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(共87张PPT)
单调性与最值
第2课时
第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
<<<
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.(重点)
2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题(难点).
学习目标
同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题.
导 语
一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值
二、利用单调性比较大小
课时对点练
三、求正弦函数、余弦函数的单调区间
随堂演练
内容索引
四、求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
一
你能作出正弦函数y=sin x，x∈的函数图象吗？观察图象，研究函数y=sin x，x∈的单调性与最值.
问题
提示　如图，
由图可知，区间正好是函数的一个周期，其中函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.当x=时，ymax=1，当x=-时，ymin=-1.
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 _______ _______
[-1，1]
[-1，1]
正弦函数 余弦函数
单调性 在_____________________上单调递增，在____________________ 上单调递减 在 上单调递增，在 上单调递减
最值 当x=______时，ymax=1； 当x=______时，ymin=-1 当x= 时，ymax=1；
当x= 时，ymin=-1
[-π+2kπ，2kπ]
[2kπ，π+2kπ]
+2kπ
-+2kπ
2kπ
π+2kπ
(1)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.
(2)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
注 意 点
<<<
二
利用单调性比较大小
　(课本例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin；
例 1
因为-<0，
正弦函数y=sin x在区间.
解
(2)cos.
cos，
cos.
因为0<
，
即cos.
解
　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos cos ；
例 1
cos =cos cos =cos
因为0<<π，又y=cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos >cos 即cos >cos .
解
(2)cos 1，sin 1；
因为cos 1=sin又0<-1<1<且y=sin x在上单调递增，
所以sin解
(3)sin 164°与cos 110°.
sin 164°=sin(180°-16°)=sin 16°，
cos 110°=cos(90°+20°)=-sin 20°=sin(-20°).
因为y=sin x在上单调递增，
所以sin(-20°)即cos 110°解
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
反
思
感
悟
(1)下列关系式中正确的是
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°跟踪训练1
因为sin 168°=sin 12°，cos 10°=sin 80°，所以只需比较sin 11°，
sin 12°，sin 80°的大小.因为y=sin x在上单调递增，所以sin 11°
即sin 11°解析
√
(2)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是
A.sin αC.cos αcos β
因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α+β>所以0<-β<α<
所以cos α解析
√
求正弦函数、余弦函数的单调区间
三
　(课本例5)求函数y=sin，x∈[-2π，2π]的单调递增区间.
例 2
令z=.
因为y=sin z，z∈，
得-.
所以，函数y=sin.
解
　求函数y=2sin的单调区间.
例 2
令z=x-则y=2sin z.
∵z=x-是增函数，
∴y=2sin z单调递增(减)时，
函数y=2sin也单调递增(减).
由z∈k∈Z)，
得x-k∈Z)，
解
即x∈k∈Z)，
故函数y=2sin的单调递增区间为k∈Z).
同理可求函数y=2sin的单调递减区间为
k∈Z).
解
求函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的单调区间.
延伸探究1
由例题知f(x)=2sin的单调递增区间为k∈Z，
又∵x∈[0，2π]，
∴0≤x≤≤x≤2π，
同理函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的单调递减区间为.
∴函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的单调递增区间为单调递减区间为.
解
函数y=2sin的单调递减区间为_____________________
　　 .
延伸探究2
k∈Z
y=2sin=-2sin
令z=x-求y=-sin z的单调递减区间，即求y=sin z的单调递增区间.
所以-+2kπ≤z≤+2kπ，k∈Z.
即-+2kπ≤x-+2kπ，k∈Z.
所以-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
所以函数y=2sin的单调递减区间是k∈Z.
解析
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此.
反
思
感
悟
求函数y=2cos的单调区间.
跟踪训练2
令2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z)，
即2kπ-≤2x≤2kπ+k∈Z)，
∴kπ-≤x≤kπ+k∈Z).
∴函数的单调递增区间为k∈Z).
令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，
即2kπ+≤2x≤2kπ+k∈Z)，
∴kπ+≤x≤kπ+k∈Z)，
解
∴函数的单调递减区间为k∈Z).
∴函数y=2cos的单调递增区间为k∈Z)，单调递减区间为k∈Z).
解
求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
四
　(课本例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
(1)y=cos x+1，x∈R；
例 3
容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.
使函数y=cos x+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ，k∈Z}；
使函数y=cos x+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y=cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π，k∈Z}.
函数y=cos x+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
解
(2)y=-3sin 2x，x∈R.
令z=2x，使函数y=-3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y=sin z，z∈R取得最小值的z的集合.
由2x=z=-+kπ.所以，使函数y=-3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是
同理，使函数y=-3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是
函数y=-3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3.
