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(共65张PPT)
第2课时
全集、补集及综合运用
第一章　§1.3　集合的基本运算
<<<
1.了解全集的含义及其符号表示.
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点)
3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点)
学习目标
在研究问题时，我们经常需要确定研究问题的范围，比如方程(x-2)(x2-3)=0，在有理数范围内，解集为{2}；在实数范围内，解集为{2-}.那么我们在研究集合问题时，如果在不同的范围内研究，是不是可能会得到不同的结果呢？
导 语
一、全集与补集
二、交、并、补集的综合运算
课时对点练
三、利用集合间的关系求参数范围
随堂演练
内容索引
全集与补集
一
提示　集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B= ，A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系.
若U={2-}，A={2}，B={-}，集合U与集合A，B之间有什么关系？
问题
1.全集
定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 元素，那么就称这个集合为______
记法 ___
所有
全集
U
定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A 全集U的补集，简称为集合A的补集，记作______
符号语言 UA=________________
图形语言
2.补集
不属于
相对于
UA
{x|x∈U，且x A}
性质 (1) UA U；
(2) UU= ， U =U；
(3) U( UA)= ；
(4)A∪( UA)= ；A∩( UA)=

A
U
(1)“全集”不是固定不变的，是可以随着具体问题的改变而改变的.
(2)补集是集合的一种运算，求集合A的补集时需要首先明确全集，且保证集合A是全集U的子集，当全集U不同时，得到的A的补集也不同，因此补集和全集是相互依存、不可分割的.
(3) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
注 意 点
<<<
　(课本例5)设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求 UA， UB.
例 1
根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA={4，5，6，7，8}， UB={1，2，7，8}.
解
　(1)设U={x|x是小于7的自然数}，A={2，3，4}，B={1，5，6}，求 UA， UB.
例 1
根据题意可知，U={0，1，2，3，4，5，6}，所以 UA={0，1，5，6}， UB={0，2，3，4}.
解
(2)已知A=R，B={x|0由题意可知 AB={x|x≤0或x>5}.
解
若把例1(2)中的“A=R”改为“A={x|0≤x<9}”，求 AB.
延伸探究1
由题意可知 AB={x|x=0或5解
两种求补集的方法
(1)若所给的集合是用列举法表示的，则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集，也可以采用Venn图求解.
(2)若所给的集合是用描述法表示的，我们需要明确该集合具体表示的是什么，如果是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍.
反
思
感
悟
(1)若集合A={x|-1≤x<1}，当U={x|x≤2}时， UA=_________
　　　　　，当U={x|-4≤x≤1}时， UA=　　　 　.
跟踪训练1
{x|x<-1或
1≤x≤2}
{x|-4≤x<-1或x=1}
当U={x|x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示.
由图知 UA={x|x<-1或1≤x≤2}.
当U={x|-4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示.
由图知 UA={x|-4≤x<-1或x=1}.
解析
(2)(多选)已知U为全集，若A∩B=A，则
A.A B B.B A
C.( UA) ( UB) D.( UB) ( UA)
√
因为A∩B=A，所以A B，故A正确，B错误；
所以( UB) ( UA)，故C错误，D正确.
解析
√
二
交、并、补集的综合运算
　若在例1(2)的条件中增加“C={x|-1≤x<3}”，求：
(1)( AB)∩( AC)；
例 2
由数轴(图略)可得
AB={x|x≤0或x>5}， AC={x|x<-1或x≥3}，
B∪C={x|-1≤x≤5}，B∩C={x|0( AB)∩( AC)={x|x<-1或x>5}.
解
(2) A(B∪C)；
A(B∪C)={x|x<-1或x>5}.
解
(3) A(B∩C)；
A(B∩C)={x|x≤0或x≥3}.
解
(4)( AB)∪( AC).
( AB)∪( AC)={x|x≤0或x≥3}.
解
(1)进行集合的交、并、补运算时，要首先明确题目中包含哪些运算，再依据各自的定义，并结合集合的表示形式，选择用Venn图法或数轴法来求解.
(2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算.
(3)从上面的例题我们可以得到以下两个结论：①( AB)∩( AC)=
A(B∪C)，② A(B∩C)=( AB)∪( AC)，同学们可以用Venn图验证上面的结论.
反
思
感
悟
(1)设全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，则( UA)∩B等于
A.{6} B.{5，8}
C.{6，8} D.{3，5，6，8}
跟踪训练2
∵ UA={3，5，8}，∴( UA)∩B={5，8}.
