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(共82张PPT)
5.2.2
同角三角函数的基本关系
第五章　§5.2　三角函数的概念
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1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.(重点)
2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(难点)
学习目标
公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？
导 语
一、利用同角三角函数的基本关系求值
二、sin θ±cos θ型求值问题
课时对点练
三、利用同角三角函数的基本关系化简和证明
随堂演练
内容索引
利用同角三角函数的基本关系求值
一
提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
观察下表，你能发现什么？
问题1
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1，即sin2α+cos2α=1.
若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？
问题2
同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2α+cos2α=1；
商数关系：= .
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
tan α
(1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立.
(2)对于sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立，而tan α=仅对α∈成立.
(3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2.
注 意 点
<<<
　 (1)(课本例6)已知sin α=-，求cos α，tan α的值.
例 1
因为sin α<0，sin α≠-1，所以α是第三或第四象限角.
由sin2α+cos2α=1得
cos2α=1-sin2α=1-
如果α是第三象限角，那么cos α<0.于是
cos α=-，
从而tan α=
如果α是第四象限角，那么
cos α=
解
　 (1)已知cos α=-求sin α，tan α的值.
例 1
∵cos α=-<0，
∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α=
tan α==-；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α=-=-=-
tan α=.
解
(2)已知tan α=-4，求的值.
=.
解
(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个，即“知一求二”.
(2)已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法
①对于形如或的分式，分子、
分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值.
②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α+cos2α，
转化为形如的式子求值.
反
思
感
悟
(1)已知sin α+3cos α=0，求sin α，cos α的值.
跟踪训练1
∵sin α+3cos α=0，∴sin α=-3cos α.
又sin2α+cos2α=1，
∴(-3cos α)2+cos2α=1，
即10cos2α=1，∴cos α=±.
又由sin α=-3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，
解
cos α=-sin α=；
当角α的终边在第四象限时，
cos α=sin α=-.
解
(2)已知=-1，求sin2α+sin α·cos α+1的值.
方法一　(弦化切)
由=-1，得tan α=1，
所以sin2α+sin αcos α+1
=
=
=
==2.
解
方法二　因为=-1，
所以sin α=cos α，
所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2.
解
二
sin θ±cos θ型求值问题
　已知sin θ+cos θ=0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值.
例 2
因为sin θ+cos θ=0<θ<π)，
所以(sin θ+cos θ)2=
即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=
所以sin θcos θ=-
所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ-cos θ>0，
所以sin θ-cos θ
==.
解
已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ；
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ；
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2；
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ+cos θ，sin θ-cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
反
思
感
悟
若sin θ-cos θ=则tan θ+=　　.
由已知得(sin θ-cos θ)2=2，
∴sin θcos θ=-
∴tan θ+=-2.
解析
跟踪训练2
-2
利用同角三角函数的基本关系化简和证明
三
提示　sin2α+cos2α=1
tan α=
你能发现同角三角函数的基本关系的哪些变形形式？
问题3
利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值.
(1)化简：.
例 3
原式=
==1.
解
(2)证明：.
方法一　左边=
=
=
==右边.
所以原等式成立.
证明
方法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α
=sin αcos α+cos α-(1-sin2α)
=cos α(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α)
=(1+sin α)(cos α-1+sin α)
=(1+sin α)(sin α+cos α-1)，
且sin α+cos α-1≠0，cos α≠0，
所以.
证明
(2)(课本例7)求证：
方法一　由cos x≠0，知sin x≠-1，所以1+sin x≠0，于是
左边=
=
==右边.
所以，原式成立.
证明
方法二　因为(1-sin x)(1+sin x)
=1-sin2x=cos2x
=cos xcos x，
且1-sin x≠0，cos x≠0，所以
证明
(1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α+cos2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的.
反
思
感
悟
(2)证明三角恒等式的常用方法
①从左向右推导或从右向左推导.
②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.
③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.
④变更命题法，如要证明可证ad=bc，或证等.
⑤比较法，即证明“左边-右边=0”或“=1”.
反
思
感
悟
(1)化简：+(1+tan2α)·cos2α.
原式=cos2α
=·cos2α
=1+1=2.
解
跟踪训练3
方法一　左边=
==右边.
所以原等式成立.
方法二　右边=
===左边.
所以原等式成立.
证明
(2)求证：.
1.知识清单：
(1)同角三角函数的基本关系.
(2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明.
2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法.
3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若tan α=2，则的值为
A.0 B. C.1 D.
√
.
解析
1
2
3
4
2.已知tan α=α∈则cos α的值是
A.± B. C.- D.
√
由tan α=可得
又sin2α+cos2α=1，可得cos2α+cos2α=1，
解得cos2α=因为α∈
所以cos α=-.
解析
1
2
3
4
3.已知sin α-cos α=-则sin αcos α等于
A. B.- C.- D.
√
由题意得(sin α-cos α)2=
即sin2α+cos2α-2sin αcos α=
又sin2α+cos2α=1，
∴1-2sin αcos α=
∴sin αcos α=-.
解析
1
2
3
4
4.若2sin α+cos α=0，则=　　.
=
==-
∵2sin α+cos α=0，∴tan α=-
∴原式==-8.
解析
-8
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A A D CD =
题号 9 11 12 13 15 答案 1 C AC ACD
10.
答案
1
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15
(1)由θ为第二象限角，且tan θ==-2，cos θ<0，
又sin2θ+cos2θ=5cos2θ=1，则cos θ=-=-.
(2=-.
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14.
答案
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(1)右边=
=
=
==左边，
故原等式成立.
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14.
答案
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15
(2)设sin2A=m(0由=1，得=1，即(m-n)2=0，
所以m=n，故=1-n+n=1.
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16.
答案
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(1)因为t=即sin x+cos x=则(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=
即sin xcos x=-
所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=.
