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概率--高中数学一轮复习人教A版专题特训
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为( )
A． B． C． D．
2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为( )
A.互斥 B.相互对立 C.相互独立 D.相等
3．甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为( )
A． B． C． D．
4．设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5
P
则下列说法中不正确的是( )
A. B.当时,
C.若为等差数列,则 D.的通项公式可能为
5．甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为( )
A. B. C. D.
6．甲、乙两人独立地解同一问题.解决这个问题的概率分别为和，则恰好有1人解决这个问题的概率为( )
A． B． C． D．
7．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( )
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多1个红球
8．从1～5这5个整数中随机选择两个不重复的数字,则这两个数字之积大于8的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则( )
A.事件A与B是互斥事件 B.事件A与B是对立事件
C.事件B与C是互斥事件 D.事件B与C相互独立
10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球.，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是( )
A.若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为
B.若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
C.若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为
D.若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,现从甲、乙两袋中各摸出一个球,且相互独立,则( )
A.2个球都是红球的概率为 B.2个球都不是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知A,B为互斥事件,且,,则________.
13．某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96名学生喜欢足球或游泳,60名学生喜欢足球,82名学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为___________．
14．在一次招聘面试中，小明要依次回答甲 乙 丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为0.9,0.5,0.4，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为_______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲 乙 丙三人独立地作答一道试题,且甲 乙 丙答对该道试题的概率分别为.
（1）求无人答对该道试题的概率;
（2）求至少有两人答对该道试题的概率.
16．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
17．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示.在描述价格变化时，用“”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天到第20天
第21天到第40天
用频率估计概率.
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明）
18．据教育部统计,2024届全国高校毕业生规模预计达1179万,同比增加21万,岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署,搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道,促进高校毕业生高质量充分就业,某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约,享受对应的薪资待遇,且不去下一家公司应聘,或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试,则不能签约,也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元,小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为,,,通过甲公司的测试后选择签约的概率为,通过乙公司的测试后选择签约的概率为,通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
(1)求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
(2)设小王获得的年薪为X（单位：万元）,求X的分布列及其数学期望．
19．一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.现随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
参考答案
1．答案：B
解析:因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢，
故比赛6场后甲赢得比赛的概率为：.
故选：B.
2．答案：C
解析:抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况，
事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误，
由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；
因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.
故选：C.
3．答案：D
解析:设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”，
由题意解得
故甲命中乙也命中的概率为.
故选D.
4．答案：D
解析：选项A,由已知得,
其中,,
则,所以选项A正确；
选项B,当时,即,,,,
则,所以选项B正确；
选项C,,解得,所以选项C正确；
选项D,,
则,
即的通项公式不可能为,所以选项D不正确；
故选：D.
5．答案：A
解析:由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰，
可能前两轮没有用通行卡，也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，
故所求为.
故选：A.
6．答案：B
解析:记“甲解决问题”为事件A，“乙解决问题”为事件B，
由已知，，，，
因为甲、乙两人独立地解同一问题，所以事件A与B相互独立，故A与，与B相互独立，
记“恰有一人解决问题”为事件C，则，且与互斥，
所以
，
故选：B.
7．答案：C
解析:由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1个，2个，3个，
由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，
即取到的都是黄球，故C正确.
故选：C
8．答案：D
解析：这个试验的样本空间,
包含10个样本点.设事件“这两个数字之积大于8”,
则,包含4个样本点,
所以.
故选:D.
9．答案：AB
解析：对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事件，也是对立事件，AB正确；
对于C：如果取出的数为2，4，则事件B与事件C均发生，不互斥，C错误；
对于D：，，，
则，即事件B与C不相互独立，D错误；
故选：AB.
10．答案：BCD
解析：对于A，第一次摸到红球的概率为，故A错误；
对于B，不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为，故B正确；
对于C，有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为，故C正确；
对于D，有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：对A,2个球都是红球的概率是,正确；
对B,2个球都不是红球的概率是,正确；
对C,至少有1个红球的概率是,错误；
对D,2个球中恰有1个红球的概率是,正确.
故选：ABD.
12．答案：0.2/
解析：因为A,B为互斥事件,则,
所以.
故答案为:0.2.
13．答案：46
解析：设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为A,B,
由题意可知,,,
则,
即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为46,
故答案为：46.
14．答案：0.47
解析:将小明答对甲 乙 丙三个问题分别记为事件A，B，C，
则，，，
小明能够连续答对至少2个问题的概率为
.
故答案为：0.47
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,无人答对该道试题的概率为.
（2）至少有两人答对该道试题的概率.
16．答案：（1）甲分厂：0.4；乙分厂：0.28
（2）选甲
解析：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为.
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润/元 65 25
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为（元）.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润/元 70 30 0
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为（元）.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
17．答案：（1）
（2）0.168
（3）第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大
解析：（1）由题表得这40天内该农产品价格“上涨”的天数为16，
估计该农产品价格“上涨”的概率为.
（2）在这40天内，该农产品的价格有16天“上涨”，14天“下跌”，10天“不变”，相应的概率分别是0.4、0.35、0.25，
未来的日子里任取4天，分别用、、表示第i天“上涨”“下跌”“不变”，
则4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的所有情况为
，，，，，，，
，，，，，共12种，
每种情况发生的概率均为，
所以估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率为.
（3）因为该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，且第40天的价格“上涨”，
所以只需统计前40天中价格“上涨”的次日的价格变化情况.
由题表知价格“上涨”的次日价格“上涨”的天数为4，价格“下跌”的天数为2，价格“不变”的天数为9，
所以第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大.
18．答案：(1)
(2)分布列见解析,
解析：(1)记事件A：小王通过甲公司的测试,但未通过乙公司的测试,
记事件B：小王通过甲、乙公司的测试,但未通过丙公司的测试,
则,,
显然A与B互斥,所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率．
(2)依题意X的可能取值为0,10,12,18,
则,,
,,
则X的分布列如下表：
X 0 10 12 18
P
故．
19．答案：（1）
（2）
解析：所有可能的情况有，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，共27种.
（1）设“抽取的卡片上的数字满足”为事件A，
则事件A包括，，，共3个，
所以.
因此“抽取的卡片上的数字满足”的概率为.
（2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括，，，共3个，
所以.
因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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