资源简介

(共86张PPT)
第1课时
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第五章　§5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
<<<
1.理解y=Asin(ωx+φ)中φ，ω，A对图象的影响.
2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.(重点)
3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.(难点)
学习目标
如图是观光缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置.此时∠xOP0=φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt+φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=Asin(ωt+φ).
导 语
这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？
一、φ对y=sin(x+φ)图象的影响
二、ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响
课时对点练
三、A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响
随堂演练
内容索引
四、y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
五、“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
φ对y=sin(x+φ)图象的影响
一
提示　y=sin的图象可以看作是把正弦函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的.
观察y=sin x和y=sin的函数图象，你有什么发现？
问题1
φ对函数y=sin(x+φ)，x∈R图象的影响
左
右
　函数y=sin的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
例 1
函数y=sin的图象可以看作是把曲线y=sin x上的所有点向右平移个单位长度而得到的.
解
函数y=sin x的图象可以看作是由y=sin的图象经过怎样的变换而得到的？
函数y=sin x的图象可以看作是由y=sin上的所有点向左平移个单位长度而得到的.
解
延伸探究1
函数y=sin的图象可以看作是由y=sin(-x)的图象经过怎样的变换而得到的？
因为y=sin=sin故是由y=sin(-x)的图象向右平移个单位长度得到的.
解
延伸探究2
求函数y=sin 2x向右平移个单位长度后的函数解析式.
函数y=sin 2x向右平移个单位长度可得
y=sin 2即y=sin.
解
延伸探究3
由函数y=sin的图象经过怎么样的变换，可以得到y=
cos x的图象？
因为y=sin=cos=cos=cos故只需将函数y=sin的图象向左平移个单位长度即可得到y=cos x的图象.
解
延伸探究4
对于平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从
ωx→ωx+φ的平移量为个单位长度.
反
思
感
悟
二
ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响
提示　由图象我们可以看到，从y=sin x到y=sinx，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，y=sinx的图象可以看作是把正弦曲线y=sin x
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.
作出函数y=sin x与y=sinx的图象并说明两者之间有什么关系？
问题2
提示　y=sin的图象可以看作是把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)而得到的.
借助多媒体，在同一坐标系下画出y=sin和y=sin
的函数图象如图所示，结合问题2，你能得到什么？
问题3
ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
缩短
伸长
　为了得到y=sinx∈R的图象，只需把y=sin的图象上所有点的
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变
例 2
√
ω=4>1，因此只需把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变.
解析
在研究 ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响时，由y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y=sin(ωx+φ)的图象.
反
思
感
悟
为了得到y=cos x，x∈R的图象，只需把余弦曲线y=cos x上所有点的
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变
跟踪训练1
√
把y=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，即可得到y=cos x，x∈R的图象.
解析
三
A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响
提示　可以发现对于同一x值，y=3sin的图象上的点的纵坐标总是等于y=sin的图象上对应点的纵坐标的3倍.
借助多媒体，在同一坐标系下画出
y=sin和y=3sin的
图象，如图所示，你能发现什么？
问题4
A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
缩短
伸长
　函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标
　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　 倍，将会得到函数y= 3sin的图象.
例 3
A=3>1，故函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y=3sin的图象.
解析
伸长
3
在研究A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响时，由y=sin(ωx
+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
反
思
感
悟
为了得到函数y=cos x的图象，只需把余弦曲线y=cos x上所有点的
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的横坐标不变
将y=cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变，即可得到y=cos x的图象.
解
跟踪训练2
√
四
y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
提示　有两种变换方式：
(1)y=sin x y=sin
y=sin
y=2sin；
函数y=sin x可以通过怎样的图象变换过程得到函数y=2sin的图象呢？
问题5
(2)y=sin x y=sin 2x
y=sin
y=2sin.
平移变换与伸缩变换没有先后顺序，但是两种变换下的平移的单位长度不一致.
由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图.
(1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响.
(2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩.
注 意 点
<<<
　由y=3sin x的图象变换得到y=3sin的图象主要有两种方式：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移　　个单位长度，后者
需向左平移　　 　　个单位长度.(答案不唯一，写出一个符合条
件的即可)
例 4
　
(答案不唯一)
y=3sin x的图象 y=3sin的图象
y=3sin的图象.
y=3sin x的图象 y=3sinx的图象
y=3sin=3sin的图象.
解析
先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混淆而导致错误.弄清平移对象是减少错误的关键.
反
思
感
悟
(多选)下列四种变换方式中能将函数y=cos x的图象变为函数y= cos的图象的是
A.向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变
B.向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
C.将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
D.将每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
跟踪训练3
√
√
y=cos=cos
将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度，得到y=cos的图象，
再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到y=cos的图象，故A正确；
将函数y=cos x的图象向左平移个单位长度，得到y=cos的图象，
再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=cos的图象，故B错误；
解析
将函数y=cos x的图象上每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到y=cos 2x的图象，
再向右平移个单位长度，得到y=cos的图象，故C正确；
将函数y=cos x的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到y=cosx的图象，
再向左平移个单位长度，得到y=cos的图象，故D错误.
解析
五
“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
提示　(0，0)π，0)2π，0).
用“五点法”作函数y=sin x的图象时，找哪五个关键点？
问题6
　(课本例1)画出函数y=2sin的简图.
例 5
先画出函数y=sin x的图象；再把正弦曲线向右平移
解
的图象，如图所示.
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
下面用“五点法”画函数y=2sin内的图象.
令X=3x-，则x=.列表，描点画图.
解
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
令X=3x+则x=列表如下：
描点连线，画图如右.
解
　用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的简图.
例 5
本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？
延伸探究5
π 2π
x 0
y 1 2 0 -2 0 1
因为x∈所以3x+
列表如下：
描点连线，画图如右.
解
“五点法”作图的实质
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
第一步：列表.
反
思
感
悟
ωx+φ 0 π 2π
x
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值，然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)平移变换.
