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第一章　空间向量与立体几何--高中数学人教A版选择性必修一单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，，则( )
A. B. C. D.
2．向量,,若,则实数m的值为( )
A. B.1 C.2 D.
3．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为( )
A． B． C． D．
4．已知，，，若a，b，c不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A.0 B. C.9 D.6
5．若向量是直线l的方向向量,向量是平面的法向量,则直线l与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．已知，，则( )
A. B. C. D.
7．已知点A的坐标是,则( )
A.5 B.6 C. D.5
8．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，则AP与底面ABCD的关系是( )
A.相交但不垂直 B.垂直 C.平行 D.成角
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10．下列各组向量中平行的有( )
A.， B.，
C.， D.，
11．已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为__________.
13．点和点的距离的最小值为________.
14．设向量，，且，则的值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点.求证：且.
16．如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,,E为线段的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．如图1，在平行四边形中，,,,将沿折起到位置，使得平面平面，如图2．
图1
图2
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，.
(1)证明：平面.
(2)若，求二面角的余弦值.
19．在四棱锥中，底面为矩形，且.
(1)证明：平面底面.
(2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：.
2．答案：D
解析：向量,,由,得,
所以.
故选：D.
3．答案：A
解析:由已知，，所以l与α所成的角为，
故选：A.
4．答案：D
解析：因为a，b，c，不能构成空间的一个基底，所以a，b，c共面，设，其中x，.所以，
所以解得，故选D.
5．答案：D
6．答案：C
解析：由已知，得，，
所以.
7．答案：C
解析：根据题意.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为，，所以，.又因为，所以平面ABCD.
9．答案：AD
解析：直线l的一个方向向量为，
平面的一个法向量为，
当时，则有，因此，即，A正确，C错误；
当时，则有，因此，则，B错误，D正确.
故选：AD
10．答案：ABC
解析：A中，，故；
B中，，故；
C中，零向量与任何向量都平行；
D中，不存在实数使，故向量g与h不平行.故选ABC.
11．答案：AD
解析：对于A，设，
则，因为，
所以点在平面内，故A正确；
对于B，设，则，
因为，
所以点不在平面内，故B错误；
对于C，设，则，
因为，
所以点不在平面内，故C错误；
对于D，设，则，
因为，
所以点在平面内，故D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,
在长方体中,,,
,,,,
,,
设异面直线与所成角为,
则,
异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为:.
13．答案：
解析：由，知，
当时，，即点和点的距离的最小值为.
14．答案：168
解析：由于，故可设.因为，，所以，
所以，解得
所以，，所以.
15．答案：证明见解析
解析：证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长的单位长度，建立空间直角坐标系（图略），
则，，，，
，，
易得，且.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接BD交AC于点H,连接HE.
因为四边形ABCD是正方形,根据正方形对角线性质,可知H是BD的中点.
又因为E为线段PD的中点,在中,可得.
由于平面ACE,平面ACE,所以直线平面ACE.
(2)因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以.
又因为,,且AD、PD 平面PAD,所以平面PAD.
在平面PAD内作,分别以Ax,AP,AB为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
又底面ABCD为边长为2的正方形,,则,,
,,,,；
,,；
设平面PAC的一个法向量为,则,即,
令,得,
设直线AE与平面PAC所成角为,,
即直线AE与平面PAC所成角正弦值为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)存在，
解析：(1)在中，因为，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面；
(2)因为，所以，
又因为平面平面，
平面平面
平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
即，，两两垂直，
以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系如图，
则，，
假设点M存在，设，
则，
，,
设平面的一个法向量为，
则，
取，可得，
又平面的一个法向量为，
假设在线段上存在点M，
使得二面角的大小为，
则，
解得，
所以点M存在，且点M是线段的中点，
即.
18．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：（1）证明：因为底面为正方形，所以.
又因为，，平面，所以平面；
因为平面，所以.
因为，与相交，平面.
所以平面.
（2）以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为.
，
易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为底面为矩形，所以，
又，，平面，
所以平面.
因为底面，所以平面底面.
(2)由(1)得，，又，
以A为坐标原点，，，的方向分别为
x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，
则，，
设，因为，
则，
解得，，
所以，则.
设平面的一个法向量为，
则由，
得，令，得.
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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