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(共79张PPT)
5.1.2
弧度制
第五章　§5.1　任意角和弧度制
<<<
1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.(重点)
2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.(难点)
学习目标
度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
导 语
一、弧度制的概念
二、角度制与弧度制的相互转化
课时对点练
三、利用弧度表示角
随堂演练
内容索引
四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式
弧度制的概念
一
提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的.
在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？
问题1
提示　因为l1=所以=n·.故.
射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧PP1的长为l，
由l=可知，弧长l与半径r的比值为=n·.若在射线OA上
问题2
任取一点Q(不同于点O)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1，则弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？
1.弧度制
我们规定：长度等于 长的 所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
2.弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么.
3.一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
半径
圆弧
正数
负数
0
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.
注 意 点
<<<
　下列命题中，假命题是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
例 1
根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题.
解析
√
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
反
思
感
悟
下列各命题中，真命题是
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小
根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
解析
跟踪训练1
√
二
角度制与弧度制的相互转化
提示　因为半径为r的圆的周长为l=2πr，故圆周角的弧度数α=2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系.
根据公式|α|=你能得出圆周角的弧度数吗？
问题3
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=_____
180°= rad π rad=_____
2π
360°
π
180°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° ____ 90° 120° 135° 150° _____ 270° 360°
弧度 0 ___ ___ ___ ____ ____ π ___
60°
180°
2π
(1)弧度单位rad可以省略.
(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用.
注 意 点
<<<
　把下列角度化成弧度，弧度化成角度：
(1)37°30'；
例 2
37°30'=37.5°=°=.
解
(2)-216°；
-216°=-216×=-.
解
(3)2；
2=2×°=°.
解
(4)-.
-=-°=-396°.
解
角度与弧度换算技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，
由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×°=度数.
反
思
感
悟
将下列角度与弧度进行互化：
(1；
跟踪训练2
°=15 330°.
解
(2)-；
-=-°=-105°.
解
(3)10°；
10°=10×.
解
(4)-855°.
-855°=-855×=-.
解
利用弧度表示角
三
　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
例 3
-1 125°=-1 125×=-=-8π+
其中<2π，所以角是第四象限角，
所以-1 125°角是第四象限角.
解
用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
反
思
感
悟
(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为
A.
B.
C.
D.
150°=150×故与150°角终边相同的角的集合为.
解析
跟踪训练3
√
(2)终边落在图中阴影部分(包含边界)的角的集合为(用弧
度制表示)　　　　　　　　　　　　　　　　　.
结合图象，设终边落在阴影部分(包含边界)的角是α，满足条件的角的集合是
.
解
　
弧度制下的扇形的弧长与面积公式
四
提示　角度制下，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式为l=面积公式为S=.n°= rad，弧度制下，扇形的弧长公式为l=αR，面积公式为S=αR2.
角度制中，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长和面积公式是什么？n°换算成弧度是多少弧度？记相应的弧度数为α，你能写出弧度制下扇形的弧长和面积公式吗？
问题4
扇形的弧长与面积公式(R是扇形所在圆的半径，n°为扇形的圆心角的度数，α表示扇形的圆心角的弧度数)
公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式
角度制
弧度制 l= (0<α<2π) S=_____=_____(0<α<2π)
αR2
αR
lR
　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
例 4
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
整理得R2-5R+4=0，解得R=1或R=4.
当R=1时，l=8，此时，θ=8>2π，舍去.
当R=4时，l=2，此时，θ=.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为.
解
已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
延伸探究
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l+2r=4，
所以l=4-2r
所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1，
所以当r=1时，S最大，且Smax=1，
此时，θ==2.
故当r=1，θ=2时，扇形的面积最大，最大值为1.
解
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：面积公式：S=lR=αR2，弧长公式：l=αR(其
中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
反
思
感
悟
已知某扇形的半径r=2 cm，周长C=cm.
(1)求该扇形的面积；
设扇形的弧长为l，因为r=2 cm，由题意，扇形的周长C=2r+l=2×2+l=
4+
所以l=所以扇形的面积为lr=×2= (cm2).
解
跟踪训练4
(2)求在区间(0，3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角.
由(1)可知，圆心角α=
故与α终边相同的角的集合为S=
S中符合0<β<3π的元素β有+0×2π=+1×2π=
故在区间(0，3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角为.
解
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)角度制与弧度制的相互转化.
(3)特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)弧度制下的扇形的弧长与面积公式.
2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
3.常见误区：弧度与角度混用.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.下列说法正确的是
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
√
1
2
3
4
对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.
解析
1
2
3
4
2.时针经过一小时，转过了
A. rad B.- rad C. rad D.- rad
√
时针经过一小时，转过了-30°，
-30°=- rad.
解析
1
2
3
4
3.下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是
A.2kπ+k∈Z)
B.k·360°-k∈Z)
C.k·360°-210°(k∈Z)
D.kπ+k∈Z)
√
与角-的终边相同的角的表达式为2kπ-k∈Z)或k·360°-210°(k∈Z).
解析
1
2
3
4
4.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为　　，若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为　　.
根据弧度制的定义，可知该扇形圆心角α的弧度数为2，由扇形的面积公式得S=·α·r2=×2×12=1.
解析
2
1
课时对点练
六
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A C C ABC 题号 9 11 12 13 15
答案 2 C B 9
10.
答案
1
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15
(1)因为α=1 200°=1 200×=3×2π+所以角α与的终边相同，
又<π，所以角α是第二象限角.
16
10.
答案
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(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+k∈Z，
所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-.
因为k∈Z，所以k=-2或k=-1.
当k=-2时，2×(-2)π+=-；
当k=-1时，2×(-1)π+=-
故在区间[-4π，0]上，与角α终边相同的角是--.
