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兴仁市第一中学2025学年高一下学期期末模拟考试数学试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，3}
C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．（5分）已知复数，则（　　）
A．﹣1+3i B．﹣3+3i C．1﹣3i D．3﹣3i
3．（5分）某保密单位有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且asinC﹣ccosA＝0，则A为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）小明同学计划暑假从河北省邢台市乘坐火车去河北省承德市旅游，由于没有直达的火车，小明同学有四种火车中转方案可供选择，分别是“邢台站一北京西转一承德站”“邢台站一石家庄转一承德站”“邢台站一定州转一承德站”“邢台站一保定转一承德站”，若小明同学从这四种方案中任选一种，则他到达承德站前不经北京西转的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PB＝PC，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，G为PD的中点，若EG⊥AC且EG⊥PD，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．BC∥平面EFG B．PA∥平面EFG
C．AC⊥平面EFG D．PD⊥平面EFG
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，C＝120°，则c＝（　　）
A．7 B．19 C． D．
8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，b＝3，c＝5，则a＝（　　）
A．3 B．4 C． D．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）甲、乙两班参加某次数学调研测试，相关统计数据如下表所示（满分150分，120分以上为优秀），则下列结论正确的是（　　）
班级 考试人数 中位数 平均数 方差
甲 55 119 112 18
乙 56 121 112 10
A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班成绩波动比乙班成绩波动大
C．甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
（多选）10．（6分）已知向量，，，设的夹角为θ，则（　　）
A．⊥ B． C．∥ D．θ＝135°
（多选）11．（6分）已知随机事件A，B，C，则下列说法正确的是（　　）
A．若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
B．若P（A）+P（B）＝1，则事件A与事件B互为对立
C．若事件A，B，C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
D．若事件A，B，C两两互斥，则P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）复数z（i为虚数单位）的共轭复数是 　 　 ．
13．（5分）平面向量满足，则的最大值为 　 　 ．
14．（5分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，三棱锥D﹣ABC为一个鳖臑，其中DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，AM⊥DC，M为垂足，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为 　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinC．
（1）证明：A+C＝2B；
（2）记△ABC的面积为S，若S，求a+c的值．
16．（15分）设非零向量a和b，它们的夹角为θ．
（1）若||＝5，θ＝150°，求在上的投影的数量；
（2）若 9，||＝6，求在上的投影的数量．
17．（15分）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量表示；
（2）求．
18．（17分）某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比例划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中5a＝2b．
（1）求图中a，b的值；
（2）根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）；
（3）用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？
19．（17分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面CD∥AB，AC与BD交于点O，2CD＝AB且∠DAB＝90°，PA⊥BC，点E为线段PA上靠近P的三等分点．
（1）证明：PC∥平面BDE；
（2）求点A到平面PBC的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C D C C D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC AD AD
12．（5分）复数z（i为虚数单位）的共轭复数是 　1﹣i　 ．
【答案】1﹣i．
解：∵z1+i，
∴复数z的共轭复数是1﹣i，
故答案为：1﹣i．
13．（5分）平面向量满足，则的最大值为 　3　 ．
【答案】．
解：∵，∴，
则（当且仅当与同向时取等号）．
故答案为：．
14．（5分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，三棱锥D﹣ABC为一个鳖臑，其中DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，AM⊥DC，M为垂足，则三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为 　8π　 ．
【答案】
解：取AC的中点，连接MO，BO，则AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，
所以AC，则AO＝BO＝CO，
又AM⊥DC，所以MO，
所以点O就是三棱锥M﹣ABC的外接球的球心，
所以三棱锥M﹣ABC的外接球的球半径为，
所以三棱锥M﹣ABC的外接球的表面积为．
故答案为：8π．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinC．
（1）证明：A+C＝2B；
（2）记△ABC的面积为S，若S，求a+c的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
（1）证明：∵sinA+sinC，
∴（sinA+sinC）2＝3sinAsinC+sin2B，
∴sin2A+sin2C＝sinAsinC+sin2B，
∴a2+c2﹣b2＝ac，
∴cosB，
又0＜B＜π，∴B，A+C＝π﹣B，
则A+C＝2B；
（2）解：∵SacsinB＝4，
∴ac＝16，
又S，∴b＝4，
∵cosB，
∴，
∴a+c＝8．
16．（15分）设非零向量a和b，它们的夹角为θ．
（1）若||＝5，θ＝150°，求在上的投影的数量；
（2）若 9，||＝6，求在上的投影的数量．
【答案】（1）；（2）．
解：（1）因为||＝5，θ＝150°，
所以在上的投影的数量为；
（2）因为 9，||＝6，
所以在上的投影的数量为．
17．（15分）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量表示；
（2）求．
【答案】（1）；
（2）．
解：（1）∵M是棱BC的中点，点N满足，点P满足，
∴；
（2）∵四面体OABC是正四面体，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，
∴，，
∴，同理可得，，
∴，解得．
18．（17分）某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比例划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中5a＝2b．
（1）求图中a，b的值；
（2）根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）；
（3）用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？
【答案】（1）a＝0.010，b＝0.025；（2）71.5；（3）59．
解：（1）由题意，得，
解得a＝0.010，b＝0.025．
（2）企业生产的该批产品的质量的平均数约为
10×（45×0.010+55×0.010+65×0.020+75×0.030+85×0.025+95×0.005）＝71.5g．
（3）等级达到C及以上的占比为12%+32%+37%＝81%，
设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为x g，易得50＜x＜60，
则（0.005+0.025+0.030+0.020）×10+（60﹣x）×0.010＝0.81，
解得x＝59，所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为59g．
19．（17分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面CD∥AB，AC与BD交于点O，2CD＝AB且∠DAB＝90°，PA⊥BC，点E为线段PA上靠近P的三等分点．
（1）证明：PC∥平面BDE；
（2）求点A到平面PBC的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
解：（1）连接OE，由于CD∥AB，所以△AOB∽△COD，且2CD＝AB，
所以2CO＝AO，又点E为线段PA上靠近P的三等分点，
所以，所以EO∥PC．
又OE 平面BDE，PC 平面BDE，
所以PC∥平面BDE．
（2）由题知2CD＝AB＝2AD＝2且∠DAB＝90°，CD∥AB，得，
所以∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝45°，又AB＝2，
所以由余弦定理得：，
所以，所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC．
PA⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC 面PAC，
所以BC⊥面PAC，
因为PC 面PAC，
所以BC⊥PC．
又知，设A到面PBC的距离为h，
所以VB﹣PAC＝VA﹣PBC，
即，
解得，
即点A到平面PBC的距离为．

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