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(共61张PPT)
1.4.1
充分条件与必要条件
第一章　§1.4　充分条件与必要条件
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1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)
2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点)
学习目标
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系.
导 语
一、充分条件与必要条件
二、充分条件与必要条件的应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
充分条件与必要条件
一
提示　在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题.
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(3)若x2-4x+3=0，则x=1；
(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.
问题
充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件
q不是p的 条件
定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_________ 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_________
充分
必要
充分
必要
充分条件
必要条件
(1)p q，有方向，条件在前，结论在后.
(2)若p q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件.
(3)充分、必要条件可以不唯一.
注 意 点
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　(1)(课本例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
例 1
这是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件.
解
②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件.
解
③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
这是一条菱形的性质定理，p q，所以p是q的充分条件.
解
④若x2=1，则x=1；
由于(-1)2=1，但-1≠1，p q，所以p不是q的充分条件.
解
⑤若a=b，则ac=bc；
由等式的性质知，p q，所以p是q的充分条件.
解
⑥若x，y为无理数，则xy为无理数.
=2为有理数，p q，所以p不是q的充分条件.
解
(2)(课本例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
这是平行四边形的一条性质定理，p q，所以，q是p的必要条件.
解
②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
这是三角形相似的一条性质定理，p q，所以，q是p的必要条件.
解
③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q，所以，q不是p的必要条件.
解
④若x=1，则x2=1；
显然，p q，所以，q是p的必要条件.
解
⑤若ac=bc，则a=b；
由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p q，所以，q不是p的必要条件.
解
⑥若xy为无理数，则x，y为无理数.
由于1×不全是无理数，p q，所以，q不是p的必要条件.
解
　(1)下列各题中，p是不是q的充分条件？
①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
例 1
在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分条件.
解
②已知x∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0；
由x=1 (x-1)(x-2)=0，故p是q的充分条件.
解
③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
方法一　由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件.
方法二　设集合A={x|x>1}，B={x|x>2}，
所以B A，所以p不是q的充分条件.
解
(2)下列各题中，q是不是p的必要条件？
①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
因为矩形的对角线相等，所以p q，所以q是p的必要条件.
解
②p：a>b，q：ac>bc.
因为p q，
所以q不是p的必要条件.
解
判断p是q的充分、必要条件的方法
(1)经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p.
(2)也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A B，则p是q的充分条件；若B A，则p是q的必要条件.
反
思
感
悟
下列“若p，则q”形式的命题中，判断p是否为q的充分条件.
(1)若a∈N，则a∈R；
跟踪训练
由于N为R的真子集，所以p q，所以p是q的充分条件.
解析
(2)若A B，则A∩B=A；
由A B可以推出A∩B=A，所以p q，所以p是q的充分条件.
解析
(3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3.
由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，因此p q，所以p不是q的充分条件.
解析
二
充分条件与必要条件的应用
　已知集合P={x|-2例 2
由已知，“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则Q是P的子集，
由题意得解得0所以实数m的取值范围是.
解
已知集合P={x|-2延伸探究
由题意得，P是Q的子集，
则解得-≤m≤0.
所以实数m的取值范围是.
解
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念.
(2)充分条件、必要条件的判断.
(3)充分条件与必要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：忽略充分条件、必要条件不唯一；忽略求参数范围时能否取到端点值.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是
A.四边形的对角线相等
B.四边形的两组对边分别相等
C.四边形有两个内角都为直角
D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
√
1
2
3
4
四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；
四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；
四边形有三个内角都为直角才是矩形，故C错误；
四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D正确.
解析
1
2
3
4
2.以下说法错误的是
A.“x2=y2”是“x=y”的必要条件
B.“m是自然数”是“m是整数”的充分条件
C.“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件
D.“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的充分条件
√
1
2
3
4
由x=y，可得x2=y2，故“x2=y2”是“x=y”的必要条件，A正确；
由m是自然数，可得m是整数，故“m是自然数”是“m是整数”的充分条件，B正确；
由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件，C正确；
由(a+b)(a-b)=0，得|a|=|b|，推不出a=b，D错误.
解析
1
2
3
4
3.(多选)下列不等式中，可以作为“-1A.x<1 B.0C.-1√
要求不等式-1{x|-1解析
√
√
1
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3
4
4.已知P={x|a-4因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，
所以Q P，
所以所以-1≤a≤5.
故实数a的取值范围是.
解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A CD ABD AC B 必要
题号 9 11 12 13 15 答案 {a|a≤-9} ACD BCD {m|m≥-3} ABD
对一对
答案
1
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答案
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(1)∵a2+b2=0 a=b=0 a+b=0，
a+b=0 a2+b2=0，∴p是q的充分条件.
(2)∵(x-1)2+(y-2)2=0 x=1且y=2 (x-1)(y-2)=0，
而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0，
∴p是q的充分条件.
16
14.
答案
1
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(1)因为集合B是空集，所以2-a>1+2a，
解得a<所以a的取值范围为.
(2)A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}.
“x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集，
则集合B不是空集，2-a≤1+2a，解得a≥.
又解得a≥5，
故a的取值范围为{a|a≥5}.
16
16.
答案
1
2
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因为a2-b2=1，所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1.
即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，证明如下：
若a4-b4-2b2=1，则a4-(b4+2b2+1)=0，即a4-(b2+1)2=0，
即(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0.
又a2+b2+1≠0，所以a2-b2-1=0，即a2-b2=1.
