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第二章 直线和圆的方程--高中数学人教A版选择性必修一单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．点到直线的距离为( )
A. B.2 C. D.1
2．经过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
3．中国扇子历史悠久,源远流长,在长达数千年的发展过程中,被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉,数量之大品种之多,皆居世界首位．如图,现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子,为了使扇子形状更为美观,要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比,则扇子的圆心角应为( )
A. B. C. D.
4．直线在x轴的截距为( )
A. B. C. D.3
5．已知圆与圆的交点为M,N,则直线的方程为( )
A. B. C. D.
6．直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
7．椭圆的离心率为e，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点( )
A.必在圆内 B.必在圆上
C.必在圆外 D.与圆的关系与e有关
8．已知点在线段上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是( )
A. B. C. D.
10．已知圆与圆相切，则m的取值可以为( )
A. B. C.3 D.4
11．若直线与直线平行，则a的值可以是( )
A.0 B.2 C.-2 D.4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线，，若，则__________.
13．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条.
14．函数的图象类似于汉字“囧”,此函数称为“囧函数”,并把图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心,与“囧函数”的图象有公共点的圆,称为“囧圆”.当,时,“囧圆”的面积的最小值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．当C为何值时，直线与圆有两个公共点、一个公共点、无公共点？
16．已知直线l经过点,圆.
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.
17．新冠疫情下,为了应对新冠病毒极强的传染性,每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓.某口罩加工厂加工口罩由A,B,C三道工序组成,每道工序之间相互独立,且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别,A,B,C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级;A,B,C工序加工质量层次均为高时,口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%);工序的加工质量层次为高,A,B工序至少有一个质量层次为低时,口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%);其余均为95级(表示最低过滤效率为95%).
表①:表示A,B,C三道工序加工质量层次为高的概率;表②:表示加工一个口罩的利润.
表①
工序 A B C
概率
表②
口罩等级 100等级 99等级 95等级
利润/元 2.3 0.8 0.5
（1）X表示一个口罩的利润,求X的分布列和数学期望;
（2）由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低,工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中,每个口罩检测成本增加了a()元时,相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b;试问:若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高,则a与b应该满足怎样的关系
18．已知圆与圆相交于两点.
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程.
（2）求两圆的公共弦长.
19．已知，，.
（1）求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；
（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：点到直线的距离.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意可知的斜率为，
所以与其垂直的直线斜率为，
由点斜式可知该直线方程为，
故选：D
3．答案：A
解析：设圆的半径为r,剪下的扇形的圆心角为,则圆面剩余部分的圆心角为,
由题意可得：,解得.
故选：A.
4．答案：A
解析：令,得,所以直线在x轴的截距为.
故选：A.
5．答案：B
解析：,,
两圆方程相减得,,化简得.
故选：B.
6．答案：B
解析：直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则，，所以.
故选：B.
7．答案：A
解析：根据题目条件有，.
由和是方程的两个根，
故由韦达定理得，，
从而
.
这表明点一定在圆内，A正确.
故选：A.
8．答案：B
解析：如图所示
是图中线段AB上的一点，且为原点到该线段上点的距离的平方，易知，，所以，，又原点到直线的距离，则，所以，所以.故选B.
9．答案：ABC
解析：由题图可知，，，，
且，可知A，B，C错误.
故选：ABC．
10．答案：BC
解析：若这两个圆外切，则，
两边平方后，解得或3；
若这两个圆内切，则，
解得.
故选：BC
11．答案：AB
解析：因为两直线平行，
由斜率相等得，
所以或，
解得或0或-2，
当时两直线重合，舍去.
故选：AB.
12．答案：-1
解析：因为，
所以.
故答案为：-1
13．答案：3
解析：因为在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线，
故设直线为或或，
若直线过点，则，得直线为；
若直线过点，则，，得直线为；
若直线过点，则，，得直线为；
所以满足条件的直线有3条；
故答案为：3.
14．答案：
解析：由题意可知,“囧点”为,当“囧圆”与函数图象在x轴上方部分相切时,
不妨设在第一象限的切点为,
,
当,,即时,的最小值为,
此时“囧圆”的面积为,
当“囧圆”与函数图象在x轴下方部分相切时,切点为,
此时半径为4,“囧圆”的面积为,
所以“囧圆”面积的最小值为
故答案为:
15．答案：时，有两个公共点；时，有一个公共点；或时，无公共点
解析：把代入圆，
得，.
当，即时，有两个公共点；
当，即时，有一个公共点；
当，即或时，无公共点.
16．答案：(1)或
(2)或
解析：(1)当直线l的斜率不存在时,即直线l的方程为：,此时是与圆C相切,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l为：,即,
则圆C的圆心到直线l的距离,解得,
故直线l的方程为.综上,直线l的方程为或.
(2)因为直线l被圆C所截得的弦长为,所以圆C的圆心到直线l的距离为.由(1)可知,直线l的斜率一定存在,
设直线l为：,即,
则圆C的圆心到直线l的距离,解得或.
故直线l的方程为或.
17．答案：（1）分布列见解析,
（2）()
解析：（1）X的可能取值为2.3,0.8,0.5,
;;;
所以X的分布列为
X 2.3 0.8 0.5
P
（2）设升级后一件产品的利润为Y,则Y的可能取值为,,
;
;
;
所以,
由得,解得,
所以a与b满足的关系为().
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设两圆的交点为,,则A,B的坐标满足方程组
两式相减得.
此方程即为过A,B两点的直线方程.
所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
（2）圆可化为,圆的圆心为,半径长.
)到直线的距离.
则弦长.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）直线AB的斜率为，直线BC的斜率为，
直线BC的一个方向向量为.
（2）如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由增大到，
由（1）可知，又，
直线AD的斜率的取值范围为.
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