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第2课时
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
<<<
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦、正切公式.
2.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简、计算等.(重点)
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用和角的变换的常用方法.(难点)
学习目标
上一节我们学习了两角差的余弦公式，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式，对公式进一步拓展.
导 语
一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦、正切公式
二、给值求值
课时对点练
三、给值求角
随堂演练
内容索引
两角和的余弦公式和两角和与差的正弦、正切公式
一
提示　我们注意到α-β与α+β有联系，α+β=α-(-β)，所以我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开，即cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos α·cos(-β)+ sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式.
观察cos(α-β)和cos(α+β)之间的联系，你能利用cos(α-β)的公式推导出cos(α+β)的公式吗？
问题1
提示　sin(α+β)=cos=cos利用两角差的余弦公式展开即可.对于sin(α-β)，我们可利用sin(α-β)=sin[α+(-β)]展开即可.
你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式五(或六)，推导出两角和与差的正弦公式吗？
问题2
1.两角和的余弦公式
cos(α+β)= ，其中α，β∈R，简记作C(α+β).
2.两角和与差的正弦公式
sin(α+β)= ，其中α，β∈R，简记作S(α+β)；
sin(α-β)= ，其中α，β∈R，简记作S(α-β).
cos αcos β-sin αsin β
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
注 意 点
<<<
提示　=tan α.
同角三角函数中的商数关系是什么？
问题3
提示　tan(α+β)=
=
=.
用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).
如何用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式呢？
问题4
1.两角和的正切公式
tan(α+β)=其中α，β，α+β≠kπ+k∈Z)，简记作T(α+β).
2.两角差的正切公式
tan(α-β)=其中α，β，α-β≠kπ+k∈Z)，简记作T(α-β).
3.T(α+β)的变形：
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)；
tan αtan β=1-.
4.T(α-β)的变形：
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)；
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)
=tan(α-β)；
tan αtan β=-1.
(1)只有当α，β，α-β，α+β≠kπ+k∈Z)时，上述公式才能成立.
(2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”.
注 意 点
<<<
　 (1)cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为
A.- B.- C. D.
例 1
方法一　原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40°=-(cos 20°cos 40°- sin 20°sin 40°)=-cos 60°
=-.
方法二　原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40°
=sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40°
=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.
解析
√
(2)的值是
A. B. C.1 D.
原式=
=
=
=.
解析
√
(3)化简等于
A. B. C.3 D.1
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
解析
√
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.
反
思
感
悟
(3)利用公式T(α±β)化简求值，要分析式子结构，正确选用公式形式
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换；化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用，当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊
角的正切值去代换，如“1=tan”“=tan”，这样可以
构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
反
思
感
悟
化简求值：
(1)sin-sin；
因为
所以原式=sin-sin
=sin-cos
=sin=sin.
解
跟踪训练1
(2).
原式=
=
=
=
==2-.
解
(3)(1+tan 18°)(1+tan 27°).
∵tan 45°=tan(18°+27°)=
∴(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°
=1+tan 45°(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2.
解
二
给值求值
　(1)已知sin α=cos β=-且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α+β)，cos(α+β)的值.
例 2
因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=cos β=-所以cos α=
sin β=
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=.
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
==-.
解
(2)若tan α=tan(α+β)=则tan β=　　.
tan β=tan[(α+β)-α]=.
解析
　
给值求值的解题策略
(1)当条件中“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；当条件中只有一个“已知角”时，可利用诱导公式把所求角转化为“已知角”.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
反
思
感
悟
(1)已知sinα∈则cos α等于
A. B. C. D.
跟踪训练2
√
由α∈得α+
则cos=-=-
cos α=cos
=coscos +sinsin
=-.
解析
(2)已知cosα∈β∈则cos(α+β)=　　　.
-
因为α∈
所以-α∈
又因为cos所以sin=-.
又β∈则+β∈
又sin
所以cos
解析
则cos(α+β)=cos
=cos+sin
==-.
解析
给值求角
三
　已知锐角α，β满足sin α=cos β=则α+β=　　　.
例 3
∵α，β为锐角，sin α=cos β=
∴cos α=sin β=
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
==-.
又∵0<α+β<π，∴α+β=.
解析
　
若本例中sin α=其余条件不变，求α-β的值.
