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第三章圆锥曲线的方程--高中数学人教A版选择性必修一单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知双曲线,则它的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2．抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则C的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
4．抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
5．已知的顶点B、C在椭圆上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则的周长是( )
A. B.6 C. D.12
6．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
8．已知直线是双曲线的一条渐近线,则C的离心率为( )
A. B. C. D.2
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若椭圆的焦距为2,则( )
A.1 B.2 C.3 D.5
10．设点,分别为椭圆：的左、右焦点,点P是椭圆C上任意一点,若使得成立的点恰好是4个,则实数m的取值可以是( )
A.1 B.3 C.5 D.4
11．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若，则p的值可能为( )
A. B.1 C. D.2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．抛物线的焦点坐标是________.
13．如图,这是一座抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面,水面宽,根据图中坐标系,这条抛物线的方程为______________．
14．设抛物线的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，.则_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知抛物线C顶点在原点,焦点在x轴上,且经过点,一条斜率为的直线过抛物线C的焦点,且与C交于A,B两点,
（1）求抛物线方程;
（2）求弦的长度;
16．已知椭圆的左、右顶点分别为A,B,且,椭圆E的焦距为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点M（M不在x轴上）在椭圆E上,求直线,的斜率之积.
17．已知抛物线的焦点为.
（1）求C的方程;
（2）若过点的直线l与抛物线C交于,Q两点.是否为定值 若为定值,求出此定值;若不为定值,请说明理由.
18．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程．
19．已知椭圆的离心率为,且长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过椭圆C左焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,求三角形面积的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：双曲线,则它的渐近线方程为.
故选：A.
2．答案：D
解析：抛物线的方程为:,
则其焦点坐标为:,准线方程为:.
故选:D
3．答案：D
解析:因为双曲线的渐近线方程为，
由两条渐近线的夹角为，且，
所以，
所以双曲线C的离心率.
故选：D.
4．答案：B
解析：由得，所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离为1，
故选：B.
5．答案：C
解析：由椭圆知,该椭圆的长半轴,
A是椭圆的一个焦点,设另一焦点为,而点在BC边上,点B,C又在椭圆上,
由椭圆定义得,,
所以的周长
故选:C
6．答案：B
解析：由双曲线，
则，，焦点在y轴上，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
7．答案：A
解析：,即,则,则其焦点坐标为.
故选：A.
8．答案：A
解析：由题意,,则,则,
则,即,所以.
故选：A.
9．答案：CD
解析：由题意可知：,
若焦点在x轴上,则,解得;
若焦点在y轴上,则,解得;
综上所述：或.
故选：CD.
10．答案：BD
解析：设, ,, ,,
由可得,又点P在椭圆C上,即,
,要使得成立的点恰好是4个,则,解得.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：由题可知，l的方程为，
联立整理得，
则，，得.
故选：ABC.
12．答案：
解析：因为抛物线方程为，
所以焦点在y轴上，且焦点为.
故答案为
13．答案：
解析：设抛物线的方程为,抛物线过点,所以,
则这条抛物线的方程为,即．
故答案为：.
14．答案：2
解析：如图：由题意及抛物线定义，
得，
为边长为4的正三角形，
设准线l与x轴交于点D，
因为，，
所以，
则.
故答案为：2
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,可设抛物线为,又抛物线经过点,
所以,则抛物线方程为.
（2）由（1）知:抛物线焦点为,则直线,
代入抛物线消去y,得,则,显然,
所以,,则.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得,解得,
设椭圆E的焦距为,由焦距为4,得,解得.
又,所以椭圆E的标准方程为.
(2)由题意,得,,
设,由在椭圆E上,得,即,
所以,
即直线,的斜率之积为.
17．答案：（1）;
（2）为定值.
解析：（1）抛物线的焦点为,依题意,解得,
所以抛物线.
（2）由题意,直线斜率不为0,设直线l的方程为,,,
联立抛物线有,消去得,则,
,,又,,
,为定值.
18．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题意知该双曲线焦点在x轴上，
故设其方程为，
根据过知，又过，
故有，解得，
所以双曲线C的标准方程为；
(2)直线l与双曲线C有且只有一个公共点，
且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况：
当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，
设直线l的方程为，
此时三角形的面积为，解得，
所以直线l的方程为；
当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在，
设其方程为，
联立，
得，
所以且，
即，
又因为三角形的面积为，
解得（负根舍去），
所以，解得（正根舍去），
所以直线l的方程为；
综上，直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知:,解得,
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意可知:,直线l的斜率可以不存在,但不为0,且直线l必与椭圆相交,
设直线,,,
联立方程,消去x可得,
则,,
可得,
则三角形面积,
令,则,
可得,
因为在内单调递增,则,
可得,当且仅当,时,等号成立,
所以角形面积的最大值为.
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