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(共67张PPT)
5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
第五章　§5.4　三角函数的图象与性质
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1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)
2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.(难点)
学习目标
同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.
导 语
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
二、“五点(画图)法”画函数的图象
课时对点练
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
随堂演练
内容索引
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
一
提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.
结合所学，研究函数的一般步骤是什么？
问题1
提示　如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0=sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？
问题2
我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y= sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？
问题3
提示　如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y=sin x，x∈R的图象.
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.
函数 y=sin x，x∈R
图象

2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.
函数 y=cos x，x∈R
图象

　(多选)下列叙述正确的有
A.y=sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称
B.y=cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x=π成轴对称
C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
例 1
√
√
√
分别画出函数y=sin x，x∈[0，2π]和y=cos x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确.
解析
解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
反
思
感
悟
(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是
A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y=cos x的图象与y=sin x图象的形状和位置都不一样
由正弦、余弦函数的图象知，A，D不正确.
解析
跟踪训练1
√
√
二
“五点(画图)法”画函数的图象
提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)π，0)2π，0).
如何画函数y=sin x，x∈[0，2π]的简图？
问题4
“五点(画图)法”
函数 y=sin x y=cos x
图象画法 五点法 五点法
关键五点
(0，0)
(π，0)
(2π，0)
　(课本例1)画出下列函数的简图：
(1)y=1+sin x，x∈[0，2π]；
例 2
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+sin x 1 2 1 0 1
按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)：
解
(2)y=-cos x，x∈[0，2π].
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-cos x -1 0 1 0 -1
按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)：
解
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-2sin x 1 -1 1 3 1
　用“五点法”作下列函数的图象：
(1)y=1-2sin x，x∈[0，2π]；
例 2
列表：
描点连线，画图如下.
解
x -π 0 π
cos x -1 0 1 0 -1
(2)y=cos x+x∈[-π，π].
列表：
描点连线，画图如下.
解
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
反
思
感
悟
用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y=-sin x，y=2-cos x在[-π，π]上的图象.
跟踪训练2
x -π 0 π
-sin x 0 1 0 -1 0
2-cos x 3 2 1 2 3
列表：
描点连线，画图如下.
解
正弦函数、余弦函数图象的应用
三
　不等式2sin x-1≥0，x∈[0，2π]的解集为
A. B.
C. D.
例 3
√
因为2sin x-1≥0，所以sin x≥.
在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象，如图，
由函数的图象知，sin=sin.
所以根据图象可知，sin x≥的解集为.
解析
在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x-1 ≥0的解集.
延伸探究1
在x∈[0，2π]上的解集为.
所以当x∈R时，不等式的解集为
.
解
试求关于x的不等式延伸探究2
在同一坐标系下作出正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图象和直线y=和y=
的图象，如图所示.
由图可知，在[0，2π]上，
当不等式所以原不等式的解集为
.
解
利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0，2π]上的图象.
(2)确定在[0，2π]上sin x=a(cos x=a)的x值.
(3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集.
(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集.
反
思
感
悟
当x∈(0，2π)时，曲线y=2+cos x与直线y=x的交点个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
跟踪训练3
√
作出函数y=2+cos x和y=x的图象，记f(x)=2+cos x，g(x)=x，
函数f(x)=2+cos x在[0，π]上单调递减，在[π，2π]上单调递增，f(π)=1f(0)=3>g(0)=0，f(2π)=3>g(2π)=
结合图象知在(0，2π)上有两个交点.
解析
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识.
(2)“五点(画图)法”作图.
(3)正弦函数、余弦函数图象的应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：五点的选取；正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列对y=cos x的图象描述错误的是
A.在上的图象形状相同，只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
√
1
2
3
4
对于A，由余弦曲线的作法可知，y=cos x，x∈与y=cos x，x∈的图象形状相同，只是位置不同，A正确；
对于B，由余弦函数的图象知其图象介于直线y=1与直线y=-1之间，B正确；
由余弦函数的图象可得C错误，D正确.
解析
1
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3
4
2.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出的五点的横坐标是
A.0 B.02π
C.0，π，2π，3π，4π D.0
√
所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同，即0
2π.
解析
1
2
3
4
3.在[0，2π]内，不等式sin x<-的解集是
A.(0，π) B. C. D.
√
画出函数y=sin x，x∈[0，2π]的简图，如图所示.
当sin x=-时，x=或x=
则不等式sin x<-在[0，2π]上的
解集是.
解析
1
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3
4
4.函数y=cos x+4，x∈[0，2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为
　　　　　 　　　.
由解得cos x=0，
当x∈[0，2π]时，x=
∴交点坐标为.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B B B B AC
题号 9 11 12 13 15
答案 C C 4π a10.
答案
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列表：
描点连线，画图如右.
16
x -2π -π 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0
2-3sin x 2 -1 2 5 2 -1 2 5 2
14.
