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(共77张PPT)
5.2.1
三角函数的概念
第五章　§5.2　三角函数的概念
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1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.(重点)
2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号.
学习目标
初中我们已经学习过锐角三角函数，我们是如何定义锐角三角函数的？
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则
正弦：sin A=
余弦：cos A=
正切：tan A=
锐角A的正弦、余弦和正切叫做∠A的三角函数.
导 语
一、三角函数的概念
二、已知终边上任意一点求三角函数值
课时对点练
三、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号
随堂演练
内容索引
四、公式一
三角函数的概念
一
提示　我们利用直角坐标系来研究这个问题. 如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
我们先研究单位圆☉O上的点P，以A为起点按逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.根据研究函数的经验，我们需要借助什么样的数学工具呢？又该如何设计呢？
问题1
提示　当α=时，点P的坐标是；当α=时，点P的坐标分别是(0，1)和它们都是唯一确定的.
当α=时，点P的坐标是什么？当α=时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
问题2
提示　对于交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的. 所以点P的横坐标x和纵坐标y都是角α的函数.
一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的吗？
问题3
任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 把点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=_____
余弦 把点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=______
纵坐标y
sin α
横坐标x
cos α
定义 正切
三角函数
tan α(x≠0)
(1)三角函数值是比值，是一个实数.
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关.
注 意 点
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　(1)(课本例1)求的正弦、余弦和正切值.
例 1
在直角坐标系中，作∠AOB=(如图).易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为所以，
sin
解
　(1)求的正弦、余弦和正切值.
例 1
在直角坐标系中，作∠AOB=如图).易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为所以sin
cos =-tan =-.
解
(2)如果角α的终边在直线y=x上，求sin α+cos α的值.
结合图形(图略)，容易发现直线y=x与单位圆的交点有两个，分别为
当交点为时，sin α=cos α=sin α+cos α=；
当交点为时，sin α=-cos α=-sin α+cos α=-.
解
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α=y，cos α=x，tan α=.
反
思
感
悟
已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α等于
A.- B. C.- D.-
跟踪训练1
√
因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α=.
解析
二
已知终边上任意一点求三角函数值
提示　设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)，
分别过点P，P0作x轴的垂线PM，PM0，垂足分别为M，M0，则
P0M0=|y0|，PM=|y|，OM0=|x0|，OM=|x|，
又∵△OMP∽△OM0P0，∴
即
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)(不与原点O重合)，点P与原点的距离为r=那么如何求角α的三角函数值呢？
问题4
又∵y0与y同号，∴ y0=
又∵sin α=y0，∴sin α=y0=
同理，cos α=x0=
tan α=.
已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)，则点P到原点的距离为r=
sin α=cos α=tan α=.角α的三角函数值不会随P点位置的改变而改变.
(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；
(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合.
注 意 点
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　已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值.
例 2
令x=5m，y=12m，
则r==13|m|，
①当m>0时，r=13m，
则sin α=cos α=tan α=；
②当m<0时，r=-13m，
则sin α==-=-cos α==-=-tan α=.
解
(1)若点的坐标或角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论.
(2)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)，则先求r=再求sin α=cos α=tan α=.
反
思
感
悟
已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上，则角α的余弦值为　　　.
跟踪训练2
∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上，
∴角α的终边在第一象限或第三象限，
当角α的终边在第一象限时，可取角α的终边上的点(1，3)，∴cos α=
；
当角α的终边在第三象限时，可取角α的终边上的点(-1，-3)，∴cos α=
=-综上，角α的余弦值为±.
解析
　±
正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号
三
提示　三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号
推导出的.根据三角函数的定义可知
正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x的符号共同决定的，同号为正，异号为负.
根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号.
问题5
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
例 3
由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角.
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角.
综上可知，α是第三象限角.
解析
√
(2)(多选)下列选项中，符号为负的是
A.sin(-100°) B.cos(-220°)
C.tan 10 D.cos π
-100°是第三象限角，故sin(-100°)<0；-220°是第二象限角，故cos(-220°)<0；
10∈是第三象限角，故tan 10>0；
cos π=-1<0.
解析
√
√
√
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限.
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.
反
思
感
悟
已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
∵点P(sin α，cos α)在第三象限，
∴∴α为第三象限角.
解析
跟踪训练3
√
公式一
四
提示　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等.
