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(共76张PPT)
第3课时
正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
<<<
1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质.(重点)
2.能够解决简单的函数性质的综合问题.(难点)
学习目标
同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想.
导 语
一、形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
二、正弦函数、余弦函数的对称性
课时对点练
三、函数性质的综合应用
随堂演练
内容索引
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
一
提示　开口方向、对称轴、函数的定义域.
求二次函数的最值，需要明确哪些方面？
问题1
提示　sin2α+cos2α=1.
同角三角函数的平方关系是什么？
问题2
　函数y=cos2x+2sin x-2，x∈R的值域为　　　　.
例 1
因为y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
又-1≤sin x≤1，所以-4≤y≤0，
所以函数y=cos2x+2sin x-2，x∈R的值域为[-4，0].
解析
[-4，0]
把本例中“x∈R”变为“x∈”，求函数的最大值和最小值及取得最值时x的值.
由例题解答可知y=-(sin x-1)2，
因为x∈所以≤sin x≤1，
所以当sin x=1，即x=时，ymax=0；
当sin x=即x=时，ymin=-.
解
延伸探究1
本例函数变为y=sin2x+2cos x-2，x∈R，求函数的值域.
因为y=sin2x+2cos x-2=1-cos2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2，
又-1≤cos x≤1，所以函数的值域为[-4，0].
解
延伸探究2
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sin x，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcos x+c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值.
反
思
感
悟
函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　.
由题意得f(x)=1-cos2x+cos x-令cos x=t，则t∈[0，1]，则y=-t2+t+=-+1，当t=即x=时，f(x)取得最大值1.
解析
跟踪训练1
1
二
正弦函数、余弦函数的对称性
提示　有，(kπ，0)(k∈Z).
正弦函数y=sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
问题3
提示　是轴对称图形，方程为x=+kπ(k∈Z).
正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
问题4
提示　对称轴方程是x=kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为k∈Z).
类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
问题5
　函数y=cos的图象的对称轴是直线　 　　　，对
称中心是点　 　　　.
例 2
x=k∈Z)
k∈Z)
令2x+=kπ(k∈Z)，
即x=k∈Z)，
故函数y=cos的图象的对称轴是直线
x=k∈Z).
令2x+=kπ+k∈Z)，即x=k∈Z).
故函数y=cos的图象的对称中心是点k∈Z).
解析
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想.
反
思
感
悟
求函数y=2sin的对称轴、对称中心.
y=2sin=-2sin；
令2x-+kπ，k∈Z，得x=k∈Z，
所以函数y=2sin的对称轴为直线x=k∈Z；
令2x-=kπ，k∈Z，得x=k∈Z.
所以函数y=2sin的对称中心为k∈Z.
解
跟踪训练2
函数性质的综合应用
三
(多选)函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为π，则f(x)满足
A.在上单调递增
B.当x=时有最小值-1
C.f
D.图象关于直线x=对称
例 3
√
√
∵函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为π，
∴=π，即ω=2，
∴f(x)=cos.
对于A，当x∈时，2x+
∵ (π，2π)，
∴f(x)在上单调递增，故A正确；
∵f =cos=cos π=-1，故B正确；
解析
∵f =cos=cos =-故C错误；
又f =cos=cos =0≠±1，故D错误.
解析
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
反
思
感
悟
(多选)已知函数f(x)=2sin则
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间(0，π)上有两个零点
跟踪训练3
√
√
√
f(x)的最小正周期T==π，故A正确；
∵f =2sin=2，
∴f(x)的图象关于直线x=对称，故B正确；
∵f =2sin=2sin=1，
故f(x)的图象不经过点即不是其对称中心，故C错误；
令f(x)=0(0解得x=或x=故f(x)在区间(0，π)上有两个零点，故D正确.
解析
1.知识清单：
(1)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题.
(2)正弦函数、余弦函数的对称性.
(3)函数性质的综合应用.
2.方法归纳：整体代换、换元法.
3.常见误区：二次函数求最值时需考虑自变量本身的范围，数形结合求解.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称，则φ可以是
A.- B. C.- D.
√
因为函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称，所以2×+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ-k∈Z).结合选项，当k=0时，φ=-.
解析
1
2
3
4
2.已知函数y=4cos x的定义域为值域为[a，b]，则b-a的值是
A.4 B.4-2
C.6 D.4+2
√
∵函数y=4cos x的定义域为且函数在上单调递减.∴当x=时，ymax=4cos =2，即b=2；当x=π时，ymin=4cos π=-4，即a=-4，则b-a=2-(-4)=6.
