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必备知识 清单破
5　实验:用单摆测量重力加速度
知识点
用单摆测量重力加速度
1.实验思路
由单摆周期公式可得g= ,如果测出单摆的摆长l、周期T,就可以
求出当地的重力加速度。
2.实验器材
铁架台(含铁夹)、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、停表、
细线(长1 m左右)、刻度尺(分度值为1 mm)、游标卡尺。
3.实验步骤
制作 单摆 (1)让细线的一端穿过小球的小孔,然后打一个比孔径稍大一些的结;
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上,并把铁架台放在实验桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自由下垂,在单摆平衡位置处做上标记
测量 摆长 用刻度尺量出悬挂点与小球上端之间的距离(摆线长)l‘,用游标卡尺测量出摆球的直径D,则单摆的摆长l=l'+

测量周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度,且满足偏角小于5°,然后由静止释放摆球,当摆球摆动稳定后,通过平衡位置时用停表开始计时,测量30~50次全振动的时间,计算出单摆的运动周期
重复实验 将单摆的摆长变短或变长,重复实验三次,测出相应的摆长l和周期T
知识辨析
1.测量单摆的摆长时,能否在细线固定前测量摆线的长度
2.实验中测出小球经过最低点30次的总时间为t,周期是T= 吗
3.若将单摆放入绕地球稳定飞行的宇宙飞船中,还能利用单摆测出飞船轨道处的重力加速度
吗
4.某同学做实验时,在摆球摆动的过程中,摆线的固定点出现松动,但该同学并未发现,这将会
导致所测重力加速度的数值偏小还是偏大
一语破的
1.不能。应先将细线固定在悬点,让摆球自由下垂,然后再测量摆线的长度。
2.不是。在小球经过最低点时开始计时,小球通过最低点30次,经历15次全振动,则周期为T=
。
3.不能。宇宙飞船中的摆球处于完全失重状态,不能在竖直平面内来回摆动,因此无法利用单
摆测量重力加速度。
4.偏小。摆线的固定点松动,会导致摆长变长,摆长的测量值偏小,根据g= 可知所测重力
加速度g的数值偏小。
1.数据处理
(1)公式法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式g= ,求出g值,最后求出g的平均值。
(2)图像法:由T=2π 得T2= l,作出T2-l图像,即以T2为纵轴,以l为横轴,如图所示,其斜率k=
,由图线的斜率即可求出重力加速度g。
关键能力 定点破
定点 实验数据处理和误差分析
2.误差分析
(1)单摆的振动不是简谐运动而引起的误差
①单摆不在同一竖直平面内振动而成为圆锥摆;
②振幅过大。
(2)测定摆长时引起的误差
①未挂摆球测定摆线长或漏加小球的半径;
②测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆长;
③悬点未固定好,振动过程中出现松动,使实际摆长不断变长。
(3)测定周期时引起的误差
①开始计时时,过迟或过早按下停表;
②测定n次全振动时,误读为n+1次或n-1次。第二章　机械振动
5　实验:用单摆测量重力加速度
基础过关练
题组一　实验原理与操作
1.“用单摆测重力加速度”的实验中,为了尽可能减小实验误差,下述操作中不合理的是 (　　)
A.摆线偏离竖直方向的最大角度小于5°
B.减小摆球的质量
C.让小球尽可能在同一竖直面内摆动
D.当小球通过平衡位置时开始计时
2.(经典题)小明在家里做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。如图1所示,他找到了一块外形不规则的小石块代替摆球,设计的实验步骤如下:
A.将小石块用不可伸长的细线系好,结点为N,细线的上端固定于O点;
B.用刻度尺测量O、N间细线的长度l作为摆长;
C.将石块拉开,使细线与竖直方向的夹角α=5°,然后由静止释放;
D.从石块摆至某一位置处开始计时,测出30次全振动的总时间t,由T=得出周期;
E.改变O、N间细线的长度再做几次实验,记下相应的l和T;
F.根据公式g=l,分别计算出每组l和T对应的重力加速度g,然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果。
　　　
(1)小石块摆动的过程中,充当回复力的是　　　　。