(2)伸缩变换.
(3)图象的画法.
2.方法归纳：五点法、数形结合法.
3.常见误区：忽视先平移和先伸缩作图时平移的量不一样.
随堂演练
六
1
2
3
4
1.为了得到函数y=2sin的图象，只需把函数y=2sin x的图象
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
√
y=2sin x的图象向左平移个单位长度，可得到y=2sin的图象.
解析
1
2
3
4
2.将函数y=sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图象的解析式为
A.y=3sin 2x B.y=2sin 3x
C.y=3sinx D.y=x
√
将函数y=sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sinx的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y=3sinx的图象.
解析
1
2
3
4
3.把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，然后把所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是
A.y=2sinx∈R
B.y=2sinx∈R
C.y=2sinx∈R
D.y=x∈R
√
1
2
3
4
将y=sin x图象上的所有的点向左平移个单位长度得到y=sin的图象.再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得
到y=sin的图象，把所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是y=2sin.
解析
1
2
3
4
4.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时，其五点的坐标分别为则
A=　　，周期T=　 .
由题知A=T==π.
解析
　
π
课时对点练
七
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A D A AC AD
题号 9 11 12 14 答案 A 0 D
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
列表如下：
描点连线，图象如图.
0 π
x 0 π
f(x) 1 0 -1 0
13.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)列表如下：
描点连线，图象如图所示.
0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 -1 0
13.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)令-+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是k∈Z.
(3)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，即可得到f(x)的图象.
基础巩固
1.将函数y=sin图象上各点的横坐标进行怎样的变换，可以得到y=sin的图象
A.伸长到原来的2倍 B.伸长到原来的
C.缩短到原来的 D.缩短到原来的2倍
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
函数y=2sin的最小正周期为π，所以将函数y=2sin的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=2sin=2sin的图象.
解析
3.要得到函数y=3sin的图象，只需将y=3sin 2x的图象
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
y=3sin=3sin 2故要得到函数y=3sin的图象，
只需将y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度.
解析
4.将函数f(x)=sin x图象上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为
A.g(x)=sin B.g(x)=sin
C.g(x)=sin D.g(x)=sin
√
将f(x)=sin x图象上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到y=sin 2x
的图象，再向左平移个单位长度后得到g(x)=sin 2=sin的图象.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
y=sin 2x的图象 y=sin 2=sin=
-sin(π-2x)=-sin 2x的图象.
因为-sin(-2x)=sin 2x，且x∈R，
所以所得图象对应的函数是奇函数.
解析
6.(多选)要得到y=3cos的图象，需要将函数y=3cos的图象
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于A，将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度，
得到y=3cos=3cos的图象，故A正确；
对于B，将函数y=3cos的图象向左平移个单位长度，
得到y=3cos=3cos
=3cos 2x的图象，故B错误；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于C，将函数y=3cos的图象向左平移个单位长度，
得到y=3cos=3cos=3cos =3cos的图象，故C正确；
对于D，将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度，
得到y=3cos=3cos 2x的图象，故D错误.
解析
7.(多选)已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin则下面结论正确的是
A.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原
来的纵坐标不变)，得到曲线C2
B.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原
来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线C2
C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，再把得到的曲线向
左平移个单位长度，得到曲线C2
D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，再把得到的曲线向
左平移个单位长度，得到曲线C2
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
y=sin=sin=cos所以将曲线C1：y=cos x向左平移个单位长度，得到y=cos的图象，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，得到曲线C2：y=cos；
或将曲线C1：y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，得到y=
cos 2x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到曲线C2：y=cos 2=cos.
解析
8.若将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sin(4x+φ)(0 <φ<π)的图象，则φ的值为　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
　
将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为y=sin 4=sin
所以φ的值为.
解析
9.把函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的曲线和y=2sin x的图象相同，则函数y=f(x)的解析式为　　　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
f(x)=-cos 2x
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
把y=2sin x的图象向右平移个单位长度，可得y=2sin的图象，然后把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，可得y= 2sin的图象，再将所得图象上各点的纵坐标缩小为原来的横坐标不变，可得y==-cos 2x的图象，所以f(x)的解析式为f(x)=-cos 2x.
解析
10.已知函数f(x)=cos在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0 π
x 0 π
f(x) 1 0 -1 0
列表如下：
描点连线，图象如图.
解
11.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意，y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y=cos x+1；再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y=cos(x+1)+1；最后向下平移1个单位长度，所得图
象的解析式为y=cos(x+1)，显然点在此函数图象上.
解析
12.将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f =　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为y=sin再向右平移个单位长度得到图象的解析式为y=sin=sin 2x，即f(x)=sin 2x，则f =sin π=0.
解析
0
13.已知函数f(x)=sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 -1 0
列表如下：
描点连线，图象如图所示.
解
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
令-+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是k∈Z.
解
(3)试问f(x)是由g(x)=sin x经过怎样的变换得到？
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，即可得到f(x)的图象.
解
14.已知函数f(x)=sin x，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
(ω>0)得到.若函数g(x)在上恰有5个零点，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
拓广探究
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度，得到y=sin的图象，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的ω>0)，得到g(x)=sin的图象.
若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，
则ωx-所以4π<ωπ-≤5π，得<ω≤.
故ω的取值范围是.
解析
第五章　§5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
<<<

展开更多......

收起↑