资源简介

(共76张PPT)
§1.1
集合的概念
第一章　集合与常用逻辑用语
<<<
1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题.(重点)
2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.(重点)
3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(重难点)
学习目标
在日常生活中，同学们经常听到“集合”一词.比如体育课上，体育老师常常在开始的时候说“集合”，现代汉语解释为“许多分散的人或物聚集在一起”.在我们数学课上也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子.
导 语
一、元素与集合的概念
二、元素和集合之间的关系
课时对点练
三、集合的表示
随堂演练
内容索引
元素与集合的概念
一
提示　以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等.
下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？
(1)1~10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有的正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根.
问题1
提示　都能构成集合.
(1)中的元素是：2，4，6，8，10；
(2)中的元素是：立德中学今年入学的每一位高一学生；
(3)中的元素是：正方形；
(4)中的元素是：到直线l的距离等于定长d的点；
(5)中的元素是：1，2.
问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？
问题2
1.元素：一般地，我们把研究对象统称为 .元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
2.集合：把一些元素组成的总体叫做 (简称为 ).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
3.集合中元素的特征： ， ， .
4.集合相等：只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集合是相等的.
确定的
元素
集合
集
互异性
无序的
一样的
集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关.
注 意 点
<<<
　(1)下列说法中正确的是
A.与定点A，B等距离的点不能构成集合
B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则
△ABC不可能是等腰三角形
D.高中学生中的游泳能手能构成集合
√
例 1
A不正确，与定点A，B等距离的点在线段AB的垂直平分线上，能构成集合；
B不正确，由“title”中的字母构成的集合中的元素为t，i，l，e，共4个；
C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；
D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合.
解析
(2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　.
由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1.
解析
a≠±1
在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=　　　.
由题意得a2=4，a=±2，符合题意.
解析
±2
延伸探究
(1)判断元素是否能够构成集合，主要是看集合中的元素是否满足确定性、互异性、无序性.
(2)若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
反
思
感
悟
二
元素和集合之间的关系
1.元素和集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 ______ a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 ______ a不属于集合A
2.常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ___ 或N+ ___ ___ R
a∈A
a A
N
N*
Z
Q
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写.
(2)0属于自然数集.
注 意 点
<<<
　(1)(多选)下列所给关系正确的是
A.π∈R B. Q
C.0∈N* D.|-5| N*
√
例 2
√
对于选项A，π是实数，所以π∈R正确；
对于选项B是无理数，所以 Q正确；
对于选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误；
对于选项D，|-5|=5为正整数，所以|-5| N*错误.
解析
(2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，则实数a=　　　　.
因为-3∈A，
所以解得a=0或a=-1.
解析
0或-1
判断元素和集合关系的方法
(1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
反
思
感
悟
集合的表示
三
角度1　列举法表示集合
提示　这是用自然语言表示的集合；太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.
用A表示“地球上的四大洋”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？请把集合A中的所有元素逐一列举出来.
问题3
列举法——把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做 .
一一列举
列举法
(1)元素间用“，”隔开.
(2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序.
(3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.
(4)这里，集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼.
注 意 点
<<<
(课本例1)用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
例 3
设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
解
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.
设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}.
解
用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
例 3
不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A={0，2，4，6，8，10}.
解
(2)小于8的质数组成的集合B；
小于8的质数有2，3，5，7，
所以B={2，3，5，7}.
解
(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C；
方程2x2-x-3=0的实数根为-1所以C=.
解
(4)方程组的解组成的集合D.
解方程组所以D={(3，2)}.
解
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来.
反
思
感
悟
角度2　描述法表示集合
提示　不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}.
不等式x-7<3的解集能用列举法表示吗？为什么？
问题4
提示　{x∈Z|x=2k，k∈Z}.
阅读课本，请仿照上面的例子表示出偶数集.
问题5
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法.
{x∈A|P(x)}
(1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性.
(2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(3)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的.
注 意 点
<<<
(课本例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A；
例 4
设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0.
因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0有两个实数根
}.
