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第1课时
简单的三角恒等变换(一)
第五章　5.5.2　简单的三角恒等变换
<<<
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点)
3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点)
学习目标
同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.
导 语
一、半角公式
二、和差化积、积化和差
课时对点练
三、三角函数式的化简、证明
随堂演练
内容索引
半角公式
一
提示　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
余弦的二倍角展开有几种形式？请写出.
问题1
提示　cos α=cos2-sin2
=2cos2-1
=1-2sin2.
我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”，你会得到什么式子？
问题2
半角公式
sin=__________
cos=__________
tan=___________.
±
±
±
(1)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号.
(2)涉及半角公式的正切值时，常用tan其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题.
注 意 点
<<<
　已知|cos θ|=且<θ<3π，求sintan的值.
例 1
∵|cos θ|=<θ<3π，
∴cos θ=-.
∴sin=-=-
cos=-=-
∴tan=2.
解
若条件变为“θ为第二象限角，tan θ=-且sin延伸探究
∵θ为第二象限角，且sin∴为第三象限角，故sin <0，cos<0.
∵tan θ=-∴cos θ=-.
∴sin=-=-
cos=-=-
∴tan=2.
解
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2
cos2计算.
(4)下结论：结合(2)求值.
反
思
感
悟
二
和差化积、积化和差
1.积化和差
sin αcos β=___________________；
cos αsin β=___________________；
cos αcos β=___________________；
sin αsin β=____________________.
sin(α+β)+sin(α-β)]
sin(α+β)-sin(α-β)]
cos(α+β)+cos(α-β)]
-cos(α+β)-cos(α-β)]
2.和差化积
sin θ+sin φ=_______________；
sin θ-sin φ=_______________；
cos θ+cos φ=______________；
cos θ-cos φ=_______________.
2sin
2cos
2cos
-2sin
　求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.
例 2
方法一　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=1-cos 40°)+1+cos 100°)+sin 70°+sin(-30°)]
=cos 100°-cos 40°+sin 70°)
=-2sin 70°sin 30°+sin 70°)
=-sin 70°+sin 70°)
=.
解
方法二　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°)
=1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°)
=1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10°
=1-cos 40°)+cos 50°cos 10°
=1-cos 40°)+cos 60°+cos 40°)
=.
解
方法三　令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°，
B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°.
则A+B=2+sin 70°，
A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°)
=-sin 70°-
两式相加得2A=即A=
故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=.
解
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想.
反
思
感
悟
求下列各式的值：
(1)cos 29°cos 31°-cos 2°；
cos 29°cos 31°-cos 2°
=cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2°
=cos 60°+cos(-2°)-cos 2°
=.
解
跟踪训练1
(2)cos+cos-2sin.
cos+cos-2sin
=2cos ·cos
=2cos
=
=0.
解
三角函数式的化简、证明
三
　(1)化简：π<α<2π).
例 3
原式=
==.
又∵π<α<2π，∴<π，
∴cos<0，
∴原式==cos α.
解
(2)求证：.
方法一　左边=
==右边，
所以原等式成立.
方法二　左边=
==右边，
所以原等式成立.
证明
(1)化简问题中的“三变”
①变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.
②变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.
③变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等.
(2)三角恒等式证明的思路
通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一，或者消除等式两端的差异，达到形式上的统一.
反
思
感
悟
化简：2.
原式=2
=2
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
由于π<4<
∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4+cos 4<0，
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
解
跟踪训练2
1.知识清单：
(1)半角公式.
(2)积化和差、和差化积.
(3)三角函数式的化简、证明.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：半角公式符号的判断.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知cos α=-<α<π，则sin等于
A.- B.
C.- D.
√
由<α<π可知故sin.
解析
1
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3
4
2.已知cos θ=--180°<θ<-90°，则cos等于
A.- B. C.- D.
√
由-180°<θ<-90°可知-90°<<-45°，故cos .
解析
1
2
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4
3.化简的结果是
A.-cos 1 B.cos 1
C.cos 1 D.-cos 1
√
原式=因为0<1<故原式=cos 1.
解析
1
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4
4.化简：=　　　　.
原式==tan.
解析
tan
课时对点练
五
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B D A BCD
题号 9 11 12 13 15 答案 D AC
10.
答案
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因为π<α<所以
所以cos<0，sin>0，
所以原式=
=
=-=-cos .