因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.
16
基础巩固
1.下列选项中，p是q的充分条件的是
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：
√
答案
1
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根据充分条件的概念逐一判断，
只有ab≠0 a≠0.
解析
2.使x>1成立的一个必要条件是
A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2
√
答案
1
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只有x>1 x>0，其他选项均不可由x>1推出.
解析
3.已知a∈N*，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的
A.充分条件 B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
√
若a=3，则a与8的最小公倍数是24；若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件.
解析
答案
1
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4.(多选)若“-1A.2 B.3 C.4 D.5
√
答案
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因为“-13.
结合选项实数a的值可以是4，5.
解析
√
5.(多选)下列命题中为假命题的是
A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件
C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件
D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件
√
答案
1
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√
√
答案
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对于A，不妨设a=0>b=-1，但此时有a2=0b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题；
对于B，不妨设a=-1，b=0，此时有a2=1>b2=0，但ab”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题；
对于C，由无理数的定义可知“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题；
对于D，由x2+2x-3=0可以推出x=-3或x=1，所以“x=1”不是“x2+2x-3=0”的必要条件，故D为假命题.
解析
6.(多选)若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是
A.m>0 B.-2C.m>-4 D.1≤m<2
√
答案
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√
方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则其判别式Δ≤0，即4-4m≤0，解得m≥1，结合选项可知，选项A和选项C正确.
解析
7.设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的一个充分条件是
A.x+y=2 B.x+y>2
C.x2+y2>2 D.xy>1
答案
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√
对于选项A，当x=1，y=1时，满足x+y=2，但p不成立；
对于选项C，D，当x=-2，y=-3时，满足x2+y2>2，xy>1，但p不成立，也不符合题意.
解析
8.设A，B是两个非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的　 　条件(填“充分”“必要”).
答案
1
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必要
由A∩B=A，得A B，但推不出A=B，因此“A∩B=A”不是“A=B”的充分条件；
反过来，由A=B，得A B，能推出A∩B=A，因此“A∩B=A”是“A=B”的必要条件.
解析
9.已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　 .
∵p是q的必要条件，∴q p，
∴解得a≤-9.
解析
答案
1
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{a|a≤-9}
10.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a2+b2=0，q：a+b=0；
答案
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∵a2+b2=0 a=b=0 a+b=0，
a+b=0 a2+b2=0，∴p是q的充分条件.
解
(2)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.
答案
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∵(x-1)2+(y-2)2=0 x=1且y=2 (x-1)(y-2)=0，
而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0，∴p是q的充分条件.
解
11.(多选)使ab>0成立的充分条件可以是
A.a>0，b>0 B.a+b>0
C.a<0，b<0 D.a>1，b>1
√
综合运用
答案
1
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因为a>0，b>0 ab>0；a<0，b<0 ab>0；a>1，b>1 ab>0，所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件.
解析
√
√
12.(多选)下列各题中，p是q的必要条件的是
A.p：两个三角形全等，q：两个三角形相似
B.p：x>5，q：x>10
C.p：ac=bc，q：a=b
D.p：0√
答案
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√
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答案
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A选项，两个三角形相似未必全等，故p不是q的必要条件；
B选项，当x>10时，x>5恒成立，即满足p是q的必要条件；
C选项，若a=b，则ac=bc成立，即p是q的必要条件；
D选项，若|x-1|<1，则0解析
13.已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　.
答案
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{m|m≥-3}
由已知可得A={y|y=(x-1)2+3，x∈R}={y|y≥3}，B={x|x≥-m}.因为q是p的必要条件，所以p q，所以A B，所以-m≤3，即m≥-3，所以实数m的取值范围是{m|m≥-3}.
解析
14.设集合A={x||x|≤3}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R.
(1)若集合B是空集，求a的取值范围；
答案
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因为集合B是空集，所以2-a>1+2a，
解得a<所以a的取值范围为.
解
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.
答案
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A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}.
“x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集，
则集合B不是空集，2-a≤1+2a，解得a≥.
又解得a≥5，
故a的取值范围为{a|a≥5}.
解
15.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)，设P，Q都为有限集合，则下列命题中是真命题的是
A.P∩Q= 是card(P∪Q)=card(P)+card(Q)的充分条件
B.card(P)≤card(Q)是P Q的必要条件
C.card(P)≤card(Q)是P不是Q的子集的充分条件
D.card(P)=card(Q)是P=Q的必要条件
拓广探究
答案
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答案
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对于A，若P∩Q= ，则集合P与集合Q没有公共元素，所以card(P∪Q)=
card(P)+card(Q)，故A正确；
对于B，若P Q，则集合P中的元素都是集合Q中的元素，则card(P)≤
card(Q)，故B正确；
对于C，由card(P)≤card(Q)无法得到P不是Q的子集，故C错误；
对于D，当P=Q时，集合P中的元素与集合Q中的元素完全相同，则card(P)=card(Q)，故D正确.
解析
答案
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16.已知a，b是实数，求证：a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.该条件是否为必要条件？试证明你的结论.
16
因为a2-b2=1，所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1.
即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，证明如下：
若a4-b4-2b2=1，
则a4-(b4+2b2+1)=0，即a4-(b2+1)2=0，
即(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0.
又a2+b2+1≠0，所以a2-b2-1=0，即a2-b2=1.
因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.
证明
答案
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第一章　§1.4　充分条件与必要条件
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