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(共98张PPT)
第2课时
函数y=Asin(ωx+φ)的性质
第五章　§5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
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1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.(重点)
2.结合三角恒等变换中的有关公式，研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.(重点)
3.构建三角函数模型，解决实际问题.
学习目标
上一节我们学习了y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象.今天我们进一步学习y= Asin(ωx+φ)的性质.
导 语
一、已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
二、利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题
课时对点练
三、函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
随堂演练
内容索引
一
已知图象求函数y= Asin(ωx+φ)的解析式
　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，求此函数的解析式.
例 1
方法一　由图象知A=3，T==π，
∴ω==2，∴y=3sin(2x+φ).
∵点在函数图象上，
∴-×2+φ=0+2kπ，k∈Z，
∴φ=+2kπ，k∈Z，
又|φ|<∴φ=∴y=3sin.
解
方法二　由图象知A=3.
∵图象过点
由“五点法”得k∈Z，
解得
∴y=3sin.
解
确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A=B =；
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω=；
(3)求φ，常用方法有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
反
思
感
悟
已知函数y=sin的部分图象如图所示，则
A.ω=1，φ= B.ω=1，φ=-
C.ω=2，φ= D.ω=2，φ=-
跟踪训练1
√
依题意得T==4×=π，
所以ω=2.
又sin=sin=1，
所以+φ=+2kπ，k∈Z，
所以φ=-+2kπ，k∈Z，
由|φ|<得φ=-.
解析
二
利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题
　(课本例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开
例 2
启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
如图所示，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
设t=0 min时，游客甲位于点P(0，-55)，以OP为终边的角为-
根据摩天轮转一周大约需要30 min，
可知座舱转动的角速度约为 rad/min,
由题意可得+65，0≤t≤30.
解
(2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度；
当t=5时，H=55sin+65=37.5.
所以，游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m.
解
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
如图所示，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB=
经过t min后甲距离地面的高度为H1=
点B相对于点A始终落后
此时乙距离地面的高度为H2=+65.
则甲、乙距离地面的高度差
h=|H1-H2|=55
=55，
解
利用sin θ+sin φ=2sin ，可得
h=110，0≤t≤30.
当
≈7.2.
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m.
解
　建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温y(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，该曲线近似地满足函数关系y=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<π).
(1)求函数y=f(t)的解析式；
例 2
由题图知，T=2(14-2)=24，
所以T==24，解得ω=.
由图知，b==24，A==8，
所以f(t)=8sin+24.
将点(2，16)代入函数解析式得，
8sin+24=16，
得+φ=2kπ-k∈Z)，
解
即φ=2kπ-k∈Z)，
又因为|φ|<π，得φ=-.
所以f(t)=8sin+24(0≤t≤24).
解
(2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
依题意，令8sin+24>28，
可得sin
所以2kπ+t-<2kπ+k∈Z)，
解得24k+10令k=0，得10故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.
解
解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
反
思
感
悟
一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮以60秒每圈的速度逆时针匀速转动，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的一个函数解析式为(注：在水面下，则h为负数)
A.h=2sin+1(t≥0)
B.h=2sin+1(t≥0)
C.h=2sin+1(t≥0)
D.h=2sin+1(t≥0)
跟踪训练2
√
设点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的一个函数解析式为
h=Asin(ωt+φ)+B.
由可得由T==60，可得ω=
由t=0时h=0，可得2sin φ+1=0，
则sin φ=-又|φ|<
则φ=-
则点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的一个函数解析式为h=2sin+1(t≥0).
解析
函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
三
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的有关性质
y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0) 定义域 R
值域 [-A，A]
周期性 T=___
对称性
奇偶性
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
(1)两条相邻对称轴之间间隔为个周期.
(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值.
注 意 点
<<<
　已知函数f(x)=sin-4sin2ωx+2(ω>0)，其图象与x轴的两个相邻交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
例 3
f(x)=sin-4sin2ωx+2
=sin 2ωx-cos 2ωx-4×+2
=sin 2ωx+cos 2ωx
=
∵∴T=π，∴T==π，解得ω=1，
∴f(x)=.
解
(2)若将f(x)的图象向左平移m个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点求当m取得最小值时，g(x)在上的单调区间.