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答案
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左边=
=
=.
右边=
所以左边=右边，即等式成立.
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在锐角△ABC中，有A+B+C=π，则
则tan =tan
又tan
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则左边=tan +tan tan
=tan tan +tan tan
=tan +tan tan
=1-tan tan +tan tan =1=右边.故原式成立.
16
基础巩固
1.已知sin α=cos α=则tan等于
A.2- B.2+
C.-2 D.±-2)
√
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方法一　因为sin α=cos α=
所以tan-2.
方法二　因为sin α=>0，cos α=>0，
所以α的终边落在第一象限的终边落在第一或第三象限，所以tan>0，
故tan-2.
解析
答案
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2.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=则有
A.cC.a√
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a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°，b=2sin 13°·
cos 13°=sin 26°，c=sin 25°，∵y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增，∴a解析
3.若θ∈sin 2θ=则sin θ等于
A. B. C. D.
√
答案
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∵θ∈∴2θ∈
∴cos 2θ=-sin θ=.
解析
4.sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°的值为
A.- B. C. D.-
√
答案
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sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°
=+
=sin 90°-sin 50°)+cos 40°-cos 60°)
=sin 50°+cos 40°
=sin 50°+sin 50°=.
解析
5.设-3π<α<-化简的结果是
A.sin+cos B.-cos-sin
C.cos-sin D.sin-cos
√
答案
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∵-3π<α<-
∴-<-.
∴sin>0，cos<0，
=
==sin-cos.
解析
6.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cos Acos B的取值范围是
A. B.(0，1) C. D.
√
答案
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直角三角形中两锐角分别为A和B，则A+B=则cos Acos B=cos(A-B)
+cos(A+B)]=cos(A-B)，再结合A-B∈可得cos(A-B)∈(0，1]，
∴cos(A-B)∈.
解析
7.(多选)已知sin α=-180°<α<270°，则下列选项正确的是
A.sin 2α=- B.sin
C.cos=- D.tan=-2
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√
√
√
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因为sin α=-180°<α<270°，
所以cos α=-
所以sin 2α=2sin αcos α=2×故A错误；
因为90°<<135°，
所以sin
cos =-=-=-tan=-2，故B，C，D均正确.
解析
8.在△ABC中，sin则tan=　　　　.
答案
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2-
因为在△ABC中，sin
所以cos A=且A为锐角，
所以tan=2-.
解析
9.计算：tan 20°+4sin 20°=　　.
答案
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原式=+4sin 20°
=
=
=.
解析
10.化简：+.
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因为π<α<所以
所以cos<0，sin>0，
所以原式=
=
=-=-cos .
解
11.已知α∈(0，π)，且=-则tan 等于
A.- B. C. D.
√
综合运用
答案
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由题意可得=-故tan α=-3，
即=-3，又故tan 负值舍去).
解析
12.(多选)已知cos(α+β)=-cos 2α=-其中α，β为锐角，下列判断正确的是
A.sin 2α=
B.cos(α-β)=
C.cos αcos β=
D.tan αtan β=
√
答案
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因为cos(α+β)=-cos 2α=-其中α，β为锐角，所以sin(α+β)=
sin 2α=故A正确；
cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=
故B错误；
cos αcos β=cos(α+β)+cos(α-β)]=故C正确；
解析
答案
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sin αsin β=cos(α-β)-cos(α+β)]=所以tan αtan β
=故D错误.
解析
13.已知tan θ=θ∈则等于　　　.
答案
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=2cos
因为tan θ=所以θ∈
解得
又cos
所以2cos .
解析
答案
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14.证明：=.
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左边=
=
=.
右边=
所以左边=右边，即等式成立.
证明
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15.已知sin α+sin β=cos α+cos β=则tan(α+β)的值为　　.
拓广探究
答案
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由sin α+sin β=cos α+cos β=得，
2sin2cos
两式相除得，tan则
tan(α+β)=.
解析
答案
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16.在锐角△ABC中，求证：tan tan +tan tan +tan tan =1.
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答案
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在锐角△ABC中，有A+B+C=π，则
则tan =tan
又tan
证明
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则左边=tan +tan tan
=tan tan +tan tan
=tan +tan tan
=1-tan tan +tan tan =1=右边.故原式成立.
证明
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第五章　5.5.2　简单的三角恒等变换
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