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河南省三门峡市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（ ）
A．9 B．24 C．35 D．40
3．月日是世界读书日，某校组织开展“书海拾贝，阅读致远”活动，为了解学生的阅读情况，随机调查了八年级名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．
时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5
人数（人） 12 19 15 7 7
在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是（ ）小时．
A．1.5 B．1 C．19 D．2
4．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）

A． B． C． D．
8．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（ ）
①图中有7个等腰直角三角形；②四边形是菱形；
③；④四边形是正方形．
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①④
二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．某校评选文明班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如表所示：
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
所占比例
某班这四项得分依次为92，86，78，82，则该班四项综合得分为 分．
13．将直线沿轴向下平移4个单位，可得直线的解析式为 ．
14．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约 ．（结果精确至．参考数据：）
15．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点； ．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．（结果要求最简形式）
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，在四边形中，，点在边上，_____．
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，解决下列问题：

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求线段的长．
18．水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从学校内随机抽取了100名学生，收集了这100名学生所在家庭（假设每名学生代表一个不同的家庭）去年6月份的用水量（单位：吨），并对这100个数据进行整理，绘制了如下统计图表：
100个家庭去年6月份用水量扇形统计图 去年6月份用水量分组表
组别 用水量 组内平均数
A 2.8
B 4.0
C 5.4
D 6.8
E 8.2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这100个数据的中位数落在_____组（填组别），C组所占圆心角的度数为_____；
(2)求这100户家庭去年6月份的总用水量；
(3)据了解，在小麦的整个生长期中，一亩地大约需要的水来灌溉．已知该学校有2400户家庭，若每户家庭今年6月份的用水量都比去年6月份各自家庭的用水量节约，请估计这2400名学生所在家庭今年6月份节约的用水量大约可满足多少亩小麦地整个生长周期的用水？（结果取整数）
19．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；
(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
20．明明在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段，，，；
③顺次连结所得的四点得到四边形，于是可以直接判定四边形是平行四边形，则依据的判定定理是：_____．
(2)猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．结合下图，请帮助明明完成命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明．
21．购买空调时，需要综合考虑空调的价格、匹数和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年．表1是这两款匹数相同的空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题．
表1：两款空调的部分基本信息
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/KW·h
1.5 1级 3180 640
1.5 3级 2700 800
设使用年，1级能效空调的综合费用为，3级能效空调的综合费用为．（综合费用空调的售价电费）
(1)分别写出，与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)空调使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？
(3)某人打算选购一台空调使用10年，请分析他购买哪款空调更划算．
22．综合与应用
【材料阅读】
小红和小青在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料．
小红找到的资料如下：
我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，则（秦九韶公式）．
小青找到的资料如下：
古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则（海伦公式）．
【推理论证】
（1）小红和小青运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同．这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也称海伦公式为“海伦－秦九韶公式”．下面是他们不完整的推理过程，请将这个推理过程补充完整．
证明：，
（ ）（ ）
（ ）
（ ）（ ）（ ）（ ）
【学以致用】
