知160°，480°，-960°的终边在第二象限.
解析
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
反
思
感
悟
(多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
跟踪训练2
√
√
√
直角不属于任何一个象限，故A不正确；
钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；
120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；
零角和负角也小于180°，故D不正确.
解析
终边相同的角
三
提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？
问题3
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·
360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
　(1)(课本例1)在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
例 3
-950°12'=129°48'-3×360°，所以在0°~360°范围内，与-950°12'角终边相同的角是129°48'，它是第二象限角.
解
(2)(课本例3)写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤ β<720°的元素β有哪些？
如图，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合
S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}
={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.
S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β有
45°-2×180°=-315°，
45°-1×180°=-135°，
45°+0×180°=45°，
45°+1×180°=225°，
45°+2×180°=405°，
45°+3×180°=585°.
解
(1)已知α=-1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
①最小的正角；
②最大的负角；
③-360°~720°之间的角.
例 3
方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°，
即-1 845°角与-45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β=-45°+k·360°，k∈Z}，
①最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°.
解
方法二　设与角α 终边相同的角为β，
则{β|β=-1 845°+k·360°，k∈Z}，
①令β>0，即-1 845°+k·360°>0，得k的最小值为6，
所以β=315°，
即最小的正角为315°.
②最大的负角为-45°.
③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°.
解
终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}；
终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}.
因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·
360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}，
即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.
解
(2)写出终边在直线y=-x上的角的集合.
完成下表.
延伸探究
终边落在x轴非负半轴上 ___________________
终边落在x轴非正半轴上 _________________________
终边落在y轴非负半轴上 ________________________
终边落在y轴非正半轴上 ________________________
终边落在x轴上 ___________________
终边落在y轴上 _______________________
终边落在坐标轴上 __________________
{α|α=k·360°，k∈Z}
{α|α=180°+k·360°，k∈Z}
{α|α=90°+k·360°，k∈Z}
{α|α=270°+k·360°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z}
{α|α=90°+k·180°，k∈Z}
{α|α=k·90°，k∈Z}
终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
反
思
感
悟
若角2α与240°角的终边相同，则角α可以表示为
A.120°+k·360°，k∈Z
B.120°+k·180°，k∈Z
C.240°+k·360°，k∈Z
D.240°+k·180°，k∈Z
因为角2α与240°角的终边相同，
所以2α=240°+k·360°，k∈Z，
所以α=120°+k·180°，k∈Z.
解析
跟踪训练3
√
区域角及其表示
四
　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
例 4
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}.
解
(1)表示区域角的三个步骤
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.
(2)实线包括边界，虚线不包括边界.
反
思
感
悟
如图所示.
(1)分别写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=210°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=300°+k·360°，k∈Z}.
解
跟踪训练4
(2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合.
终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是
{α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}.
解
1.知识清单：
(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k ∈Z.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.2 025°角是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
因为2 025°=5×360°+225°，所以2 025°角的终边与225°角的终边相同，为第三象限角.
解析
1
2
3
4
2.与-460°角终边相同的角可以表示成
A.460°+k·360°，k∈Z
B.100°+k·360°，k∈Z
C.260°+k·360°，k∈Z
D.-260°+k·360°，k∈Z
√
因为-460°=260°+(-2)×360°，所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°，k∈Z.
解析
1
2
3
4
3.图中从OA旋转到OB时所成的角度α是　　　　.
题图中的角是正角，α=390°.
解析
390°
1
2
3
4
4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　　　　　　　　　　　　　　 　　.
观察图形可知，角α的集合是
{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}.
解析
{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}
课时对点练
六
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C C D ACD -75°
题号 9 11 12 13 15
答案 {α|-50°+k·360°≤ α≤40°+k·360°，k∈Z} C B 120°或30° B
10.
答案
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
12
13
14
15
(1)α=-2 000°=160°-6×360°，它是第二象限角.
(2)由(1)及题意，令θ=160°+k·360°，k∈Z，故
当k=-1时，θ=-200°；
当k=-2时，θ=-560°.
综上，θ=-200°或θ=-560°.
16
14.
答案
1
2
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15
(1)根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}对应的区域，如图1中阴影部分(含边界)所示.
图1　　　　　　　　　图2
(2)根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}对应的区域，如图2中阴影部分(含边界)所示.
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16.
答案
1
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15
∵α是第二象限角，
∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.
方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)，
当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)；
当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)，
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16.
答案
1
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14
15
∴的终边位于第一或第三象限.
∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)，
当k=3n(n∈Z)时，30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)；
当k=3n+1(n∈Z)时，150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)；
当k=3n+2(n∈Z)时，270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
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答案
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15
方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一或第三象限.
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答案
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将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
16
基础巩固
1.每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟.这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是
A.30° B.-30°
C.60° D.-60°
√
∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角，
又分针走过了10分钟，
∴走过的角度大小为×360°=60°，
综上，分针走过的角度是-60°.