延伸探究
因为α，β均为锐角，
且sin α=cos β=
所以cos α=sin β=
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β==-.
又因为α，β均为锐角，
所以-<α-β<故α-β=-.
解
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是时，选取求正弦值.
反
思
感
悟
已知tan α=tan β=且α，β∈则2α+β的值为　.
跟踪训练3
　
因为tan α=tan β=
所以tan(α+β)=
=
则tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]
==1.
解析
因为tan α=<1，tan β=<1且α，β∈
于是有0<α<0<β<
所以0<2α+β<
因为tan(2α+β)=1，
所以2α+β=.
解析
1.知识清单：
(1)公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：构造法、转化法.
3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围、公式中加减符号易记错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.sin 105°的值为
A. B.
C. D.
√
sin 105°=sin(45°+60°)
=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°
=
=.
解析
1
2
3
4
2.cos 75°-sin 75°等于
A.- B.
C.- D.
√
cos 75°-sin 75°=cos 60°cos 75°-sin 60°·sin 75°=cos(60°+75°)
=cos 135°=-cos 45°=-.
解析
1
2
3
4
3.已知tan α=3，则tan等于
A.-3 B.3 C.-2 D.2
√
∵tan α=3，
∴tan=-2.
解析
1
2
3
4
4.计算：=　　.
原式==tan 45°=1.
解析
1
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
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6
7
8
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10
11
12
13
14
15
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B B A A -3
题号 9 11 12 13 答案 -1 C CD
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
∵tan β=-tan(α-β)=
∴tan α=tan[(α-β)+β]
=
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
==1.
10.
答案
1
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5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
∵tan α=>0，tan β=-<0，
∴α∈β∈∴α-β∈(-π，0).
又∵tan(α-β)=>0，
∴α-β∈2α-β=α+(α-β)∈(-π，0).
又tan(2α-β)=1，∴2α-β=-.
14.
答案
1
2
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14
15
(1)由AB
得cos α=sin α=cos β=-sin β=
则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
==-.
14.
答案
1
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14
15
(2)由已知得cos 2α=cos(α+α)
=cos αcos α-sin αsin α=-
sin 2α=sin(α+α)
=sin αcos α+cos αsin α=.
因为cos 2α<0，α∈所以2α∈.
因为β∈所以2α-β∈
14.
答案
1
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14
15
则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β
==-
所以2α-β=-.
15.
答案
1
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14
15
(1)d(A，B)=
cos(A，B)=
故余弦距离为1-cos(A，B)=.
15.
答案
1
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14
15
(2)cos(M，N)=
=sin αsin β+cos αcos β=；
cos(M，Q)=
=sin αsin β-cos αcos β=
故sin αsin β=cos αcos β=-
则tan αtan β==-3.
15.
答案
1
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3
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14
15
(3)因为=5，
=5，
所以cos(E，P)==cos β=.
因为0<β<
所以sin β=.
15.
答案
1
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15
因为=13，
所以cos(E，F)==cos(α-β)=.
因为0<α<β<则-<α-β<0，
所以sin(α-β)=-=-.
因为cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=
所以sin α=所以E(3，4).
15.
答案
1
2
3
4
5
6
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15
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
所以P.
因为
所以E，P之间的曼哈顿距离是.
基础巩固
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于
A.- B. C.- D.
√
sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°
=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.
解析
答案
1
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4
5
6
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2.若tan 28°·tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°等于
A.m B.1-m)
C.m-1) D.m+1)
√
答案
1
2
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4
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15
∵28°+32°=60°，
∴tan 60°=tan(28°+32°)=
∴tan 28°+tan 32°=1-m).
解析
3.已知cos=-α为锐角)，则sin α等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
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答案
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15
∵cos=-α为锐角)，
∴sin.
∴sin α=sin
=
=.
解析
4.在△ABC中，sin Asin BA.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
√
答案
1
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15
∵在△ABC中，sin Asin B∴cos(A+B)>0，∴cos C<0，
则C为钝角，故△ABC是钝角三角形.
解析
5.若α+β=则(1-tan α)·(1-tan β)等于
A. B.2 C.1+ D.不确定
√
答案
1
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15
∵α+β=
∴tan(α+β)==-1，
∴tan α+tan β=tan α·tan β-1，
∴(1-tan α)(1-tan β)
=1-(tan α+tan β)+tan α·tan β
=1-(tan α·tan β-1)+tan α·tan β=2.