解析
√
(2)(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
√
由题意可得M∪N={x|x<2}，
则 U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确；
UM={x|x≥1}，
则N∪ UM={x|x>-1}，故B错误；
M∩N={x|-1则 U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误；
UN={x|x≤-1或x≥2}，
则M∪ UN={x|x<1或x≥2}，故D错误.
解析
利用集合间的关系求参数范围
三
已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1例 3
因为A={x|x≤-2或x≥3}，
所以 UA={x|-2因为( UA)∩B=B，
所以B ( UA).
①当B= 时，即2m+1≥m+7，
所以m≥6，满足( UA)∩B=B.
②当B≠ 时，则无解.
故实数m的取值范围是{m|m≥6}.
解
若把本例的条件“( UA)∩B=B”改为“( UA)∪B=B”，则实
数m的取值范围为　　　　　　　 　.
延伸探究2
因为( UA)∪B=B，
所以( UA) B，
所以
解得-4≤m≤-
故实数m的取值范围为.
解析
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)全集与补集及性质.
(2)交、并、补集的综合运算.
(3)利用集合间的关系求参数范围.
2.方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论.
3.常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.设全集U={x|x是小于5的非负整数}，A={2，4}，则 UA等于
A.{1，3} B.{1，3，5}
C.{0，1，3} D.{0，1，3，5}
√
1
2
3
4
2.设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为
A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3}
C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2}
√
由题图可知，阴影部分表示的集合为 U(M∪N)，
∵M∪N={x|x<-2或x≥1}，
∴ U(M∪N)={x|-2≤x<1}.
解析
1
2
3
4
3.已知全集U={-1，1，3}，集合A={a+2，a2+2}，且 UA={-1}，则a的值是
A.-1 B.1 C.3 D.±1
√
由已知A={1，3}，
又∵a2+2>1，∴a2+2=3且a+2=1，∴a=-1.
解析
1
2
3
4
4.已知U={x|x>0}，A={x|2≤x<6}，则 UA= 　　　　　　　　.
{x|0如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知， UA={x|0解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D C A ACD {1，2，5} 题号 9 11 12 13 15
答案 C AD D
对一对
答案
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10.
答案
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14
15
(1)∵A={x|3≤x<7}，B={x|2∴A∩B={x|3≤x<7}.
(2)∵全集为R，A={x|3≤x<7}，∴ RA={x|x<3或x≥7}.
(3)∵A∪B={x|216
14.
答案
1
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6
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(1)当a=1时，A={x|1B={x|0≤x≤2}，所以A∪B={x|0≤x≤2}.
(2)若选①A∩B= ，则a+1≤0或a≥2，
解得a≤-1或a≥2.
若选②( RB)∩A= ， RB={x|x<0或x>2}，
所以解得0≤a≤1.
16
14.
答案
1
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15
若选③B∪( RA)=R， RA={x|x≤a或x≥a+1}，
所以解得0≤a≤1.
16
16.
答案
1
2
3
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5
6
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15
(1)∵集合A中恰有一个元素，
∴Δ=16-4a=0，解得a=4.
(2)∵( UA)∩B={2}，
∴2∈B，则4+2b-2=0，解得b=-1.
∵( UB)∩A={-3}，
∴-3∈A，则9-12+a=0，解得a=3.
则A={x|x2+4x+3=0}={-1，-3}，
16
16.
答案
1
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15
B={x|x2-x-2=0}={-1，2}，
检验可知( UA)∩B={2}，( UB)∩A={-3}成立.
∴A∪B={-3，-1，2}.
16
基础巩固
1.已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则 AB等于
A.{x|x是菱形}
B.{x|x是内角都不是直角的菱形}
C.{x|x是正方形}
D.{x|x是邻边都不相等的矩形}
√
答案
1
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由集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则 AB={x|x是内角都不是直角的菱形}.
解析
2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B=则 A(A∩B)等于
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
√
答案
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因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，
所以B={1，4，9，16，25，81}，
则A∩B={1，4，9}， A(A∩B)={2，3，5}.
解析
3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则( RS)∪T等于
A.{x|-2C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}
√
因为S={x|x>-2}，所以 RS={x|x≤-2}，又T={x|-4≤x≤1}，所以( RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.
解析
答案
1
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4.已知全集U=R，集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|-2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为
A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}
C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3}
√
答案
1
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由题意得，阴影部分所表示的集合为( UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤
3}={x|-1≤x≤3}.
解析
5.设集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，若 UM={1，2}，则实数p的值为
A.-6 B.-12 C.12 D.6
√
答案
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由于集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}， UM={1，2}，
故M={3，4}，即x2-7x+p=0的两实根为3，4，
故p=3×4=12.