因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x-cos x<0，所以sin x-cos x=-
所以sin3x-cos3x=(sin x-cos x)(sin2x+sin xcos x+cos2x)=-=-.
16
16.
答案
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(2)由(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x，可得sin xcos x=t2-1)，
则关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1可化为-t2+at-=0，t∈[0].
①当t=0时，-≠0，显然方程无解；
16
16.
答案
1
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②当t≠0时，方程-t2+at-=0等价于a=；
当0故a=≥1，
所以要使得关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，则a≥1.
故实数a的取值范围是[1，+∞).
16
基础巩固
1.已知α是第四象限角，cos α=则sin α等于
A. B.- C. D.-
√
由条件知α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α=-=
-=-.
解析
答案
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2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是
A. B. C.1 D.
√
答案
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原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)
=sin2α+cos2α=1.
解析
3.已知α是第四象限角，且sin α=-则tan α等于
A. B.- C. D.-
√
答案
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由α是第四象限角，sin α=-得cos α=
所以tan α==-.
解析
4.已知sin α=则sin4α-cos4α的值为
A.- B.- C. D.
√
答案
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sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×
-1=-.
解析
5.已知sin α-cos α=则的值为
A.- B. C.- D.
√
答案
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因为sin α-cos α=
所以1-2sin αcos α=所以sin αcos α=
所以=-.
解析
6.已知=3，-<α<则sin α-cos α等于
A.- B.- C. D.
√
答案
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答案
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因为=3，所以=3，解得tan α=2.
又因为-<α0，
所以0<α<.
所以sin α=cos α=
所以sin α-cos α=.
解析
7.(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ+cos θ=-则下列结论正确的是
A.θ∈ B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
答案
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√
√
答案
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因为θ∈(0，π)，则sin θ>0，
又因为sin θ+cos θ=-<0，
则cos θ<0，可知θ∈故A错误；
因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=
可得sin θcos θ=-
则(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=且sin θ-cos θ>0，
所以sin θ-cos θ=故D正确；
解析
答案
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联立
解得故B错误；
所以tan θ==-故C正确.
解析
8.已知asin α+bcos α=c，acos α-bsin α=d，则a2+b2　　c2+d2(填“>”“=”或“<”).
答案
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=
c2+d2
=(asin α+bcos α)2+(acos α-bsin α)2
=a2(sin2α+cos2α)+b2(cos2α+sin2α)
=a2+b2.
解析
9.已知α为第二象限角，则+cos α的值是　.
答案
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由题意，α为第二象限角，可得sin α>0，cos α<0，
则+cos α+cos α
=2+cos α=2+cos α×=1.
解析
10.已知θ为第二象限角，若tan θ=-2.
(1)求cos θ的值；
答案
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由θ为第二象限角，且tan θ==-2，cos θ<0，
又sin2θ+cos2θ=5cos2θ=1，则cos θ=-=-.
解
(2)求的值.
=-.
解
11.若α为锐角，3sin α=tan α=tan β，则
A.cos α= B.tan α=-2
C.tan β=2 D.tan β=-2
√
综合运用
答案
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答案
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15
因为α为锐角，3sin α=tan α，
所以3sin α=
所以cos α=所以A不正确；
所以sin α=
所以tan α==2
所以B不正确；
解析
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答案
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因为tan α=tan β，
所以tan β=tan α=×2=2，
所以C正确，D不正确.
解析
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12.(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是
A.m2-2n-1=0 B.mn>0
C.m+n+1>0 D.m2-4n<0
√
答案
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答案
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因为sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，
所以sin α+cos α=-m，sin αcos α=n，
因为角α是锐角，所以m<0，n>0，则mn<0，故B错误；
又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1，
即1+2n=m2，m<-1，
所以m2-2n-1=0，故A正确；
而m+n+1=m++1=>0，故C正确；
因为方程有两个实数根，所以m2-4n≥0，故D错误.
解析
13.已知关于x的方程2x2-+1)x+m=0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈ 则的值为　　　.
答案
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16
由题意得sin θ+cos θ=
所以=sin θ+cos θ=
.
解析
14.(1)求证：；
答案
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右边=
=
=
==左边，
故原等式成立.
证明
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(2)已知=1，求证：=1.
答案
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15
设sin2A=m(0由=1，得=1，即(m-n)2=0，
所以m=n，故=1-n+n=1.
证明
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15.(多选)若=-则α的值可以是
A.- B.
C. D.
拓广探究
答案
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√
√
√
答案
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因为=-
所以=-
所以=-
所以=-所以sin α<0，
对于A，因为-角为第四象限角，所以sin α<0，故A正确；
对于B，因为角为第二象限角，所以sin α>0，故B错误；
解析
答案
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对于C ，因为角为第三象限角，所以sin α<0，故C正确；
对于D，因为角为第四象限角，所以sin α<0，故D正确.
解析
答案
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16.已知sin x+cos x=t，t∈[0].
(1)当t=且x是第四象限角时，求sin3x-cos3x的值；
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答案
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因为t=即sin x+cos x=则(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=
即sin xcos x=-
所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=.
因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x-cos x<0，所以sin x
-cos x=-
所以sin3x-cos3x=(sin x-cos x)(sin2x+sin xcos x+cos2x)=-=-.
解
16
答案
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(2)若关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，求实数a的取值范围.
提示：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
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答案
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由(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x，可得sin xcos x=t2-1)，
则关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1可化为-t2+at-=0，t∈[0].
①当t=0时，-≠0，显然方程无解；
②当t≠0时，方程-t2+at-=0等价于a=；
当0解
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答案
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故a=≥1，
所以要使得关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，则a≥1.
故实数a的取值范围是[1，+∞).
解
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第五章　§5.2　三角函数的概念
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