（2）已知三角形的三边分别为，，．请运用“海伦－秦九韶公式”计算三角形的面积．
①，，；
②，，．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是_____；
②图2中与的数量关系是_____；四边形的形状是_____．
(2)迁移探究
小董将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，重复上面操作，如图3．已知长为，当平移的距离为多少时，四边形是菱形？请写出证明过程．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长．
参考答案
1．C
解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选C．
2．B
解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意，
故选：B．
3．B
由表格可知，人数最多的是19人，对应的阅读时间为1小时，
∴学生每天的平均阅读时间的众数是小时，
故选：．
4．D
解：A、与不能合并，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意；
故选：D．
5．A
解：由题意得：，
故选：A．
6．C
解：由图象可知，在时提取率最高，时提取率最高，
所以最佳的提取时间和提取温度分别为，，
故选：C．
7．A
解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，
阴影图形的周长是：，
故选：A．
8．D
解：联立方程组：，
解得：
∴点的坐标为．
∵且，
∴点位于第四象限．
故选D．
9．A
解：连接，交于点，如图所示：
∵四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10．C
解：①如图，分别为的中点，
为的中位线，
，
，
，
∵四边形为正方形，
都是等腰直角三角形，
分别为的中点，
，
、也是等腰直角三角形．
故图中有7个等腰直角三角形，①正确；
②根据①得，
,
∴四边形不可能是菱形．故②错误；
③如图，过点M作，连接，
分别为的中点，
，
∵四边形是正方形，且设，
，
，
，
，
∴点P在上，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
，
∴四边形的面积
∴四边形的面积占正方形面积的，
是的中点，
，
∴四边形的面积占正方形面积的，
，
故③正确；
由①可知和都是等腰直角三角形，
，
，
∴四边形是矩形，
又是的中点，
，
，
，
∴四边形是正方形．
故④正确．
故选：C．
11．
解：由二次根式的定义可得：
5-x≥0，
即x≤5，
故答案为：x≤5．
12．86.4
解：（分）；
故答案为：86.4
13．
解：由题意，平移后的直线的解析式为：；
故答案为：．
14．16.4
解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点，点，
在中，，
，
在中，，
，
，
即椅背上人的头部支撑点向上抬高了约．
故答案为：．
15．
解：作轴于点，
∵均在直线上，
，
，
，
，
，
，
∴由勾股定理得：，
，
同理，，
，
同理，，
，
即点的横坐标是，
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)选择①，见解析
(2)
（1）选择①，
证明：，
，
，，
四边形为平行四边形；．
选择②，
证明：，，
，
，
四边形为平行四边形；
（2），
，
在中，，，，
．
四边形为平行四边形
．
线段的长为．
18．(1)B，
(2)
(3)7亩
（1）解：，，
故将数据排序后第50和第51个都在B组，
故中位数在B组；
；
故C组所占圆心角的度数为．
（2）
答：这100户家庭去年6月份的总用水量为
（3）；
（亩）
答：这2400名学生所在家庭今年6月份节约的用水量大约可满足7亩小麦地整个生长周期的水．
19．(1)
(2)
(3)没有超速
（1）解：由题意可得：，解得：．
故答案为：．
（2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：，解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴辆汽车减速前没有超速．
20．(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形
(2)见解析
（1）解：，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）解：已知：四边形是平行四边形，；
求证：四边形是矩形．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形．
21．(1)；
(2)使用5年时，两款空调的综合费用相等
(3)购买1级能效空调更划算
（1）解：由题意得，；
；
（2）解：根据题意得：当时，
，
解得：，
答：使用5年时，两款空调的综合费用相等．
（3）解：当时，
1级能效空调的综合费用：（元），
3级能效空调的综合费用：（元），
因为，所以购买1级能效空调更划算．
22．（2），，，；（3）①6；②
（1）证明：，
；
（2）①由题意得，，
根据海伦公式得，；
②
．
23．(1)①正方形；②，平行四边形
(2)当平移距离是时，四边形是菱形
(3)或
（1）（1）①解：由题意知，，，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
②解：由平移的性质可得，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
故答案为：，平行四边形；
（2）当平移距离是时，四边形是菱形．
理由如下：如图所示，连接，，连接交于点
，，，
，，
将三角板沿方向平移，
，，
四边形是平行四边形．
当平移的距离为时，即，
，
，
，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形．
当平移距离是时，四边形是菱形．
（3）或．
是含角的直角三角板，即，边长为，
，
①当时，为等腰三角形，如图所示，
，，
，
，且，
，
点是的中点，
；
②当时，为等腰三角形，如图所示，
，，，
在中，由勾股定理得，，
为等腰三角形，，
；
③当时，为等腰三角形，如图所示，
与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾，
不存在；
综上所示，当为等腰三角形时，的长为或．

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