解
　已知函数f(x)=ω>0)的最小正周期T=π.
(1)求ω的值；
例 3
因为T==π，所以ω=±2，
又因为ω>0，所以ω=2.
解
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值.
当x∈时，-π≤2x-
所以当2x-=-
即x=-时，f(x)min=-；
当2x-
即x=时，f(x)max=.
所以f(x)在区间上的最大值为最小值为-.
解
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t=ωx+φ，转换成y=Asin x(或y=Acos x)型的函数求值.
反
思
感
悟
求函数y=cos+1，x∈的值域.
由y=cos+1，x∈
可得x+
因为函数y=cos x在区间上单调递减，
所以cos
所以函数y=cos+1，x∈的值域为.
解
跟踪训练3
1.知识清单：
(1)正弦、余弦函数的单调区间.
(2)比较三角函数值的大小.
(3)正弦、余弦函数的最值(值域).
2.方法归纳：整体代换、换元法.
3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.函数y=-cos x在区间上
A.单调递增 B.单调递减
C.先减后增 D.先增后减
√
因为y=cos x在区间上先增后减，
所以y=-cos x在区间上先减后增.
解析
1
2
3
4
2.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为
A.ymax=3，x=
B.ymax=1，x=+2kπ(k∈Z)
C.ymax=3，x=-+2kπ(k∈Z)
D.ymax=3，x=+2kπ(k∈Z)
√
∵y=2-sin x，
∴当sin x=-1时，ymax=3，
此时x=-+2kπ(k∈Z).
解析
1
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4
3.设a=sin 30°，b=cos 45°，c=sin 35°，则a，b，c三者的大小关系是
A.aC.a√
因为函数y=sin x在上单调递增，
b=cos 45°=sin 45°，
且30°<35°<45°，
所以sin 30°即a解析
1
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4
4.函数f(x)=的单调递减区间是 　　　　　　　　　　　　.
令2kπ≤2x-≤π+2kπ(k∈Z)，
得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，
即f(x)=的单调递减区间是k∈Z).
解析
k∈Z)
课时对点练
六
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C D C A BD (-π，0]
题号 9 11 12 13 15 答案 D D B D
10.
答案
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(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z)，
得≤x≤k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)，
即x=k∈Z)时，f(x)取得最小值-2.
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答案
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(1)函数f(x)的最小正周期T==π；
令+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间为k∈Z).
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(2)当x∈时，2x-
令t=2x-即t∈
画出y=2sin t的图象如图，
因为f(x)在上的值域为[-2，
所以≤2m-解得≤m≤即实数m的取值范围为.
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答案
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(1)因为f(x)=cos(2x+θ)
由y=f=cos是奇函数，
所以-+θ=-+kπ(k∈Z)，
解得θ=-+kπ(k∈Z)，
又-<θ<则θ=-.
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因为函数y=3-sin(2x+θ)-2cos2(2x+θ)=3-sin-2cos2
=2sin2-sin+1
=2
由x∈
则2x-
所以sin
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故当sin时，ymin=；
当sin=-或1时，ymax=2.
故所求函数的值域为.
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(2)因为函数f(x)=cos在区间上均单调递增，
令t=2x-
则g(t)=cos t在区间上单调递增，
故-π解得≤a≤
则实数a的取值范围为.
16
基础巩固
1.y=2sin的值域是
A.[-2，2] B.[0，2]
C.[-2，0] D.[-1，1]
√
因为sin∈[-1，1]，
所以y∈[-2，2].
解析
答案
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2.已知函数f(x)=sin在x0处取得最大值，则x0可能是
A. B. C. D.
√
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当x++2kπ，k∈Z，即x=+2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值.
解析
3.函数y=3cos的单调递减区间为
A.k∈Z
B.[2kπ，2kπ+π]，k∈Z
C.k∈Z
D.k∈Z
√
答案
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因为y=3cos=-3sin x，
且y=sin x的单调递增区间为k∈Z，
所以函数y=3cos的单调递减区间为k∈Z.
解析
4.已知函数y=sin x与y=cos x，在下列区间内同为单调递增的是
A. B.
C. D.
√
答案
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∵y=sin x的单调递增区间为k∈Z，
y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z，
结合选项，可知当k=1时为正弦函数与余弦函数的单调递增
区间的交集，
即能使函数y=sin x与函数y=cos x同时单调递增的区间是闭区
间或开区间均可).
解析
5.函数f(x)=-+1，x∈的值域为
A. B.
C. D.
√
答案
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因为x∈所以2x+则cos
故-故f(x)的值域为.