解
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
解
用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x-3<1的解集组成的集合A；
例 4
不等式2x-3<1的解集组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设x∈A，则x满足2x-3<1，则A={x|2x-3<1}，
即A={x|x<2}.
解
(2)B={2，4，6，8，10}；
设x∈B，则x=2n，n∈Z，且2≤x≤10，
所以x=2n，n≤5，n∈N*.
所以B={x|x=2n，n≤5，n∈N*}.
解
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.
平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为C={(x，y)|x<0，y>0}.
解
(4)方程+|x-2y-4|=0的解集.
由题意可得，2x+y-3和x-2y-4需同时为0.
解集用描述法可以表示为
解集用列举法可以表示为(2，-1).
解
用描述法表示集合的三个步骤
(1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示.
(2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围.
(3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
反
思
感
悟
选择适当方法表示下列集合：
(1)由小于8的所有自然数组成的集合A；
列举法A={0，1，2，3，4，5，6，7}，
描述法A={x∈N|x<8}.
解
(2)自然数的平方组成的集合B；
描述法B={x|x=n2，n∈N}.
解
跟踪训练
(3)方程组的解组成的集合C；
列举法C={(2，1)}，
描述法C=.
解
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D.
描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}.
解
1.知识清单：
(1)元素与集合的概念.
(2)元素与集合的关系.
(3)常用数集的记法.
(4)集合表示方法：列举法和描述法.
2.方法归纳：直接法、推理法、分类讨论.
3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略对互异性的判断；列举法与描述法的乱用.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有
A.接近于1的所有正整数 B.小于0的实数
C.(2 025，1)与(1，2 025) D.未来世界的高科技产品
√
√
A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；
B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；
C中，(2 025，1)与(1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；
D中，未来世界的高科技产品标准不明确，不能构成一个集合.
解析
1
2
3
4
2.由大于-3且小于11的奇数所组成的集合是
A.{x|-3B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-3√
由题意可知，满足题设条件的只有D.
解析
1
2
3
4
3.用列举法表示集合D={(x，y)|y=-x2+8，x∈N，y∈N}为_______________
　　　　　.
{(0，8)，(1，7)，
(2，4)}
1
2
3
4
4.若由a1组成的集合A与由a2，a+b，0组成的集合B相等，则a2 026+
b2 026的值为　　.
由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，
所以=0，所以b=0，
所以a2=1，即a=±1，
又当a=1时，集合A，B均不满足集合中元素的互异性，舍去，
所以a=-1.
所以a2 026+b2 026=1.
解析
1
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 ACD D B C B D BD -1　0
题号 9 11 12 13 15 16 答案 {k|k<1且k≠0} D CD 2 3 ACD
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(1)用列举法可表示为{1，2，3，4，5，6}.
(2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.
(3)用描述法可表示为{x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}.
(4)用描述法可表示为{x|x>8}.
16
14.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(1)由题意知，若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以=-1∈A.
因为-1∈A，所以∈A.
因为∈A，所以=2∈A.
所以若2∈A，则A中必还有另外两个元素，为-1.
16
14.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)若A为单元素集，
则a=
即a2-a+1=0，Δ=1-4=-3<0，方程无实数解.
所以a≠所以集合A不可能是单元素集.
16
基础巩固
1.(多选)下面给出的四类对象中，能构成集合的是
A.2025年参加“两会”的代表
B.长寿的人
C.小于π的所有整数
D.倒数等于它本身的数
√
A，C，D中的元素是确定的.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
2.集合{(x，y)|y=2x-2}表示
A.方程y=2x-2
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本题中的集合是点集，其表示一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合.
