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丰城中学2024-2025学年下学期初二期末考试卷
数 学
1．用配方法解方程，下列配方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
3．二次函数可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是边长为4的等边三角形，点D在边的延长线上且，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，将四张卡片背面朝上，任意抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数的图象不经过第二象限的概率是________．
A． B．1 C． D．0
6．函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　）A B． C． D．
7．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是 ．
8．一个不透明的袋子中有3个红球和个白球，每个球除颜色外无其他差别，如果摸出红球的概率为，那么 ．
9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则 ．
10．已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
11．如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为 °．
12．在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则 ．
三、解答题
13．计算、解方程：
(1)； (2)．
14．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，求的大小．

15．如图，AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连接BC、BD．
（1）求证：BC=BD；
（2）已知CD=6，OH=2，求圆O的半径长．
16．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共80个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的2倍多4个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．
(1)求袋中红球的个数．
(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率．
17．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为．
(1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？
18．某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______；
(2)从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明；
(3)如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由．
19．如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接．
(1)试判断的形状并证明；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
20．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．
(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利元．
(3)平均每天盈利能否达到元，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ．
（1）将向右平移4个单位，画出平移后的；
（2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是________；
（3）在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
23．将正方形和正方形如图1摆放，使D点在边上，M为中点，
(1)连接，，则容易发现，间的关系是___________；
(2)操作：如图2，把正方形绕C点顺时针旋转，使对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，探究线段，的关系，并加以说明
(3)将正方形绕点C顺时针旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，并加以证明．
1．C
解：，
，
∴；
故选C
2．A
解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．B
解：
，
则二次函数可变形为，
故选：B．
4．A
解：如图，过点作于点，
是边长为4的等边三角形，
，
，
，
，
，
将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
是等边三角形，
，
故选：A．
5．C
解：画树状图如下：
共有 16 种等可能的结果，
函数的图像不经过第二象限的结果有，共6种，
故函数的图像不经过第二象限的概率是：，
故选：C．
6．D
解：，
当时，，
∴与y轴的交点在y轴负半轴，
当时，，
令，则，
解得：或，
∴当时，与x轴正半轴有两个交点，
只有选项D符合题意，
故选：D
7．8
解：7名男生引体向上的成绩从小到大排列为：5，6，7，8，8，9，10，
位于最中间的数为第4位8，
则中位数是8，
故答案为：8
8．6
解：∵摸出红球的概率为，
∴球的总个数为：，
∴白球的个数．
故答案为：6．
9．124
解：由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：124
10．
解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，
∴与有4个交点，
∵中，当即时，，
∴经过定点，
对于，当时，，
当时，，解得，
∴与y轴交于，与x轴交于，，
当经过时，如图，
则，解得，
∴，
此时与有3个交点，
当经过时，如图，
则，
解得，
∴，
此时与有3个交点，
观察图象发现：当时，与有4个交点，
故答案为：．
11．40
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴劣弧所对的圆心角与的度数相等，
则．
故答案为：40．
12．或或
解：若，如图，连接，
则点在的垂直平分线上，
∵四边形是正方形，
∴点也在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即；
若，且时，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即；
若，且时，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即；
若，
此时点重合，
不符合题意；
综上，是等腰三角形，则或或；
故答案为：或或．
13．(1)
(2)，
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
，
或，
解得，．
14．
解：根据题意，点B，C的对应点分别是，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
15．（1）证明见解析；（2）OC= ．
（1）证明：∵AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，
∴，
∴BC=BD；
（2）解：连接OC，
∵AB是圆O的直径，CD为弦，AB⊥CD，CD=6，
∴CH=3，
∴OC=．
16．(1)袋中的红球有16个
(2)
（1）解：根据题意得．
答：袋中的红球有16个．
（2）解：设白球有x个，则黄球有个，
根据题意得，解得．
所以摸出一个球是白球的概率．
17．(1)；
(2)围成面积为的花圃，的长为米
（1）解：依题意得，，
∴，
∵墙的最大可用长度为10米，
∴，即，解得：，
∴x的取值范围是：；
（2）当时，，解得：，，
∵，
∴，即，
∴要围成面积为的花圃，的长为米．
18．(1)；9；
(2)选择甲更合适，理由见解析
(3)，理由见解析
（1）解；由题意得，；
把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分，
∴乙得分的中位数为9分，即；
；
（2）解：选择甲更合适，理由如下：
因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的，
∴选择甲更合适；
（3）解；，理由如下：
去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则．
19．(1)为等腰直角三角形，理由见解析
(2)
（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵为直径，
∴，
∵点E是的内心，
∴分别平分、，
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：如图，连接与交于点F，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)，；
(2)每件童装降价元，平均每天盈利元；
(3)平均每天销售利润不能达到元，理由见解析．
（1）解：设每件童装降价x元时，
每天可销售件，
每件盈利：（元）；
（2）解：根据题意，得：．
解得：，，
∵扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价元，平均每天盈利元；
（3）解：依题意，可列方程：
，
化简，得 ，
．
方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到元．
21．（1）详见解析；（2）平行四边形；（3）存在，满足条件的点坐标为，，．
解：（1）如图，即为所作．

（2）如图，即为所作，四边形是平行四边形，故答案为平行四边形．
（3）存在．满足条件的点坐标为，，．
22．(1)
(2)，
(3)或或
（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
23．(1)且
(2)且
(3)成立，见解析
（1）解：，间的关系是且．理由如下：
延长，，二线交于点Q，
∵正方形和正方形
∴，，
∴，
∴，
∵M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴且．
（2）解：延长交于点H，连接，
∵正方形和正方形
∴，，
∴，
∴，
∵M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴且．
（3）解：结论还成立．理由如下：
过点E作，交的延长线于点N，交于点P，延长交于点K，连接，
∵正方形和正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴且．

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