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(共67张PPT)
1.4.2
充要条件
第一章　§1.4　充分条件与必要条件
<<<
1.理解充要条件的意义.
2.会判断一些简单的充要条件问题.(重点)
3.能对充要条件进行证明.(难点)
学习目标
同学们，上节课我们学习了充分条件与必要条件，通过学习，我们知道使结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论.另外，我们在初中学过两直线平行的性质定理如“两直线平行，同位角相等”，还学过两直线平行的判定定理如“同位角相等，两直线平行”，从中我们能得到“两直线平行”是“同位角相等”的什么条件呢？这节课，我们将进一步的探究充要条件.
导 语
一、充要条件
二、充要条件的证明
课时对点练
三、充要条件的应用
随堂演练
内容索引
充要条件
一
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
问题1
提示　判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
问题2
1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有
，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
2.条件关系判定的常用结论：
p q
q p
p q
充要
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q，且q p 充分不必要条件
q p，且p q 必要不充分条件
p q，且q p 充要条件
p q，且q p 既不充分也不必要条件
(1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.
(2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价.
注 意 点
<<<
　(课本例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
例 1
因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以q p，所以p不是q的充要条件.
解
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件.
解
(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；
因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立(为什么)，所以p q，所以p不是q的充要条件.
解
(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件.
解
　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？
(1)p：x=1，q：x-1=；
例 1
方法一　当x=1时，x-1=成立；
当x-1=时，x=1或x=2.
∴p是q的充分不必要条件.
方法二　A={x|x=1}={1}，
B={x|x-1=}={1，2}，可知A　B，
∴p是q的充分不必要条件.
解
(2)p：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，q：a≠0；
若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，故p q；
若a≠0，则方程ax+b=0的根为x=-只有一解，故q p，
综上，p是q的充要条件.
解
(3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2；
由q：(x+2)2≠y2，
得x+2≠y且x+2≠-y，又p：x+2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
解
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
0是自然数，但0不是正数，故p q；
又是正数，但不是自然数，故q p.
故p是q的既不充分也不必要条件.
解
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
反
思
感
悟
下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
充要条件；
解
跟踪训练1
(2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对的圆周角相等；
必要不充分条件；
解
(3)p：A∩B= ，q：A与B之一为空集；
必要不充分条件；
解
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
充分不必要条件.
解
二
充要条件的证明
　(课本例4)已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与☉O相切的充要条件.
例 2
设p：d=r，q：直线l与☉O相切.
(1)充分性(p q)：如图所示，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在☉O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在☉O的外部，即直线l与☉O仅有一个公共点P.所以直线l与☉O相切.
(2)必要性(q p)：若直线l与☉O相切，不妨设切点为P，
则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与☉O相切的充要条件.
证明
　求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
例 2
必要性：由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴Δ=b2-4ac>0，且x1x2=<0，∴ac<0.
充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0，
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根.
综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
证明
充要条件证明的思路
证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
反
思
感
悟
求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
(1)充分性：如果b=0，那么y=kx，
当x=0时，y=0，函数图象过原点.
(2)必要性：因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点，
所以当x=0时，y=0，得0=k·0+b，所以b=0.
综上，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
证明
跟踪训练2
充要条件的应用
三
　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
例 3
p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以{x|1-m≤x≤1+m}　{x|-2≤x≤10}，
故有
解得m≤3.又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0解
若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
延伸探究1
p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}，
因为p是q的充分不必要条件，
所以A　B，
所以解得m≥9，
即实数m的取值范围为{m|m≥9}.
解
本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，
设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}，
若p是q的充要条件，则集合A=B，
即无解.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
解
延伸探究2
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)充要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.“x>0”是“x≠0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由“x>0” “x≠0”，反之不一定成立.
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.
解析
1
2
3
4
2.“x2-4x-5=0”是“x=5”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由x2-4x-5=0得x=5或x=-1，
则当x=5时，x2-4x-5=0成立，
但当x2-4x-5=0时，x=5不一定成立.
因此“x2-4x-5=0”是“x=5”的必要不充分条件.
解析
1
2
3
4
3.(多选)已知集合A={x|x≤3}，集合B={x|x≤m+1}，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有
A.m>0 B.m>1
C.m>3 D.m>4
√
A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.
解析
√
1
2
3
4
4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　.
函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；
反之，若m=-2，则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.
解析
m=-2
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C C BC ABD a=b=0(与此等价的形式亦可)
题号 9 11 12 13 15 答案 {k|k<-2} D B ABC A
对一对
答案
1
2
3
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5
6
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10.
答案
1
2
3
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5
6
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9
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14
15
充分性：因为a+b+c=0，
所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0，
得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0，
所以a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
16
14.
答案
1
2
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15
(1)非空集合A={x|2a-1因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A B，
所以解得0≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}.
(2)假设存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件，
那么A=B，则必有无解.
16
14.
答案
1
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15
故不存在实数a，使得A=B，
即不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件.