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答案
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(1)因为AB=2，由于△ABC为正三角形，
所以以A为圆心的扇形的弧长是×2=
所以莱洛三角形的周长为3×=2π.
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答案
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(2)因为AB=2，由于△ABC为正三角形，
所以以A为圆心的扇形的面积是×2=
又△ABC的面积是×22=
所以莱洛三角形的面积为3个扇形的面积减去2个正三角形的面积，
即×3-2=2π-2.
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16.
答案
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(1)设内圆弧半径为r，
则AB=CD=OA=OD=r，
所以=rα=2rα，
所以rα+2rα+2r=2l，
则r=
16
16.
答案
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所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD
=×2rα×2r-×rα×r=αr2
=
当且仅当9α=即α=时，S扇环取得最大值.
16
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答案
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(2)连接OE交BC于F，
则由垂径定理得OE⊥BC，
∠BOE=∠BOC=1，
由(1)知，r=
所以OF=cos 1，
所以EF=OE-OF=2r-cos 1
=1-cos 1).
16
基础巩固
1.下列说法中，错误的是
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
√
根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.
解析
答案
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2.若α=-3 rad，则它是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
答案
1
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因为-π<-3<-所以-3 rad是第三象限角.
解析
3.用弧度制表示与-330°角终边相同的角的集合为
A.
B.
C.
D.
√
答案
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因为-330°=-330×=-
-+2π=
所以与-330°角终边相同的角为
α=+2kπ，k∈Z.
解析
4.已知圆心角为36°的扇形的弧长为则该扇形的面积为
A. B.
C. D.
√
答案
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因为36°=所以该扇形的半径为r==4，
因此该扇形的面积为S=×4=.
解析
5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是
答案
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16
当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).
解析
√
6.下列各角中，终边相同的角是
A.和240° B.-和314°
C.- D.3和3°
√
答案
1
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答案
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对于A选项，240°=不符合题意；
对于B选项，-=-36°，314°-(-36°)=350°，不符合题意；
对于C选项=4π，符合题意；
对于D选项，3≈3×57.3°=171.9°，不符合题意.
解析
7.(多选)下列表示中正确的是
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y=x上的角的集合是
答案
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√
√
√
答案
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A，B显然正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为其并集为故C正确；
对于D，终边在y=x上的角的集合为其并集为故D不正确.
解析
8.角度202°30'化成弧度为　　，弧度-化成角度为　　　.
答案
1
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16
　
202°30'=202.5°=π=；
-=-°=-570°.
解析
-570°
9.现有一把折扇，打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为　 弧度.
答案
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2
设扇形的圆心角为α，半径为r，
则解得
解析
10.已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
答案
1
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因为α=1 200°=1 200×=3×2π+所以角α与的终边相同，
又<π，所以角α是第二象限角.
解
(2)在区间[-4π，0]上找出与角α终边相同的角.
答案
1
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因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+k∈Z，
所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-.
因为k∈Z，所以k=-2或k=-1.
当k=-2时，2×(-2)π+=-；
当k=-1时，2×(-1)π+=-
故在区间[-4π，0]上，与角α终边相同的角是--.
解
11.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为
A.63 cm B.65 cm
C.67 cm D.69 cm
√
综合运用
答案
1
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答案
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15
设该扇环内弧的半径为r cm，
则外弧的半径为(r+18) cm，圆心角α=2.5，
所以αr+α(r+18)=89，
即2.5r+2.5(r+18)=89，解得r=8.8，
所以该扇环的外弧长
l=2.5(r+18)=2.5(8.8+18)=67(cm).
解析
16
12.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为
A. B.
C. D.
√
答案
1
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答案
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16
表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为
当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×；
但当分针指向2时，时针由10向11移动了
故该时刻的时针与分针所夹的钝角为.
解析
13.终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的
集合为　 　 　　(用弧度制表示).
答案
1
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5
6
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16
　
由题意可知，30°=210°=则终边在直线AB上的角为α=kπ+
k∈Z.又终边在y轴上的角为β=kπ+k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
解析
14.莱洛(Reuleaux)三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名.如图所示，它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若AB=2，求：
(1)莱洛三角形的周长；
答案
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答案
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因为AB=2，由于△ABC为正三角形，
所以以A为圆心的扇形的弧长是×2=
所以莱洛三角形的周长为3×=2π.
解
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(2)莱洛三角形的面积.
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因为AB=2，由于△ABC为正三角形，
所以以A为圆心的扇形的面积是×2=
又△ABC的面积是×22=
所以莱洛三角形的面积为3个扇形的面积减去2个正三角形的面积，
即×3-2=2π-2.
解
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15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积=弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得的弧田面积约是　　m2.(精确到1 m2)
拓广探究
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=120°，根据题意得，
弦=2×4sin=4m)，
矢=4-4cos=2(m)，
因此，弧田面积=弦×矢+矢2)
=×(4×2+22)=4+2≈9(m2).
解析
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16.如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为α(0 <α<π).
(1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；
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设内圆弧半径为r，
则AB=CD=OA=OD=r，
所以=rα=2rα，
所以rα+2rα+2r=2l，
则r=
所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD
=×2rα×2r-×rα×r=αr2=
当且仅当9α=即α=时，S扇环取得最大值.
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(2)当α=2时，求弧BC的中点E到弦BC的距离.
连接OE交BC于F，
则由垂径定理得OE⊥BC，
∠BOE=∠BOC=1，
由(1)知，r=
所以OF=cos 1，
所以EF=OE-OF=2r-cos 1
=1-cos 1).
解
第五章　§5.1　任意角和弧度制
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