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(共71张PPT)
第1课时
两角差的余弦公式
第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.(重点)
2.掌握两角差的余弦公式的应用.(难点)
学习目标
观察诱导公式cos=sin α，cos(π-α)=-cos α，我们发现：它们都是特殊角k∈Z)与任意角α的差的余弦，变换后的结果都与这个任意角α的正弦或余弦有关，那么大家有没有想过把特殊角k∈Z)变成任意角β时，cos(α-β)的展开式会与哪些值有关呢？
导 语
一、两角差的余弦公式
二、给值求值
课时对点练
三、给值求角
随堂演练
内容索引
两角差的余弦公式
一
提示　P(cos α，sin α).
已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.
问题1
提示　A(1，0)，P(cos(α-β)，sin(α-β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α).连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP=A1P1.
如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P.P1，A1，P点的坐标如何表示？AP与A1P1有什么关系？
问题2
提示　由AP=A1P1，根据两点间的距离公式，得
[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2，
化简得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，
当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立.
由AP=A1P1，利用初中所学两点间的距离公式能得到什么结论？
问题3
两角差的余弦公式
cos(α-β)= ，其中α，β为任意角，简记作C(α-β).
cos αcos β+sin αsin β
(1)该公式对任意角都能成立.
(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和.
(3)公式的逆用仍然成立.
注 意 点
<<<
　(1)cos 15°的值是
A. B.
C. D.
例 1
cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.
解析
√
(2)求下列各式的值：
①cos+cos；
原式=cos+cos
=cos+sin
=cos=cos.
解
②cos 105°+sin 105°.
原式=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105°
=cos(60°-105°)=cos(-45°)=.
解
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
反
思
感
悟
求下列各式的值：
(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°)；
原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]
=cos 45°=.
解
跟踪训练1
(2)-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin 313°.
原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)
=sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47°
=sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43°
=cos(13°-43°)=cos(-30°)=.
解
二
给值求值
　(1)(课本例2)已知sin α=，β是第三象限角，求cos(α-β)的值.
例 2
由sin α=，得
cos α=-=-.
又由cos β=-，β是第三象限角，得
sin β=-=-.
所以cos(α-β)=cos αcosβ+sin αsin β
=.
解
　(1)已知cos α=α∈则cos的值为
A. B.
C. D.
例 2
因为α∈所以sin α=-
所以cos=cos αcos+sin αsin
=.
解析
√
(2)若cos(α+β)=sin(α-β)=且<α+β<2<α-β<π，求cos 2β的值.
因为cos(α+β)=且<α+β<2π，
所以sin(α+β)=-.
因为sin(α-β)=且<α-β<π，
所以cos(α-β)=-.
所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
==-1.
解
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
①α=(α+β)-β；
②β=；
③2α=(α+β)+(α-β)；
④2β=(α+β)-(α-β).
反
思
感
悟
已知α，β∈且sin α=cos(α+β)=-求cos β的值.
因为α，β∈
所以0<α+β<π，
由cos(α+β)=-得sin(α+β)=
又sin α=所以cos α=
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=.
解
跟踪训练2
给值求角
三
　已知cos α=cos(α-β)=且0<β<α<求β的值.
例 3
由cos α=0<α<得
sin α=.
由0<β<α<得0<α-β<.
又∵cos(α-β)=
∴sin(α-β)=
=.
解
∵β=α-(α-β)，
∴cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=.
∵0<β<∴β=.
解
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
反
思
感
悟
已知α，β均为锐角，且cos α=cos β=求α-β的值.
∵α，β均为锐角，
∴sin α=sin β=.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=.
又sin α∴-<α-β<0.
故α-β=-.
解
跟踪训练3
1.知识清单：
(1)两角差的余弦公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：求角时忽视角的范围.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.cos 20°等于
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°+sin 10°cos 30°
√
cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°.
解析
1
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4
2.已知sin(α+60°)=30°<α<120°，则cos α等于
A. B.-
C. D.-
√
∵30°<α<120°，∴90°<α+60°<180°，
又sin(α+60°)=∴cos(α+60°)=-
∴cos α=cos[(α+60°)-60°]=cos(α+60°)cos 60°+sin(α+60°)sin 60°
=-.
解析
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4
3.若cos 5xcos(-2x)-sin(-5x)sin 2x=0，且x∈则x=　　　.
依题意得，cos 5xcos 2x+sin 5xsin 2x=0，
则cos(5x-2x)=cos 3x=0，
∴3x=+kπ，k∈Z，
则x=k∈Z.
又x∈∴x=或x=.
解析
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4.在△ABC中，sin A=cos B=-则cos(A-B)=　　.
因为cos B=-且0所以所以sin B=且0所以cos A=
所以cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B==-.
解析
-
课时对点练
五
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A AC B BCD 2π
题号 9 11 12 13 15 答案 A B
10.
答案
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(1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为
∴sin α=sin β=
又∵α为锐角，
∴cos α=.