A.重力
B.拉力
C.拉力沿水平方向的分力
D.重力沿轨迹切线方向的分力
(2)为使测量更加准确,步骤D中,小明应从石块摆至　　　　(选填“最大位移”或“平衡位置”)处开始计时。
(3)小明用ON的长度l作为摆长,利用公式g=l求出的重力加速度与真实值相比　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
(4)小红利用小明测出的多组摆长l和周期T的值,作出T2-l图线如图2所示,计算出图线的斜率为k,由斜率k求重力加速度的表达式是g=　　　　。
(5)在步骤F中,有同学认为可以先将多次测量的摆长l取平均值得到,周期T取平均值得到,再代入公式g=l,得到重力加速度g的测量结果,你认为这种做法是否正确 　　　　(选填“正确”或“错误”)。
题组二　数据处理与误差分析
3.某同学利用单摆测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值,造成这一情况的原因可能是 (　　)
A.开始摆动时振幅较小
B.开始计时时,过早按下停表
C.测量周期时,误将摆球(n-1)次全振动的时间记为n次全振动的时间
D.测量摆长时,将悬点到小球上端边缘的距离作为摆长
4.在“用单摆测量重力加速度”的实验中,某实验小组在测量单摆的周期时,测得摆球N次全振动的总时间为Δt。在测量单摆的摆长时,先用毫米刻度尺测得摆线长度为l,再用游标卡尺测得摆球的直径为D。回答下列问题:
　
(1)为了减小测量周期的误差,实验时需要在适当的位置作一标记,当摆球通过该标记时开始计时,该标记应该在摆球摆动轨迹的　　　。
A.最高点　　B.最低点　　C.任意位置
(2)用题目中给出的字母表示出重力加速度大小为g=　　　　　　。
(3)为了提高实验的准确度,在实验中可多次改变摆长L,并测出相应的周期T,从而得出几组对应的L和T的数值,以L为横坐标,T2为纵坐标,作出T2-L图线,但同学们不小心,每次都把小球直径当作半径来计算摆长,由此得到的T2-L图线是图乙中的　　(选填“①”“②”或“③”)。
(4)在没有游标卡尺的情况下,某同学先测出摆长较长时的摆线长度L1,并测出此时单摆的周期T1;然后把摆线长度缩短为L2,再测出其周期T2。则当地重力加速度大小的表达式为g=　　　　(结果用L1、L2、T1、T2表示)。
5.如图1所示,某同学在“利用单摆测重力加速度”的实验中,测得摆线长为l,摆球直径为d,然后用停表记录了单摆n次全振动所用的时间为t。则:
(1)下列最合理的装置是　　　　。
　　　　　　　　
　　　　　　　　
(2)用螺旋测微器测量摆球直径,示数如图2所示,读数为　　　　mm。用停表记录了单摆50次全振动所用的时间,如图3所示,为　　　　s。
(3)甲同学选择了合理的实验装置后,测量出几组不同摆长L和周期T的数值,画出如图4所示的T2-L图像中的实线a。乙同学也进行了与甲同学同样的实验,实验中将摆线长作为摆长L,测得多组周期T和L的数据,作出的T2-L图像,应是图4中的图线　　　　(选填“a”“b”“c”“d”或“e”)。(已知c、d两条图线和a平行)。
能力提升练
题组一　利用传感器测量重力加速度
1.某研究性学习小组利用光电门传感器、天平、刻度尺研究单摆的周期与摆球质量、摆长之间的关系,实验装置如图甲所示。实验时,将小球拉起一定角度(小于5°)后由静止释放,利用光电门测出小球摆动的周期。
(1)该实验采用的实验方法为　　　　(选填“控制变量法”或“理想实验法”)。
(2)如果用该装置分别在北京和广州两地进行“探究单摆的周期T与摆长L的关系”的实验,然后将实验数据绘制成T2-L图像,如图乙所示,则在广州测得的实验结果对应的图线是　　　　(选填“A”或“B”)。
(3)某次实验中,小组成员小明想用该装置测当地重力加速度,已知绳长为l,小球直径为d,摆球摆动过程中光电门接收到的光信号强度I随时间t的变化如图丙所示,t1、t2、tn和n均为已知量,由此可知此次实验单摆的周期为　　　　,计算当地重力加速度大小的表达式为g=　　　　(用上述已知的物理量表示)。
2.某组同学在图a所示装置的基础上再增加一个速度传感器,如图b所示,将摆球拉开一小角度使其做简谐运动,速度传感器记录了摆球运动过程中速度随时间变化的关系,如图c所示。
　　
(1)由图c可知,该单摆的周期T=　　　　s。
(2)摆线长度L为单摆悬点至小球上端的距离,多次改变摆线长度并测量,根据实验数据,利用计算机作出T2-L图线,并根据图线拟合得到方程T2=4.04L+0.035。由此可得出当地的重力加速度g=　　　　m/s2(取π2=9.87,结果保留3位有效数字)。若其他测量、计算均无误,则用上述方法算出的g值和真实值相比是　　　　(选填“偏大”“偏小”或“相等”)的。