16
16.
答案
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14
15
必要性：若+2=
则
即a2+a+b2+b+2ab=2，
即(a+b)2+(a+b)-2=0，
即(a+b-1)(a+b+2)=0，
因为a，b是正实数，
所以a+b+2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1.
16
16.
答案
1
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15
充分性：若a+b=1，
则+2=
==.
故+2=的充要条件是a+b=1.
16
基础巩固
1.已知x∈R，则“x2=x+6”是“x=”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由于“x2=x+6”，则“x=±”，
故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件.
解析
答案
1
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2.巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”.若啾啾是一只鸟，则“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
答案
1
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16
会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，
则“啾啾是巴布亚企鹅”可以推出“啾啾会游泳”，
但“啾啾会游泳”并不能推出“啾啾是巴布亚企鹅”.
所以“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的充分不必要条件.
解析
3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
答案
1
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16
因为p是q的充分不必要条件，所以p q且q p，因为r是q的必要不充分条件，所以q r且r q，因为s是r的充要条件，所以s r且r s，如图，所以p s且s p，故s是p的必要不充分条件.
解析
4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1A.{a|1C.{a|0√
答案
1
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16
因为p是q的充分不必要条件，
所以
解得0解析
5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是
√
答案
1
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对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
解析
6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的充分不必要条件可以是
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1，3，5} D.x≤0或x>2
√
答案
1
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√
从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干中所给集合的真子集，只有B，C满足题意.
解析
7.(多选)设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx-2=0}，则下列可作为B　A的充分不必要条件的是
A.m∈{0，1} B.m∈
C.m∈ D.m∈{1}
答案
1
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√
√
√
答案
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A={x|x2+x-6=0}={2，-3}，
当B　A时，①若B= ，则m=0；②若B≠ ，则B={2}或B={-3}，对应的m=1或m=-
故当B　A时，实数m的取值集合为.
所以满足可作为B　A的充分不必要条件的实数m的取值集合为的非空真子集.
解析
8.设a，b∈R，则“a2+b2=0”的充要条件为　 　　　　.
答案
1
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a=b=0(与此等价的形式亦可)
因为a，b∈R，若a2+b2=0，
则a2=b2=0，即a=b=0；
若a=b=0，则a2+b2=0，
所以“a2+b2=0”的充要条件是“a=b=0”.
解析
9.已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　.
答案
1
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{k|k<-2}
p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，
设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}，
因为p是q的必要不充分条件，所以B　A，
所以2k-1<-5，解得k<-2.
所以实数k的取值范围是{k|k<-2}.
解析
10.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
答案
1
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充分性：因为a+b+c=0，
所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0，
得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0，
所以a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明
11.下列命题正确的是
A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件
B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件
C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件
D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件
√
综合运用
答案
1
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4
5
6
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答案
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由x>5 x>3，由x>3 x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；
当a=b=0时，a+b=0，但不存在，所以“a+b=0”不是“=-1”的充分
条件，故B错误；
当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；
由A∪B=B得A B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D正确.
解析
16
12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
答案
1
2
3
4
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6
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16
当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2，
若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4，
所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件.
解析
13.(多选)设全集为S，集合A，B S，下列四个命题，是命题A B的充要条件的是
A.A∪B=B B. SB SA
C.∩A= D.∩B=
答案
1
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当A∪B=B时，A B；当A B时，A∪B=B，A满足题意；
当 SB SA时，A B；当A B时， SB SA，B满足题意；
当( SB)∩A= 时，A B；当A B时，( SB)∩A= ，C满足题意；
当( S A)∩B= 时，B A，D不满足题意.
解析
14.已知非空集合A={x|2a-1(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；
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非空集合A={x|2a-1因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A B，
所以解得0≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}.
解
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(2)是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
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假设存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件，那么A=B，
则必有无解.
故不存在实数a，使得A=B，
即不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件.
解
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15.设m，n∈R，定义一种新运算：当mn≥0时，m n=m+n；当mn<0时，m n=|m+n|.例如-6 4=2，则“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a b=-1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
拓广探究
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当a=0，b=-1或a=-1，b=0时，ab=0，由当mn≥0时，m n=m+n知，a b
=-1+0=-1；当a b=-1时，根据定义可知ab≥0，所以a+b=-1，故只要满足ab≥0且a+b=-1即可，比如a=b=-时，a b=-1，所以“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a b=-1”的充分不必要条件.
解析
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16.已知a，b是正实数，求证：+2=的充要条件是a+b=1.
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必要性：若+2=
则
即a2+a+b2+b+2ab=2，
即(a+b)2+(a+b)-2=0，
即(a+b-1)(a+b+2)=0，
因为a，b是正实数，
所以a+b+2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1.
证明
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充分性：若a+b=1，
则+2=
==.
故+2=的充要条件是a+b=1.
证明
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第一章　§1.4　充分条件与必要条件
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