将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象，
∴g(x)=
∵函数g(x)的图象经过点
∴=0，
即sin=0，
∴2m-=kπ，k∈Z，∴m=k∈Z，
∵m>0，∴当k=0时，m取得最小值
此时，g(x)=.
解
令-≤x≤则≤2x+
当≤2x+≤2x+
即-≤x≤-≤x≤时，函数g(x)单调递增；
当≤2x+即-≤x≤时，函数g(x)单调递减，
∴g(x)在上的单调递增区间为；单调递减区间为.
解
对于综合性问题，需要掌握之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点.
反
思
感
悟
已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为.
(1)求ω的值；
跟踪训练3
f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-
=sin 2ωx+
=sin 2ωx+cos 2ωx=sin
因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为.
所以函数y=f(x)的最小正周期T=π，
所以T==π，解得ω=1.
解
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)-k在区间上存在零点，求实数k的取值范围.
由(1)得f(x)=sin将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后，
得到y=sin=cos 2x的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=cos x的图象，
故g(x)=cos x，因为x∈
当x=时，函数g(x)取得最小值g=-；
当x=0时，函数g(x)取得最大值g(0)=1，
解
故g(x)∈.
因为函数y=g(x)-k在区间上存在零点，所以k=g(x)有解，
所以实数k的取值范围为.
解
1.知识清单：
(1)由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
(2)构造三角函数模型解决实际问题.
(3)三角函数的综合应用.
2.方法归纳：特殊点法、数形结合法.
3.常见误区：易忽视实际问题中自变量的取值范围.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω等于
A.5 B.4
C.3 D.2
√
由题图可知x0+-x0=∴T=
∴∴ω=4.
解析
1
2
3
4
2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f则f 等于
A.3或0 B.-3或0
C.0 D.-3或3
√
由f =f得，直线x=是函数图象的对称轴，所以f =±3.
解析
1
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3
4
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象的解析式为
A.y=sin 2x
B.y=cos 2x
C.y=sin
D.y=sin
√
1
2
3
4
由图象得A=1，T=2=π，
∴ω==2，∴f(x)=sin(2x+φ).
∵点在函数y=f(x)的图象上，
∴sin=1，∴+φ=2kπ+k∈Z，
∴φ=2kπ+k∈Z，
又|φ|<∴φ=
∴f(x)=sin.
解析
1
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4
将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的解析式为y =sin=sin.
解析
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4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y= Acosx-6)+B(x=1，2，…，12)来表示.已知6月份的平均气温为30 ℃，12月份的平均气温为20 ℃，则10月份的平均气温为　　　　℃.
22.5
1
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4
由函数y=Acosx-6)+B，
因为6月份的平均气温为30 ℃，12月份的平均气温为20 ℃，
可得解得
所以函数y=5cosx-6)+25，
令x=10，可得y=5cos10-6)+25=22.5，
故10月份的平均气温为22.5 ℃.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A C B B AC
题号 9 11 12 13 15 答案 A ABC BCD
10.
答案
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(1)由图象得
解得=2π，∴T=4π，∴ω=
由f =6，得+φ=2kπ+k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，
又|φ|<∴φ=
综上，f(x)=4sin+2.
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答案
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(2)根据题意可得g(x)=4sin+2，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+k∈Z，得函数g(x)的单调递增区间为k∈Z.
令2x+=kπ，k∈Z，得x=k∈Z，
∴函数g(x)的对称中心为k∈Z.
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答案
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(1)由题意，得风机的角速度ω= rad/s，当t=0时，h=60.
解得
∴h(t)=40sin+100.
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答案
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(2)令h(t)≥80，0≤t≤5，
则h(t)=40sin+100≥80，
即cost≤
∴t≤
解得≤t≤
∴.
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答案
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∴当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，
在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为 s.
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答案
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(1)因为OC=10BC=10，∠OCB=
所以∠BOC=OB==20，
则OA=20，∠BOA=
的长度为l=×20=
所以广告带的总长度为OA+OC+BC+l=30+10米).
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答案
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(2)如图，连接OF.设∠FOA=θ.