题组二　利用手机测量重力加速度
3.某同学在家利用手机测定当地的重力加速度,实验情景如图甲所示,用软布包住手机中部,两侧用铁夹固定;将铁架台放置在水平桌面上,用两条细线穿过铁夹尾部,上方系于铁架台横梁上,组成一个“双线摆”;调整好平衡,使手机能够平稳地进行小幅度的摆动。点击软件“力学”下的“摆”项目,点击“开始”,让摆进行小幅度(摆角小于5°)的摆动。
　
丙
(1)现有以下材质的细线,实验中应选用　　　　。
A.棉线　　　　B.丝线　　　　C.铁丝
(2)用分度值为1 mm的刻度尺测量摆线的长度,将刻度尺“0”刻度线对齐细线上端,测量摆线的长度如图乙所示,则长度L=　　　　cm。
(3)实验获得的振动图线如图丙所示,若π2取9.87,则当地的重力加速度大小为g=　　　　m/s2(结果保留3位有效数字)。
4.做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示,细线的上端固定在铁架台上,下端系一个小钢球(下方吸附有小磁片),做成一个单摆。乙图和丙图是两同学分别使用游标卡尺测量小钢球直径d的两次实验操作,其中正确的是　　　　(选填“乙”或“丙”)。
　　　　
(2)使小钢球在竖直平面内做小角度摆动,打开手机的磁传感器软件。某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图所示,则单摆的振动周期T=　　　　s(结果保留3位有效数字)。
(3)改变线长l,重复上述步骤,实验测得数据如下表所示(L=l+r,r为小钢球半径),请根据表中的数据,在方格上作出L-T2图像。
L/m T/s T2/s2
0.40 1.276 1.628
0.60 1.555 2.418
0.80 1.801 3.244
1.00 2.010 4.040
1.20 2.208 4.875
(4)若π2取9.87,测得当地的重力加速度大小为g=　　　　(结果保留3位有效数字)。
(5)有同学认为,根据公式T=2π,小明在实验中未考虑小磁片对摆长的影响,L的测量值小于真实值,所以实验测得的重力加速度g值偏小。请判断该观点是否正确,简要说明理由:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案与分层梯度式解析
第二章　机械振动
5　实验:用单摆测量重力加速度
基础过关练
1.B　单摆在摆角很小的情况下做简谐运动,实验时摆线偏离竖直方向的最大角度小于5°,A操作合理;为了减小空气阻力带来的影响,应选用质量大、体积小的摆球,B操作不合理;实验时小球必须在同一竖直面内摆动,C操作合理;为减小实验误差,测单摆周期时应在小球通过平衡位置时开始计时,D操作合理。
2.答案　(1)D　(2)平衡位置　(3)偏小　(4)　(5)错误
解析　(1)小石块摆动的过程中,充当回复力的是重力沿轨迹切线方向的分力,选D。
(2)石块摆至最大位移处不容易确定,为使测量更加准确,小明应从石块摆至平衡位置处开始计时。
(3)根据公式g=l计算重力加速度,由于用ON的长度l作为摆长,导致摆长的测量值偏小,则求出的重力加速度与真实值相比偏小。
(4)设小石块重心到N点的距离为R,则实际摆长为L=l+R,由单摆的周期公式,可得T=2π=2π,整理可得T2=(l+R),结合题图2所示的T2-l图像,有k=,解得g=。
(5)由单摆的周期公式T=2π可知,摆长l与周期T不是一次函数关系,所以不能将多次测量的摆长l取平均值得到,周期T取平均值得到,再代入公式g=l,得到重力加速度g的测量结果。
3.C　根据单摆周期公式T=2π可得g=。开始摆动时振幅较小,振幅不影响单摆的周期,故振幅对重力加速度的测量值无影响,A不符合题意;开始计时时,过早按下停表,导致周期测量值偏大,则重力加速度的测量值偏小,B不符合题意;测量周期时,误将摆球(n-1)次全振动的时间记为n次全振动的时间,周期测量值偏小,重力加速度的测量值偏大,C符合题意;测量摆长时,将悬点到小球上端边缘的距离作为摆长,摆长测量值偏小,重力加速度的测量值偏小,D不符合题意。故选C。
归纳总结　实验中引起g值误差的原因
g值偏大的原因 ①单摆不在同一竖直平面内摆动,成为圆锥摆,等效摆长偏小; ②测摆线长时,摆线拉得过紧; ③将摆线的长度与小球直径之和作为摆长; ④开始计时时,停表过晚按下; ⑤测量周期时,误将摆球n次全振动记成了(n+1)次全振动