(2)∵β为钝角，
∴由(1)知cos β=-=-
∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-.
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14.
答案
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由α-β∈且cos(α-β)=-
得sin(α-β)=
由α+β∈且cos(α+β)=
得sin(α+β)=-
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=
=-1，
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又∵α+β∈α-β∈
∴2β∈∴2β=π，∴β=.
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由题意知tan α=2.
(1)原式=
=tan α=2.
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(2)因为α是第一象限角，且终边过点
所以sin α=cos α=
因为-<β<0，且sin β=-
所以cos β=
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=.
16
基础巩固
1.sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°的值是
A. B. C. D.
√
sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°=cos 70°cos 10°+sin 70°sin 10°=
cos(70°-10°)=cos 60°=.
解析
答案
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2.已知sin α=α∈则cos等于
A. B. C.- D.-
√
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由题意可知cos α==cos αcos+sin αsin
.
解析
3.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α，β的值是
A.α=β= B.α=β=
C.α=β= D.α=β=
√
答案
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由已知得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=经验证可知B选项正确.
解析
4.已知α，β∈且满足sin α=cos β=则α+β的值为
A. B.
C. D.
√
答案
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由α，β∈则α+β∈(0，π)，
cos α=
sin β=
则cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β
=
故α+β=.
解析
5.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ)，则φ的一个可能值是
A.- B.- C. D.
√
答案
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对比公式特征知，cos=cos(x+φ)，
所以φ=-+2kπ，k∈Z，故φ=-都合适.
解析
√
6.在平面直角坐标系中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称.若cos α=-则cos(α-β)等于
A. B.- C.1 D.
√
答案
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角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称，
则cos α=cos β=-sin α=-sin β，
且sin2α=1-cos2α=
sin αsin β=-sin2α=-
故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==-.
解析
7.(多选)已知sin α=sin(α-β)=-α，β均为锐角，则
A.cos(α-β)=-
B.cos(α-β)=
C.cos α=
D.β=
答案
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√
√
√
答案
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因为α，β均为锐角，所以0<α<0<β<所以-<α-β<
又sin(α-β)=-所以cos(α-β)=故A错误，B
正确；
又sin α=所以cos α=故C正确；
因为cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=所以β=故D正确.
解析
8.已知函数f(x)=cos x+sin x，则函数f(x)的最小正周期为　　　.
答案
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2π
f(x)=cos x+sin x=cos cos x+sinsin x=cos
故f(x)的最小正周期T=2π.
解析
9.=　　　　.
答案
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原式=
=
==cos 15°
=cos(60°-45°)=.
解析
10.如图，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边作锐角α和钝角β，其终边分别与单位圆交于A，B两点.
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为求cos α和sin β
的值；
答案
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∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为
∴sin α=sin β=
又∵α为锐角，
∴cos α=.
解
(2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值.
答案
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∵β为钝角，
∴由(1)知cos β=-=-
∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α
=-.
解
11.已知sinα∈则cos等于
A. B.-
C. D.-
√
综合运用
答案
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由α∈得α+
因为sin
所以α+
则cos=-
cos=cos=cos·cos+sin=-.
解析
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12.已知sin α-sin β=1-cos α-cos β=则cos(α-β)的值为
A. B. C. D.1
√
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因为sin α-sin β=1-
所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=. ①
又因为cos α-cos β=
所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=. ②
由①+②得，2cos(α-β)=
所以cos(α-β)=.
解析
13.在△ABC中，若tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C，且B≠C，则A=　　.
答案
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∵tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C，
∴
∴sin Asin C-sin Asin B=cos Acos B-cos Acos C，
即cos Acos C+sin Asin C=cos Acos B+sin Asin B，
∴cos(A-C)=cos(A-B).
∵A，B，C∈(0，π)，
∴-π解析
答案
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又B≠C，
∴A-C=-(A-B)，即2A=B+C，
∴2A=π-A，即A=.
解析
14.已知cos(α-β)=-cos(α+β)=且α-β∈α+β∈求β的值.
答案
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由α-β∈且cos(α-β)=-
得sin(α-β)=
由α+β∈且cos(α+β)=
得sin(α+β)=-
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)==-1，
解
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答案
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又∵α+β∈α-β∈
∴2β∈∴2β=π，∴β=.
解
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15.设f(x)=则f(1°)+f(2°)+…+f(59°)=　　　.
拓广探究
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由f(x)=
得f(x)+f(60°-x)=
==
∴f(1°)+f(2°)+…+f(59°)=29+f(30°)=29.
解析
答案
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16.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.
(1)求的值；
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由题意知tan α=2.
原式=
=tan α=2.
解
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(2)已知-<β<0，且sin β=-求cos(α-β)的值.
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因为α是第一象限角，且终边过点
所以sin α=cos α=
因为-<β<0，且sin β=-
所以cos β=
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=.
解
第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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