解析
6.已知函数f(x)=acos x+b的最大值为1，最小值为-3，则函数g(x)=absin x+
3的最大值为
A.5 B.-5 C.1 D.-1
√
答案
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若a>0，则
所以g(x)=-2sin x+3≤5(当sin x=-1时取等号)；
若a<0，则
所以g(x)=2sin x+3≤5(当sin x=1时取等号).
综上可知，g(x)的最大值为5.
解析
7.(多选)下列不等式中成立的是
A.sin>sin
B.cos 400°>cos
C.sin 3>sin 2
D.sin>cos
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√
√
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y=sin x在上单调递增，
又-<-
∴sincos 400°=cos 40°>cos 50°=cos(-50°)，故B成立；
y=sin x在上单调递减，
又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立；
解析
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sin=-sin
cos=-cos=-sin=-sin.
∵0<且y=sin x在上单调递增.
∴sincos故D成立.
解析
8.函数y=cos x在区间[-π，a]上单调递增，则a的取值范围是　　 　.
答案
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(-π，0]
因为y=cos x在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有-π≤0时满足条件，故a的取值范围是(-π，0].
解析
9.函数f(x)=3sin x-1，x∈的值域是　　　　.
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因为x∈所以sin x∈
所以3sin x-1∈.
故f(x)的值域为.
解析
10.已知函数f(x)=2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
答案
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令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z)，
得≤x≤k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为k∈Z).
解
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
答案
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当3x+=2kπ-π(k∈Z)，
即x=k∈Z)时，f(x)取得最小值-2.
解
11.若f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在上单调递减，则ω的值为
A.2 B. C. D.
√
综合运用
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当x=时，函数f(x)取得最大值，则sin=1，所以=2kπ+k∈Z)，所以ω=6k+k∈Z)，又ω>0，结合选项可知ω=符合题意.
解析
12.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在区间(0，1)上单调递增.若m=cos
n=cos t=cos则f(m)，f(n)，f(t)的大小关系为
A.f(m)C.f(n)√
答案
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因为n=cos =-cos t=cos=cos
由得0所以0又f(x)在区间(0，1)上单调递增，
则f(t)又函数f(x)为偶函数，故f(-n)=f(n)，
所以f(t)解析
13.定义运算a b=则函数f(x)=sin x cos x的值域为
A.(-1，1) B.
C. D.
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由题意得f(x)=sin x cos x=
因为y=sin x，y=cos x都是以2π为周期的函数，所以f(x)也是以2π为周期的函数，
取x∈由sin x≥cos x，得≤x≤
则f(x)=sin x cos x=
当x∈时，f(x)=sin x∈；
解析
答案
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当x∈时，f(x)=cos x∈
所以函数f(x)=sin x cos x的值域为.
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14.已知函数f(x)=2sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
答案
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函数f(x)的最小正周期T==π；
令+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间为k∈Z).
解
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(2)若函数f(x)在区间上的值域为[-2，求实数m的取值范围.
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当x∈时，2x-
令t=2x-即t∈
画出y=2sin t的图象如图，
因为f(x)在上的值域为[-2，
所以≤2m-解得≤m≤即实数m的取值范围为.
解
15.函数f(x)=2sing(x)=mcos-2m+3(m>0)，若对任意x1∈
存在x2∈使得g(x1)=f(x2)成立，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
拓广探究
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√
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由x∈得2x+
∴f(x)=2sin∈[1，2].
对于g(x)=mcos-2m+3(m>0)，
当x∈时，2x-
则cos
∴g(x)∈.
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∵对任意x1∈存在x2∈使得g(x1)=f(x2)成立，
∴解得1≤m≤即实数m的取值范围是.
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16.已知函数f(x)=cos(2x+θ)满足函数y=f是奇函数.
(1)求函数y=3-sin(2x+θ)-2cos2(2x+θ)，x∈的值域；
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因为f(x)=cos(2x+θ)
由y=f=cos是奇函数，
所以-+θ=-+kπ(k∈Z)，
解得θ=-+kπ(k∈Z)，
又-<θ<则θ=-.
因为函数y=3-sin(2x+θ)-2cos2(2x+θ)=3-sin-2cos2
=2sin2-sin+1=2
解
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由x∈
则2x-
所以sin
故当sin时，ymin=；
当sin=-或1时，ymax=2.
故所求函数的值域为.
解
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因为函数f(x)=cos在区间上均单调递增，
令t=2x-
则g(t)=cos t在区间上单调递增，
故-π解得≤a≤
则实数a的取值范围为.
解
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(2)函数f(x)在区间上均单调递增，求实数a的取值范围.
第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
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