g值偏小的原因 ①摆线上端没有固定,摆动中出现松动,使摆线变长; ②由于空气阻力的影响,导致周期变大 ③开始计时时,停表过早按下; ④实验中误将(n+1)次全振动记为n次全振动
4.答案　(1)B　(2)　(3)①
(4)(L1-L2)
解析　(1)摆球通过最低点时速度最大,在最低点开始计时,误差最小,选B。
(2)由单摆周期公式T=2π,可得g=,由题意可知L=l+,T=,整理可得g=。
(3)根据题意可知,单摆的实际摆长为L实=l+r,其中r=,即L实=l+,同学们测得的摆长为L=l+D,则L实=L-,由单摆周期公式可得T=2π=2π,化简可得T2=L-,由此得到的T2-L图线是题图乙中的①。
(4)摆线长度为L1时,单摆的振动周期为T1=2π,摆线长度为L2时,单摆的振动周期为T2=2π,联立解得当地重力加速度大小的表达式为g=(L1-L2)。
规律总结　摆长测量不准时的T2-L图像。
虽然摆长测量不准,但T2-L图线斜率不变,通过此时的T2-L图线斜率也可以正确算出重力加速度g。
5.答案　(1)C　(2)9.450(9.449~9.451均正确)　100.0　(3)c
解析　(1)摆线要用铁夹固定,防止摆长忽长忽短;摆线要选用细而不易伸长的细丝线,不能用弹性棉绳;摆球要用体积小、质量大的铁球;选C。
(2)螺旋测微器的读数为9 mm+45.0×0.01 mm=9.450 mm;由停表测得50次全振动的时间为t=90 s+10.0 s=100.0 s。
(3)根据单摆周期公式T=2π,可得T2=,乙同学在实验中将摆线长作为摆长L,没有加上摆球的半径,所以摆线长为零时,作出的T2-L图线上对应点的纵坐标大于零,由于重力加速度不变,则乙同学作出的T2-L图线的斜率等于图线a的斜率,故乙同学作出的图线为c。
能力提升练
1.答案　(1)控制变量法　(2)A
(3)　
解析　(1)该实验的目的是研究单摆的周期与摆球质量、摆长之间的关系,在研究单摆的周期与摆球质量的关系时,要控制摆长不变;在研究单摆的周期与摆长的关系时,要控制摆球的质量不变,所以该实验采用的实验方法为控制变量法。
(2)由单摆的周期公式T=2π可得T2=L;广州位于广东省内,广州的纬度比北京的纬度低,广州的重力加速度比北京的小。结合上式可知,在广州进行的实验测得的T2-L图像的斜率较大,故图线A为在广州测得的实验结果。
(3)摆球在一个周期内要经过光电门两次,有(tn-t1)=·T(破题关键),整理有T=。由题意可知,单摆的摆长为L=l+,结合单摆的周期公式T=2π,可得重力加速度g=。
2.答案　(1)2.0　(2)9.77　相等
解析　(1)根据图线可知,单摆的周期T=2.0 s。
(2)设小球直径为d,根据单摆周期公式有T=2π,整理可得T2=L+,结合题中T2=4.04L+0.035可知=4.04,解得g=9.77 m/s2;在T2-L图像中,未测得摆球的直径,不影响斜率的求解,则算出的g值和真实值相比较是相等的。
3.答案　(1)B　(2)49.00　(3)9.87
解析　(1)单摆的摆线应是几乎没有弹性和质量的线,丝线更符合条件,故选B。
(2)刻度尺读数时应估读到分度值1 mm的下一位,则长度L=49.00 cm。
(3)根据题图丙可知,单摆的周期为T=1.40 s,根据T=2π,解得g=9.87 m/s2。
4.答案　(1)丙　(2)1.36(1.32~1.40 s均可)　(3)图见解析　(4)9.79(9.63~9.81均可)　(5)不正确,理由见解析
解析　(1)使用游标卡尺测量小钢球直径时,应将小钢球夹在外测量爪的下部,故正确的操作是丙。
(2)小钢球经过最低点时,其下方的小磁片在手机处产生的磁感应强度最大,相邻两次在手机处磁感应强度最大的时间间隔为单摆的半个周期(破题关键),由图可知,单摆的周期约为1.36 s。
(3)根据表格中数据,在方格上描点,用直线拟合各点,可得L-T2图线如图所示。
(4)根据单摆周期公式T=2π可得L=T2,则L-T2图线的斜率为k== m/s2=0.248 m/s2,则重力加速度g=9.79 m/s2。
(5)由(4)的分析可知,重力加速度可根据L-T2图线的斜率求解,即小磁片不影响重力加速度的测量值,所以这个同学的观点是不正确的。
或者:设小磁片使摆球的重心下移ΔL,根据单摆周期公式T=2π,有L1+ΔL=,L2+ΔL=,联立解得g=4π2,与ΔL无关,故该同学的观点是不正确的。
或者:小磁片只影响L-T2图线在L轴上的截距,不影响斜率,故不影响根据图像斜率测得的g的大小。
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