终边相同的角的三角函数值有何关系？
问题6
终边相同的角的同一三角函数的值 .
即
sin(α+k·2π)= ，
cos(α+k·2π)= ，
tan(α+k·2π)= ，
其中k∈Z.
相等
sin α
cos α
tan α
　计算下列各式的值：
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°；
例 4
原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2
×360°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
=.
解
(2)sin+costan 4π.
原式=sin+costan(4π+0)=sin+cos×0=.
解
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0，2π).
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
反
思
感
悟
计算下列各式的值：
(1)tan 405°-sin 450°+cos 750°；
原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°)
=tan 45°-sin 90°+cos 30°
=1-1+.
解
跟踪训练4
(2)sin+tan.
原式=sin+tan
=sin+tan+1.
解
1.知识清单：
(1)三角函数的定义及求法.
(2)三角函数值在各象限内的符号.
(3)诱导公式一.
2.方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论.
3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；
正切函数的定义域为
随堂演练
五
1
2
3
4
1.已知sin α=cos α=-则角α的终边与单位圆的交点坐标是
A. B.
C. D.
√
设交点坐标为P(x，y)，
则y=sin α=x=cos α=-
故点P.
解析
1
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4
2.已知角α的终边经过点(-5，12)，则cos α等于
A. B. C.- D.-
√
设点P(-5，12)，
则OP==13，
故cos α==-.
解析
1
2
3
4
3.已知θ∈R，则“tan θ>0”是“点(sin θ，cos θ)在第一象限内”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
若tan θ>0，则θ在第一或第三象限，
则sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0，则点(sin θ，cos θ)在第一或第三象限，
若点(sin θ，cos θ)在第一象限，
则sin θ>0，cos θ>0，则tan θ>0.
故“tan θ>0”是“点(sin θ，cos θ)在第一象限内”的必要不充分条件.
解析
1
2
3
4
4.计算：sin+cos+tan=　　.
原式=sin+cos+tan=sin+cos+tan
=+1=2.
解析
2
课时对点练
六
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A D D ACD AC -3
题号 9 11 12 13 15 答案 D C -1 ABD
10.
答案
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(1)原式=sin+cos+cos π+1
=-1+0-1+1=-1.
(2)原式=a2sin 90°-b2cos 180°+2abtan 45°
=a2+b2+2ab=(a+b)2.
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答案
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(1)由已知角α的终边上有一点P(2，-4)，
又点P到原点的距离为=2
所以sin α==-cos α=
tan α==-2.
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答案
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(2)因为已知角α的终边上有一点P(m，-4)，
所以点P到原点的距离为
所以cos α=由已知知m>0，
所以m=3，
所以sin α==-
所以sin(α-6π)+m·tan=sin α+m·tan =-+3=.
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答案
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(1)在单位圆中，A(1，0)，∠AOP=α，∠AOP的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M，如图所示.
令P(x，y)(x>0，y>0)，由三角函数定义得sin α=y= PM，cos α=x=OM，
在Rt△OPM中，PM+OM>OP=1，
所以sin α+cos α>1.
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16.
答案
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(2)过点A作单位圆的切线交直线OP于点T，显然劣弧AP长l=α×1=α，
显然sin α=y=PM，tan α=AT，
△AOP的面积S1=OA·PM=sin α，
扇形AOP的面积S2=l·OA=α，
△AOT的面积S3=OA·AT=tan α，
由图形得S1所以sin α<α16
基础巩固
1.点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为
A. B.- C. D.-
√
由三角函数定义知=tan 60°=.
解析
答案
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2.已知角α的终边与单位圆的交点为P则sin α-cos α等于
A.- B. C. D.-
√
答案
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由三角函数的定义得cos α=-
sin α=-
因此sin α-cos α=-.
解析
3.sin(-1 395°)cos 30°等于
A. B. C.- D.-
√
答案
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sin(-1 395°)cos 30°=sin(-1 395°+4×360°)cos 30°=sin 45°cos 30°
=.
解析
4.已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α=则m的值为
A.2 B.-2
C.-2或2 D.-2或2
√
答案
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由三角函数定义可得sin α=解得m=±2
所以m的值为-2或2.
解析
5.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|=cos θ，则角θ是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
答案
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∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负，
又|cos θ|=cos θ，∴cos θ≥0，
综上，sin θ<0，cos θ>0，即θ为第四象限角.