解析
答案
1
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16
2.“α是第一象限角”是“α是锐角”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
1
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若α是锐角，则α是第一象限角，
但当α是第一象限角时，α不一定是锐角，如α=400°，
故“α是第一象限角”是“α是锐角”的必要不充分条件.
解析
3.如果角α的终边上有一点P(0，-3)，那么α
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角
D.不是象限角
√
答案
1
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点P(0，-3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的非正半轴，所以α不是象限角.
解析
4.下列角的终边位于第四象限的是
A.420° B.860°
C.1 060° D.1 260°
√
答案
1
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答案
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方法一　因为420°=60°+360°，所以420°角是第一象限角；
因为860°=140°+2×360°，所以860°角是第二象限角；因为1 060°=
340°+2×360°，所以1 060°角是第四象限角；
因为1 260°=180°+3×360°，所以1 260°角的终边位于x轴的非正半轴上.
方法二　在平面直角坐标系中分别画出各个角(图略)，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知1 060°角的终边在第四象限.
解析
5.已知集合A=B=则A∩B等于
A.
B.
C.
D.
√
由-180°以-所以A∩B={-126°，-36°，54°，144°}.
解析
答案
1
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6.将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为
A.{β|β=k×180°+90°，k∈Z}
B.{β|β=k×360°+90°，k∈Z}
C.{β|β=k×180°+150°，k∈Z}
D.{β|β=k×360°+70°，k∈Z}
√
答案
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由题意，知α+60°=k×360°+130°，k∈Z，
解得α=k×360°+70°，k∈Z，
所以与角α终边相同的角的集合为{β|β=k×360°+70°，k∈Z}.
解析
7.(多选)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是
A.1 837° B.143°
C.-323° D.-863°
答案
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15
16
√
√
√
与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°，k∈Z.
当k=10时，37°+1 800°=1 837°；当k=-2时，37°-360°=-323°；当k=-5时，37°-900°=-863°.
解析
8.如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC=　　　 .
答案
1
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-75°
由角的定义可得∠AOC=45°+(-120°)=-75°.
解析
9.如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是　　　　　 　　　.
答案
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{α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°，k∈Z}
因为终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=-50°+k·360°，k∈Z}，
终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=40°+k·360°，k∈Z}.
所以终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是{α|-50°+k·360°≤α
≤40°+k·360°，k∈Z}.
解析
10.已知α=-2 000°.
(1)把α写成β+k·360°，k∈Z，0°≤β<360°的形式，并指出它是第几象限角；
答案
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α=-2 000°=160°-6×360°，它是第二象限角.
解
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.
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由(1)及题意，令θ=160°+k·360°，k∈Z，故
当k=-1时，θ=-200°；
当k=-2时，θ=-560°.
综上，θ=-200°或θ=-560°.
解
11.若α是第四象限角，则180°-α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
综合运用
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方法一　可以给α赋一特殊值-60°，
则180°-α=240°，故180°-α是第三象限角.
方法二　∵α是第四象限角，
∴-90°+k·360°<α∴180°-k·360°<180°-α<270°-k·360°，k∈Z，
∴180°-α是第三象限角.
解析
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12.中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是
A.7点36分 B.7点38分
C.7点39分 D.7点40分
√
答案
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设7点t分(0在7点时，时针OC与分针OD所夹的角为210°，
时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
则分针从OD到达OB需旋转6°t，时针从OC到达OA需旋转0.5°t，
于是6°t=0.5°t+210°，解得t=≈38(分).
解析
13.若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α=　 　　　.
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120°或30°
∵4α=120°+k·360°，k∈Z，
∴α=30°+k·90°，k∈Z，
又∵0°<α<180°，
∴当k=1时，α=120°；
当k=0时，α=30°.
解析
14.在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
(1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}；
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根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·360°≤α≤
60°+k·360°，k∈Z}对应的区域，如图1中阴影部分(含边界)所示.　　　　　　　　
解
图1
(2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}.
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根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·180°≤α
≤60°+k·180°，k∈Z}对应的区域，如图2中阴影部分(含边界)所示.
解
图2
15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为
A.α+β=k·360°，k∈Z
B.α+β=180°+k·360°，k∈Z
C.α-β=180°+k·360°，k∈Z
D.α-β=k·360°，k∈Z
拓广探究
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√
因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z，
即α+β=180°+k·360°，k∈Z.
解析
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16.若α是第二象限角，试分别确定2α的终边所在位置.
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∵α是第二象限角，
∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.
方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)，
当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)；
当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一或第三象限.
解
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∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)，
当k=3n(n∈Z)时，30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)；
当k=3n+1(n∈Z)时，150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)；
当k=3n+2(n∈Z)时，270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
解
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方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一或第三象限.
解
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将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一、第二或第四象限.
解
第五章　§5.1　任意角和弧度制
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