解析
1
2
3
4
3.已知直线x=和x=是曲线f(x)=sin(ωx+φ)(-π<φ≤π)的两条对称轴，且函数f(x)在上单调递减，则φ的值是
A.- B.0 C. D.π
√
因为f(x)在上单调递减，且两条对称轴为直线x=和x=所以f是最小值，直线x=0也是对称轴，所以f(0)=-1，故sin φ=-1.又-π<φ
≤π，解得φ=-.
解析
1
2
3
4
4.函数y=cos2x+sin x的最大值为　　.
因为y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x，
令t=sin x，t∈[-1，1]，
则y=-t2+t+1=-
所以当t=时，ymax=.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D D A AD 0
题号 9 11 12 13 15 答案 A C [4，+∞) ACD
10.
答案
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(1)依题意T=π，∴ω=2，
f(x)=sin(2x+φ)，
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×+φ=kπ，k∈Z，得φ=+kπ，k∈Z，
又|φ|≤∴φ=
∴f(x)=.
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(2)令-+2kπ≤2x++2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为k∈Z.
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答案
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(1)由余弦函数的单调性，令2kπ-π≤2x+≤2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x
≤-+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为k∈Z.
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答案
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15
(2)由(1)知函数f(x)=2cos的单调递增区间为k∈Z，
令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为k∈Z，
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答案
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所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，
且f=0，f=2，f =-
所以当0≤k<2时，直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点，
即当0≤k<2时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
所以实数k的取值范围为[0，2).
16
16.
答案
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(1)∵>0，∴-∴kπ-∴该函数的定义域为.
(2)由(1)知定义域关于原点对称，
又f(-x)=log3=log3
=-log3=-f(x)，
∴该函数为奇函数.
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(3)由于y=sin x的最小正周期为2π，
f(x+2π)=log3
=log3=f(x)，
即f(x)为周期函数，最小正周期T=2π.
16
基础巩固
1.函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为
A.π B.2π C.1 D.2
√
函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为函数的周期T= =2，则=1.
解析
答案
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2.下列函数中，最小正周期为4π，且图象关于点对称的函数是
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
√
答案
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若函数的最小正周期为4π，
则函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)中ω=
此时y=2sin
当x=时，y=2sin=0，
此时φ可取-.
解析
3.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是
A. B.
C. D.
√
答案
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画出y=|sin x|的图象，如图所示.
结合选项可知函数的一个单调递增区间为.
解析
4.设函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为则它的一条对称轴方程为
A.x= B.x=-
C.x= D.x=-
√
答案
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因为函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为所以解得ω=10，
所以f(x)=cos令10x-=kπ，k∈Z，得x=k∈Z，当k
=-1时，x=-.
解析
5.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值为
A.± B. C.- D.±
√
答案
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由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称，
可得2π+φ=+kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z，当|φ|取最小值时，k=1，即φ=-或k=2，即φ=故|φ|取最小值时，φ的值为±.
解析
6.对于x∈R，f(x)=sin2x+sin x-1的最小值为
A.- B.-1 C.0 D.-2
√
答案
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令sin x=t，则t∈[-1，1]，则y=t2+t-1=
所以当t=-时，y=t2+t-1取得最小值，最小值为-.
解析
7.(多选)已知函数f(x)=sin下列四个结论中，正确的有
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在上单调递增
答案
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√
√
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对于A，函数f(x)的最小正周期T==π，故A正确；
对于B，当x=时，2x-=0，又x=0不是y=sin x的对称轴，故B错误；
对于C，当x=时，2x-又不是y=sin x的对称中心，故C错误；
对于D，当x∈时，2x-
当x∈时，y=sin x单调递增，故D正确.
解析
8.函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称，设g(x)=3cos(ωx+φ)，则g=　 .
答案
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0
∵函数f(x)的图象关于直线x=对称，
∴ω+φ=+kπ，k∈Z，
则cos=0.
∴g=3cos=0.
解析
9.设函数f(x)=cosω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则f =　　，ω的最小值为　 .
1
∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴当x=时，f(x)取得最大值1.
即f =cos=1，
∴ω-=2kπ，k∈Z，∴ω=8k+k∈Z.
∵ω>0，∴当k=0时，ω取得最小值.