解析
6.(多选)确定下列三角函数值的符号，下列选项正确的是
A.cos 250°<0 B.sin>0
C.tan(-672°)>0 D.tan <0
√
答案
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√
√
答案
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对于A，250°是第三象限角，所以cos 250°<0，故A正确；
对于B，-为第四象限角，所以sin<0，故B错误；
对于C，-672°为第一象限角，所以tan>0，故C正确；
对于D为第四象限角，所以tan <0，故D正确.
解析
7.(多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则
A.tan α=-2 B.cos α=
C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0
答案
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√
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答案
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因为点P是角α终边上一点，
则r=|m|，
于是得tan α==-2，A正确；
cos α=当m>0时，cos α=当m<0时，cos α=-B不正确；
又sin α=则sin αcos α==-<0，C正确，D不正确.
解析
8.角θ的终边经过点P(4，y)，且sin θ=-则y=　 .
答案
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-3
角θ的终边经过点P
且sin θ=-
解得y=-3.
解析
9.-300°角的终边与单位圆交于点P(m，n)，则m+n=　　　.
答案
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由三角函数的定义知m=cos(-300°)
=cos(-360°+60°)=cos 60°=.
n=sin(-300°)=sin(-360°+60°)=sin 60°=.
∴m+n=.
解析
10.化简下列各式：
(1)sin+cos+cos(-5π)+tan；
答案
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原式=sin+cos+cos π+1
=-1+0-1+1=-1.
解
(2)a2sin 810°-b2cos 900°+2abtan 1 125°.
原式=a2sin 90°-b2cos 180°+2abtan 45°
=a2+b2+2ab=(a+b)2.
解
11.在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P
则cos θ等于
A. B.- C. D.-
√
综合运用
答案
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sin =sin=sincos=cos=cos
所以角θ的终边经过点P即P(-1，1)，所以cos θ
=-.
解析
12.已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sin α+的值为
A.-6 B.6
C.0 D.-3
√
答案
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由题知cos α≠0，
设角α的终边上一点为P(a，-3a)(a≠0)，
则点P到原点的距离为r=|a|.
当a>0时，r=a，sin α==-cos α=
所以10sin α+=-3+3=0；
当a<0时，r=-a，sin α=cos α==-
所以10sin α+=3-3=0.
综上，10sin α+=0.
解析
13.已知角α=2kπ-k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y=的值为　　　.
答案
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-1
由α=2kπ-k∈Z)，得角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.
解析
14.若角α的终边上有一点P(m，-4)，m∈R.
(1)若m=2，求sin α，cos α和tan α的值；
答案
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由已知角α的终边上有一点P(2，-4)，
又点P到原点的距离为=2
所以sin α==-cos α=
tan α==-2.
解
16
(2)若cos α=求m的值，并计算sin(α-6π)+m·tan.
答案
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因为已知角α的终边上有一点P(m，-4)，
所以点P到原点的距离为
所以cos α=由已知知m>0，
所以m=3，
所以sin α==-
所以sin(α-6π)+m·tan=sin α+m·tan =-+3=.
解
16
15.(多选)若α是第二象限角，则下列结论不一定成立的是
A.sin >0 B.cos >0
C.tan >0 D.sin cos α<0
拓广探究
答案
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答案
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α是第二象限角，有cos α<0，由+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z)，有+kπ<+
kπ(k∈Z)，
当k为偶数时为第一象限角，sin >0，cos >0，tan >0；
当k为奇数时为第三象限角，sin <0，cos <0，tan >0，则选项A，B，D不一定成立.
解析
答案
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15
16.设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：
(1)sin α+cos α>1；
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在单位圆中，A(1，0)，∠AOP=α，∠AOP的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M，如图所示.
令P(x，y)(x>0，y>0)，由三角函数定义得sin α=y=PM，cos α=x=OM，
在Rt△OPM中，PM+OM>OP=1，
所以sin α+cos α>1.
证明
过点A作单位圆的切线交直线OP于点T，显然劣弧AP长l=α×1=α，
显然sin α=y=PM，tan α=AT，
△AOP的面积S1=OA·PM=sin α，
扇形AOP的面积S2=l·OA=α，
△AOT的面积S3=OA·AT=tan α，
由图形得S1所以sin α<α证明
(2)sin α<α答案
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第五章　§5.2　三角函数的概念
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