解析
6.已知M，N均为实数集R的子集，且N∩( RM)= ，则M∪N等于
A.M B.N C.R D.
√
答案
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∵N∩( RM)= ，∴N M，∴M∪N=M.
解析
7.(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是
A.若A∩B= ，则( UA)∪( UB)=U
B.若A∩B= ，则A= 或B=
C.若A∪B=U，则( UA)∩( UB)=
D.若A∪B= ，则A=B=
答案
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√
√
√
答案
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因为A∩B= ，( UA)∪( UB)= U(A∩B)= U =U，故A正确；
A∩B= ，例如A={1，2}，B={3，4}，A∩B= ，但A≠ 且B≠ ，故B错误；
A∪B=U，( UA)∩( UB)= U(A∪B)= UU= ，故C正确；
A∪B= ，则A，B都是 ，故D正确.
解析
8.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则 U(A∩B)=　　　　 　.
答案
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{1，2，5}
A∩B={3，4}，所以 U(A∩B)={1，2，5}.
解析
9.已知全集U=R，集合A={x|x<-1}，B={x|2a数a的取值范围为　　　　　 .
由题意得 RA={x|x≥-1}.①若B= ，则a+3≤2a，即a≥3，满足B RA；
②若B≠ ，则由B RA，得2a≥-1且2a综上，实数a的取值范围为.
解析
答案
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10.设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2求：(1)A∩B；
答案
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∵A={x|3≤x<7}，B={x|2∴A∩B={x|3≤x<7}.
解
(2) RA；
∵全集为R，A={x|3≤x<7}，∴ RA={x|x<3或x≥7}.
解
(3) R(A∪B).
答案
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∵A∪B={x|2解
11.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A.62% B.56%
C.46% D.42%
√
综合运用
答案
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答案
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设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，
用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，
则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%.
解析
12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T={2}，( US)∩T={4}，( US)∩( UT)={1，5}，则有
A.3∈S B.3∈ US C.3∈T D.3∈ UT
答案
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√
√
因为S∩T={2}，所以2∈S，且2∈T，又( US)∩T={4}，所以4 S，4∈T，又( US)∩( UT)={1，5}，所以 U(S∪T)={1，5}，所以1，5 (S∪T)，3∈
(S∪T)，3 (S∩T)，若3∈T，则3 S，3∈( US)∩T，与( US)∩T={4}矛盾，所以3∈S，3 T，3∈ UT.
解析
13.已知集合S={x|0={x|8答案
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答案
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当B= 时，2a-1≤a，得a≤1，
此时 SB=S，( SB)∩A=S∩A={x|8当B≠ 时，2a-1>a，得a>1，
因为S={x|0所以 SB={x|0因为( SB)∩A={x|8所以2a-1≤8，得a≤
所以当B≠ 时，1综上所述，实数a的取值范围是.
解析
14.已知集合A={x|a(1)若a=1，求A∪B；
答案
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当a=1时，A={x|1B={x|0≤x≤2}，所以A∪B={x|0≤x≤2}.
解
(2)在①A∩B= ，②( RB)∩A= ，③B∪( RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.
答案
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若选①A∩B= ，则a+1≤0或a≥2，解得a≤-1或a≥2.
若选②( RB)∩A= ， RB={x|x<0或x>2}，
所以解得0≤a≤1.
若选③B∪( RA)=R， RA={x|x≤a或x≥a+1}，
所以解得0≤a≤1.
解
15.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U=A∪B，D=
( UA)∪( UB)，card(U)=m，card(D)=n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于
A.mn B.m+n C.n-m D.m-n
拓广探究
答案
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√
card(A∩B)=card(A∪B)-card(D)=card(U)-card(D)=m-n.
解析
答案
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16.设全集U=R，集合A={x|x2+4x+a=0}，B={x|x2+bx-2=0}.
(1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；
16
∵集合A中恰有一个元素，
∴Δ=16-4a=0，解得a=4.
解
答案
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(2)若( UA)∩B={2}，( UB)∩A={-3}，求A∪B.
16
∵( UA)∩B={2}，
∴2∈B，则4+2b-2=0，解得b=-1.
∵( UB)∩A={-3}，
∴-3∈A，则9-12+a=0，解得a=3.
则A={x|x2+4x+3=0}={-1，-3}，B={x|x2-x-2=0}={-1，2}，
检验可知( UA)∩B={2}，( UB)∩A={-3}成立.
∴A∪B={-3，-1，2}.
解
第一章　§1.3　集合的基本运算
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