解析
3.下列元素与集合的关系中，正确的是
A.-1∈N B.0∈Z
C.0. Q D. ∈Q
√
因为-1不是自然数，所以A不正确；
因为0是整数，所以B正确；
因为0.是有理数，所以C不正确；
因为是无理数，不是有理数，所以D不正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.下列说法中，正确的为
A.集合{x|4B.{(x，y)|x+y=0}={x|x+y=0}
C.{x|x2-4x+4=0}={y|y=2}
D.集合{(2，2)}不满足元素的互异性
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由于集合{x|4集合{(x，y)|x+y=0}是点集，集合{x|x+y=0}是数集，两个集合的元素不相同，故B错误；
{x|x2-4x+4=0}={2}={y|y=2}，故C正确；
集合{(2，2)}只有一个元素(2，2)，符合集合的互异性，故D错误.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.设A是关于x的方程x2+ax+4=0的解集，且2∈A，则实数a的值为
A.-5 B.-4
C.4 D.5
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为2∈A，所以22+2a+4=0，解得a=-4.
解析
6.已知A={a-2，2a2+5a，12}，且-3∈A，则由a的值构成的集合是
A.- B.
C.{-1} D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∵-3∈A，A={a-2，2a2+5a，12}，
∴
解得a=-.
故由a的值构成的集合是.
解析
16
7.(多选)下列集合中表示同一个集合的是
A.M={(3，2)}，N={(2，3)}
B.M={2，3}，N={3，2}
C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}
D.M={x|x>2}，N={t|t>2}
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；
选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，故集合M与N不是同一个集合；
选项D中的集合M与N是同一个集合；
对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合.
解析
16
8.设集合A中含有1，a，b三个元素，集合B中含有a，a2，ab三个元素，若A=B，则实数a=　　，b=　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
-1
0
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由题意，得1∈B且a≠1，a≠0，
∴ ①
或 ②
由a≠1，解①得
解②得与a≠1矛盾，
∴a=-1，b=0.
解析
16
9.若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素，则实数k的取值范围为_______
　　　　.
若集合A中有2个元素，则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根，
即∴k<1且k≠0.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
{k|k<1
且k≠0}
10.用适当的方法表示下列集合：
(1)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
用列举法可表示为{1，2，3，4，5，6}.
解
(2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合；
由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.
解
(3)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
用描述法可表示为{x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}.
解
(4)不等式x-2>6的解集；
用描述法可表示为{x|x>8}.
解
11.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；
因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；
因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；
因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误.
解析
16
12.(多选)已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中的元素的是
A.(1，2) B.(3，4) C.(5，4) D.(3，2)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
因为B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)，因为C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，所以集合C中的元素有(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4).
解析
13.由实数x，-x，|x|-所组成的集合，最多含　　个元素.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当x>0时，x=|x|=-=-x<0，此时集合中共有2个元素；当x=0时，x=|x|==-=-x=0，此时集合中共有1个元素；当x<0时=|x|=
-=-x>0，此时集合中共有2个元素.综上，此集合最多有2个元素.
解析
2
14.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且
a≠0).求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由题意知，若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以=-1∈A.
因为-1∈A，所以∈A.
因为∈A，所以=2∈A.
所以若2∈A，则A中必还有另外两个元素，为-1.
证明
16
(2)集合A不可能是单元素集.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
若A为单元素集，则a=
即a2-a+1=0，Δ=1-4=-3<0，方程无实数解.
所以a≠所以集合A不可能是单元素集.
证明
16
15.已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　.
拓广探究
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，则M中的元素共3个.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16.(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，下列四个结论中正确的是
A.2 025∈[0]
B.-3∈[3]
C.若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0]
D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”
√
√
16
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
对于A，因为2 025=405×5，所以2 025∈[0]，故A正确；
对于B，因为-3=5×(-1)+2，所以-3∈[2]，故B错误；
对于C，若a与b属于同一“类”，则a=5n1+k，b=5n2+k，a-b=5(n1-n2)∈
[0](其中n1，n2∈Z)，故C正确；
对于D，若a-b∈[0]，设a-b=5n，n∈Z，即a=5n+b，n∈Z，不妨令b=5m+k，m∈Z，k=0，1，2，3，4，则a=5m+5n+k=5(m+n)+k，m∈Z，n∈Z，所以a与b属于同一“类”，故D正确.
解析
16
第一章　集合与常用逻辑用语
<<<

展开更多......

收起↑