因为OF=20，所以FI=GH=20sin θ，OI=20cos θ，
因为∠AOD=
所以OG==20sin θ，
所以GI=OI-OG=20cos θ-20sin θ，
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答案
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所以S=GI·FI=(20cos θ-20sin θ)·20sin θ
=400sin θcos θ-400sin2θ
=200[sin 2θ-1-cos 2θ)]
=200
因为θ∈
所以2θ+
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答案
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当2θ+即θ=时，S取得最大值.
所以S≤200×(2-)=400-200
所以促销展示区的面积S的最大值为(400-200)平方米.
16
基础巩固
1.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)=2sin其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度为
A.2 m B. m C. m D.1 m
√
当t=12时，f(12)=2sin=2sin=1，即12点时潮水的高度是1 m.
解析
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2.将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位长度，得到的函数的一个对称中心是
A. B. C. D.
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将函数y=sin的图象按照条件变换后得到y=sin 2x的图象.令2x= kπ(k∈Z)，则x=k∈Z)，当k=1时，x=则所得函数的一个对称中心是.
解析
3.将函数f(x)=sinω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)是偶函数，则ω的最小值是
A. B. C. D.
√
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由题意g(x)=f =sinω>0)是偶函数，
所以-ω=+kπ，k∈Z，解得ω=--2k，k∈Z，
又ω>0，所以当且仅当k=-1时，ωmin=.
解析
4.若将f(x)=sin+1的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值为
A.+1 B.
C.+1 D.2
√
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由题意得g(x)=f =sin+1，
因为x∈所以2x+所以g(x)min=+1.
解析
5.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，AB则f(x)的解析式为
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=-2sin
D.f(x)=-2sin
√
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由题意可知f(x)的周期T满足=2，得T=4，
即=4，得ω=
所以f(x)=2sin
因为点B是f(x)图象上的一个点，
所以f=2sin=2，
sin=1，
解析
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则+φ=+2kπ，k∈Z，φ=+2kπ，k∈Z，
又0<φ<
所以φ=
所以f(x)=2sin.
解析
6.(2024·北京)设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1，f(x2)=1，且|x1-x2|的最小值为则ω等于
A.1 B.2 C.3 D.4
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因为f(x)=sin ωx∈[-1，1]，
且f(x1)=-1，f(x2)=1，|x1-x2|min=
所以f(x)的最小正周期T=2×=π，
所以ω==2.
解析
7.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是
A.f(x)的最小正周期是2π
B.f(x)的图象关于直线x=-对称
C.f(x)在上单调递减
D.该函数的图象可由y=2cos x的图象向左平移个单位长度得到
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观察图象可得函数f(x)=Asin的最小值为-2，故A=2.
设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知T=则T=2π，故ω=1，故A
正确；
由f=-2可得-2=2sin又|φ|<
所以φ=所以f(x)=2sin
因为-≠kπ+故B错误；
解析
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由2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z，可得2kπ+≤x≤2kπ+k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为k∈Z)，
取k=-1知，函数f(x)在上单调递减，
故C正确；
将y=2cos x的图象向左平移个单位长度后得到y=2cos=2sin=2sin的图象，故D错误.
解析
8.若f(x)=cos是奇函数，则φ=　　.
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由题意可知+φ=+kπ，k∈Z，
即φ=+kπ，k∈Z.
又|φ|<故当k=0时，φ=.
解析
9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)=　　　.
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由图象可得A=周期为4×=π，所以ω=2，将代入得2×+φ=2kπ+k∈Z，即φ=2kπ+k∈Z，所以f(0)=sin φ= .
解析
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示.
(1)求出函数f(x)的解析式；
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由图象得
解得=2π，∴T=4π，∴ω=
由f =6，得+φ=2kπ+k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，
又|φ|<∴φ=
综上，f(x)=4sin+2.
解
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变)，得
到函数y=g(x)的图象，求出函数y=g(x)的单调递增区间及对称中心.
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根据题意可得g(x)=4sin+2，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+k∈Z，
得函数g(x)的单调递增区间为k∈Z.
令2x+=kπ，k∈Z，得x=k∈Z，
∴函数g(x)的对称中心为k∈Z.