解析
6.函数f(x)=sin+sin则f(x)的奇偶性为
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
√
答案
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15
f(x)=sin+sinsin x+cos x+sin x-cos x=sin x.
故f(x)为奇函数.
解析
7.化简的值为
A. B.1 C. D.
答案
1
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15
√
由两角和的正弦公式得sin 81°=sin =sin 30°cos 51°+
cos 30°sin 51°=cos 51°+sin 51°，
且由诱导公式得cos 39°=cos(90°-51°)=sin 51°，
故=
=.
解析
8.设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的根，则tan(α+β)的值为　　　.
答案
1
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-3
由题意知tan α+tan β=3，tan α·tan β=2，
所以tan(α+β)==-3.
解析
9.形如的式子叫做行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式 的值是　　.
答案
1
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-1
sin 15°-cos 15°
=2=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)=-1.
解析
10.已知tan(α-β)=tan β=-α，β∈(0，π)，求2α-β的值.
答案
1
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答案
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15
∵tan β=-tan(α-β)=
∴tan α=tan[(α-β)+β]
=
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
==1.
∵tan α=>0，tan β=-<0，
∴α∈β∈∴α-β∈(-π，0).
解
答案
1
2
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15
又∵tan(α-β)=>0，
∴α-β∈2α-β=α+(α-β)∈(-π，0).
又tan(2α-β)=1，∴2α-β=-.
解
11.已知α∈且满足sin=-则sin等于
A. B. C. D.
√
综合运用
答案
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答案
1
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15
因为α∈所以-α∈.
又sin=-
所以cos
所以sin=sin
=sin -cos .
解析
12.(多选)在△ABC中，C=120°，tan A+tan B=下列各式中正确的是
A.A+B=2C B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B D.cos B=sin A
√
答案
1
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15
√
∵C=120°，
∴A+B=60°，∴2(A+B)=C，
∴tan(A+B)=∴选项A，B错误；
∵tan A+tan B=1-tan Atan B)=
∴tan Atan B= ①
又tan A+tan B= ②
∴联立①②解得tan A=tan B=
∴cos B=sin A，故选项C，D正确.
解析
答案
1
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15
13.已知α，β，γ都是锐角，且tan α=tan β=tan γ=则α+β+γ=　　.
答案
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15
　
∵tan(α+β)=∴tan(α+β+γ)=
==1，
∵α，β，γ∈∴α+β∈(0，π)，
又tan(α+β)=>0，∴α+β∈
∴α+β+γ∈(0，π)，∴α+β+γ=.
解析
14.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α，β的终边
与单位圆分别交于AB两点.
(1)求cos(α+β)的值；
答案
1
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15
由AB
得cos α=sin α=cos β=-sin β=
则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β==-.
解
(2)若α∈β∈求2α-β的值.
答案
1
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答案
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15
由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=-
sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=.
因为cos 2α<0，α∈所以2α∈.
因为β∈所以2α-β∈
则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β==-
所以2α-β=-.
解
15.人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则曼哈顿距离为d(A，B)=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦相似
度为cos(A，B)=余弦距离为1-cos(A，B).
(1)若A(-1，2)，B求A，B之间的曼哈顿距离d(A，B)和余弦距离；
拓广探究
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d(A，B)=
cos(A，B)=
故余弦距离为1-cos(A，B)=.
解
cos(M，N)=
=sin αsin β+cos αcos β=；
cos(M，Q)=
=sin αsin β-cos αcos β=
故sin αsin β=cos αcos β=-
则tan αtan β==-3.
解
(2)已知M(sin α，cos α)，N(sin β，cos β)，Q(sin β，-cos β)，若cos(M，N)
=cos(M，Q)=求tan αtan β的值；
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(3)已知0<α<β答案
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因为=5，
=5，
所以cos(E，P)==cos β=.
因为0<β<
所以sin β=.
因为=13，
所以cos(E，F)==cos(α-β)=.
解
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因为0<α<β<则-<α-β<0，
所以sin(α-β)=-=-.
因为cos α=cos(α-β+β)
=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=
所以sin α=
所以E(3，4).
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=所以P.
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因为
所以E，P之间的曼哈顿距离是.
解
第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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