解析
　
答案
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10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x)；
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依题意T=π，∴ω=2，
f(x)=sin(2x+φ)，
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×+φ=kπ，k∈Z，得φ=+kπ，k∈Z，
又|φ|≤∴φ=
∴f(x)=.
解
答案
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令-+2kπ≤2x++2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为k∈Z.
解
(2)求f(x)的单调递增区间.
11.(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B. C. D.3
√
综合运用
答案
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因为所以<π，解得2<ω<3.
因为y=f(x)的图象关于点中心对称，
所以b=2，且sin=0，
所以ω+=kπ(k∈Z)，
即ω=-k(k∈Z)，
解析
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答案
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令k=4，得ω=
所以f(x)=sin+2，
所以f=sin+2=sin +2=1.
解析
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12.设函数f(x)=cos ωx(ω>0)=2则ω可以是
A. B.1 C.2 D.3
√
答案
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因为f(x)=cos ωx，则该函数的最大值为1，最小值为-1，
且=2=f(x)max-f(x)min，
所以f(x1)，f(x2)中一个为函数f(x)的最大值，一个为函数f(x)的最小值，
设函数f(x)的最小正周期为T，
则T=T=k∈N)，
即可得ω=4k+2(k∈N)，所以ω的可能取值为2.
解析
13.已知关于x的不等式cos2x-4cos x+a≥1在内恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
答案
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[4，+∞)
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由cos2x-4cos x+a≥1得a≥-cos2x+4cos x+1，
设t=cos x，
因为x∈
所以t=cos x∈[0，1]，
则a≥-t2+4t+1在t∈[0，1]上恒成立，
设f(t)=-t2+4t+1，
则二次函数f(t)的对称轴为直线t=2，
函数图象开口向下，
解析
答案
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所以函数f(t)在[0，1]上单调递增，
所以f(t)的最大值为f(1)=4，
故a≥4，即实数a的取值范围为[4，+∞).
解析
14.已知函数f(x)=2cosx∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
答案
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由余弦函数的单调性，令2kπ-π≤2x+≤2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤-+
kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为k∈Z.
解
16
(2)当x∈时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围.
答案
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由(1)知函数f(x)=2cos的单调递增区间为k∈Z，
令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为k∈Z，
解
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答案
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所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，
且f=0，f=2，f =-
所以当0≤k<2时，直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点，
即当0≤k<2时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
所以实数k的取值范围为[0，2).
解
16
15.(多选)设函数f(x)=sin2x-2sin |x|-3，则
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)的最小值是-4
D.f(x)在[-2π，2π]上有2个零点
拓广探究
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由题意，函数f(x)的定义域为R，
因为f(-x)=sin2(-x)-2sin |-x|-3=sin2x-2sin |x|-3=f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，故A正确；
因为x<0，所以f(x)=sin2x+2sin x-3=(sin x+1)2-4，
令t=sin x，在x∈上单调递增，
所以f(t)=(t+1)2-4，在(-1，+∞)上单调递增，
因为x∈所以t=sin x∈
所以f(x)在上单调递增，故B错误；
解析
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当x≥0时，f(x)=sin2x-2sin x-3=(sin x-1)2-4，
所以当sin x=1时，f(x)min=-4，
当x<0时，f(x)=sin2x+2sin x-3=(sin x+1)2-4，
所以当sin x=-1时，f(x)min=-4，
综上，f(x)min=-4，故C正确；
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当x≥0时，f(x)=sin2x-2sin x-3，
令f(x)=0，得sin2x-2sin x-3=0，
解得sin x=3(舍去)或sin x=-1，
因为x∈[0，2π]，
所以x=
即是函数f(x)在[0，2π]上的零点，
又因为f(x)是偶函数，所以-是f(x)在[-2π，0)上的零点，
所以函数f(x)在[-2π，2π]上有2个零点，故D正确.
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16.设f(x)=log3.
(1)求函数f(x)的定义域；
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∵>0，∴-∴kπ-∴该函数的定义域为.
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(2)判断函数f(x)的奇偶性；
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由(1)知定义域关于原点对称，
又f(-x)=log3=log3
=-log3=-f(x)，
∴该函数为奇函数.
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(3)试判断f(x)是否为周期函数？若是，直接写出f(x)的最小正周期.
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由于y=sin x的最小正周期为2π，
f(x+2π)=log3
=log3=f(x)，
即f(x)为周期函数，最小正周期T=2π.
解
第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
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