解
11.将函数f(x)=2cos的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则曲线y=g(x)与直线y=的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
A. B. C. D.π
√
综合运用
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函数f(x)=2cos的图象向左平移个单位长度，
得到函数g(x)的图象，则g(x)=2cos=2cos
令2cos即cos
则2x-=2k1π+k1∈Z，或2x-=2k2π-k2∈Z，
即x=k1π+k1∈Z，或x=k2π，k2∈Z，
可得x=……或x=…0，π，2π，…，
故相邻交点距离的最小值为.
解析
16
12.(多选)将函数f(x)=sin x-cos x的图象上各点的横坐标缩短到原来的得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是
A.函数g(x)的最小正周期为π
B.函数g(x)的图象关于直线x=k∈Z对称
C.函数g(x)在区间上单调递增
D.若x∈则g(x)的值域为
√
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f(x)=sin x-cos x=2sin则将其图象上各点的横坐标缩短到原来的可得g(x)=2sin的图象，
对于A，g(x)的最小正周期为=π，所以A正确；
对于B，由2x-+kπ，k∈Z，得x=k∈Z，所以函数g(x)的图象关于直线x=k∈Z对称，所以B正确；
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对于C，当x∈时，2x-因为y=sin x在上单调递增，所以g(x)在区间上单调递增，所以C正确；
对于D，由x∈得2x-所以sin所以2sin则g(x)的值域为所以D错误.
解析
13.如图，A，B和C，D分别为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<0)图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为2π，AD与x轴的交点坐标为则f =　　.
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因为四边形ABCD的面积为2π，且AB=T=T为f(x)的最小正周期)，
CD=2T=梯形ABCD的高为2，所以×2=2π，解得ω=3，
即f(x)=sin(3x+φ).
由题意得f(x)的图象过点
即3×+φ=2kπ(k∈Z)，
即φ=2kπ+k∈Z).
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又-π<φ<0，所以φ=-
故f(x)=sin.
故f=sin=sin =-.
解析
14.风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电.如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间
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的夹角均为现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5 s旋转一圈.风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t s后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<π).
(1)求函数h(t)的解析式；
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由题意，得风机的角速度ω= rad/s，当t=0时，h=60.
解得
∴h(t)=40sin+100.
解
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(2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长.
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令h(t)≥80，0≤t≤5，
则h(t)=40sin+100≥80，
即cost≤
∴t≤
解得≤t≤
∴.
∴当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，
在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为 s.
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15.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是
A.函数f(x)在上单调递减
B.函数f(x)的最小正周期是π
C.函数f(x)的图象向左平移个单位长
度后关于直线x=对称
D.若圆C的半径为则函数f(x)的解析式为f(x)=
拓广探究
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由图知点C的横坐标为
所以f(x)的最小正周期T=2=π，故B正确；
所以ω==2，又f =0，0<φ<π，
由“五点法”可得2×+φ=0，
所以φ=
因此f(x)=Asin
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由x∈
可得2x+
所以函数f(x)在上不单调，故A错误；
函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y=Asin=
Acos 2x的图象，由2x=kπ，k∈Z，得x=k∈Z，
故所得函数图象关于直线x=对称，故C正确；
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若圆C的半径为
则A=
所以A=
函数f(x)的解析式为f(x)=故D正确.
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16.某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB=∠COA=OC=10米，BC=10米，区域OBC为三角形，区域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD=.
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(1)若需在区域OABC外轮廓地面上贴广告带，求广告带的总长度；
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因为OC=10BC=10，∠OCB=
所以∠BOC=OB==20，
则OA=20，∠BOA=
的长度为l=×20=
所以广告带的总长度为OA+OC+BC+l=30+10米).
解
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(2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值.
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如图，连接OF.设∠FOA=θ.
因为OF=20，所以FI=GH=20sin θ，OI=20cos θ，
因为∠AOD=
所以OG==20sin θ，
所以GI=OI-OG=20cos θ-20sin θ，
所以S=GI·FI=(20cos θ-20sin θ)·20sin θ
=400sin θcos θ-400sin2θ=200[sin 2θ-1-cos 2θ)]
=200
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因为θ∈
所以2θ+
当2θ+即θ=时，S取得最大值.
所以S≤200×(2-)=400-200
所以促销展示区的面积S的最大值为(400-200)平方米.
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第五章　§5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
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