答案
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(1)函数f(x)的图象如右：
(2)当-π≤x<0时，f(x)=cos x=
解得x=-；
当0≤x≤π时，f(x)=sin x=
解得x=或x=.
综上，x=-.
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答案
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(3)方程f(x)=a的解的个数等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数，
则由(1)中函数图象可得，
当a>1或a<-1时，解的个数为0；
当-1≤a<0或a=1时，解的个数为1；
当0≤a<1时，解的个数为3.
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16.
答案
1
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15
由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0，
得sin x+2|sin x|=|log2x|.
令f(x)=sin x+2|sin x|
=k∈Z，
g(x)=|log2x|，
在同一平面直角坐标系中，作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解.
16
基础巩固
1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
√
根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，但形状相同.
解析
答案
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2.利用“五点法”画y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象时，第三个点的坐标为
A.(0，-1) B.
C.(π，-1) D.
√
答案
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3.函数y=-cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为
A. B.(π，1) C.(0，1) D.(2π，1)
√
答案
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用五点法作出函数y=-cos x，x≥0的图象如图所示.由图知，所求最高点的坐标为(π，1).
解析
4.函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是
答案
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y=sin(-x)=-sin x与y=sin x关于x轴对称.
解析
√
5.若点在余弦曲线f(x)=cos x上，则n的值为
A. B.±
C.± D.1
√
答案
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由于点在余弦曲线f(x)=cos x上，
所以|n|=cos 即n=±.
解析
6.在[0，2π]上，函数y=的定义域是
A. B.
C. D.
√
答案
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依题意得2sin x-≥0，即sin x≥.作出y=sin x在[0，2π]上的图象及直线y=如图所示.由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是.
解析
7.(多选)下列在(0，2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是
A. B.
C. D.
答案
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√
√
答案
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在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，在(0，2π)上，当cos x=sin x时，x=或x=结合图象可知满足cos x>sin x的区间是.
解析
8.函数y=2sin(π-x)，x∈的图象与直线y=1的交点坐标为　　　　.
答案
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函数y=2sin(π-x)=2sin x，
由2sin x=1，得sin x=当x∈时，x=所以交点坐标为.
解析
9.不等式-≤cos x≤的解集是___________________________________
______________________________.
答案
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在上，直线y=-y=与函数y=cos x的图象的交点的横坐标分别为--所以满足不等式-≤cos x≤的解集为.
解析
10.利用“五点法”作函数y=2-3sin x，x∈[-2π，2π]的图象.
答案
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x -2π -π 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0
2-3sin x 2 -1 2 5 2 -1 2 5 2
列表：
描点连线，画图如右.
解
11.已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)·cos x<0的解集是
A.(0，1)∪(2，3)
B.
C.(0，1)∪
D.(0，1)∪(1，3)
√
综合运用
答案
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答案
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当00，解得0当10，由f(x)·cos x<0可得cos x<0，解得因此，不等式f(x)·cos x<0的解集为(0，1)∪.
解析
16
12.若函数f(x)=1+4sin x-t在区间上有2个零点，则t的取值范围为
A.(-3，5) B.(3，5)
C.(-3，1)∪(3，5) D.[-3，1]∪[3，5]
√
答案
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答案
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令f(x)=0，可得sin x=
则函数y=sin x与y=在区间上的图象有两个交点，
作出函数y=sin x与y=在区间
上的图象，如图所示.
则<1或-1<<0，
解得3解析
13.函数y=2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是　　.
答案
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4π
如图所示，将函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，
其面积为2π×2=4π.
解析
14.已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象；
答案
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函数f(x)的图象如下：
解
(2)若f(x)=求x的值；
答案
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15
当-π≤x<0时，f(x)=cos x=
解得x=-；
当0≤x≤π时，f(x)=sin x=
解得x=或x=.
综上，x=-.
解
16
(3)若a∈R，讨论方程f(x)=a的解的个数.
答案
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方程f(x)=a的解的个数等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数，
则由(1)中函数图象可得，
当a>1或a<-1时，解的个数为0；
当-1≤a<0或a=1时，解的个数为1；
当0≤a<1时，解的个数为3.
解
16
15.已知函数f(x)=ex+x，g(x)=ln x+x，h(x)=sin x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为　　　　.(用“<”连接)
拓广探究
答案
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a函数f(x)=ex+x，g(x)=ln x+x，h(x)=sin x+x的零点转化为y=ex，y=ln x，y=sin x与y=-x的图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出y=ex，y=ln x，
y=sin x与y=-x的图象如图所示，
由图象可知a<0，b>0，c=0，
所以a解析
答案
1
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16.求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0的解的个数.
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由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0，
得sin x+2|sin x|=|log2x|.
令f(x)=sin x+2|sin x|
=k∈Z，
g(x)=|log2x|，
在同一平面直角坐标系中，作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解.
解
第五章　§5.4　三角函数的图象与性质
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